Gegeben sind die Punkte , und .

Gegeben sind die Punkte , und , sowie die Gerade : .

Gegeben sind eine Ebene , sowie zwei Geraden und . schneidet , verläuft parallel zu . Sie sollen die Geraden jeweils an spiegeln. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.

Zeigen Sie, dass die Gerade , sowie die Punkte und in einer gemeinsamen Ebene liegen. Weisen Sie nach, dass der Spiegelpunkt von an ist. Kann man generell sagen, dass Punkt, Spiegelgerade und Spiegelpunkt immer in einer Ebene liegen?

Gegeben ist der Punkt und dessen Spiegelpunkt . Bestimmen Sie die Gleichung einer Spiegelgerade für und , sowie die Gleichung einer Spiegelebene für und .

Die zwei Ebenen und schneiden sich in einer Geraden. Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes von bezüglich dieser Geraden an.

Das Volumen der Pyramide ist damit ==VE.

Spiegelung von an beschreiben Um die Gleichung einer Geraden bestimmen zu können, benötigen wir zwei Punkte, die auf dieser Geraden liegen. Da die Spiegelebene in schneidet, liegt der Punkt auch auf der Spiegelgeraden . Wir bestimmen nun einen beliebigen anderen Punkt der Geraden - dies kann auch der Stützvektor sein, wenn dieser nicht ist - und spiegeln diesen Punkt an der Ebene. Die Spiegelgerade verläuft durch und . Spiegelung von an beschreiben verläuft parallel zur Ebene ; wenn also an gespiegelt wird, verläuft die Spiegelgerade immer noch parallel zu und insbesondere auch parallel zu . Wir kennen den Richtungsvektor der Spiegelgeraden also bereits, uns fehlt noch ein Punkt auf . Hierzu wählen wir einen beliebigen Punkt von und spiegeln diesen an . Die Spiegelgerade hat den Stützvektor und den Richtungsvektor der Geraden .

Nachweis einer gemeinsamen Ebene Wir bestimmen zunächst die Gleichung einer Ebene , in der die Gerade und der Punkt liegen. Anschließend prüfen wir, ob ebenfalls in dieser Ebene liegt. Ebenengleichung aufstellen Wir benutzen den Stützvektor von als Stützvektor von , den Richtungsvektor von als ersten Spannvektor von und den Verbindungsvektor von Stützvektor und als zweiten Spannvektor. Punktprobe machen Wir setzen die Koordinaten von für ein. Wir betrachten die einzelnen Zeilen und es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem. Das Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung, liegt in der Ebene . Nachweis des Spiegelpunktes Wenn der Spiegelpunkt von an ist, so müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:

• Der Verbindungsvektor von und muss senkrecht zur Geraden stehen
• Der Punkt, in dem die Gerade durch und und die Gerade sich schneiden, muss gleich weit von und entfernt sein.

Orthogonalität prüfen Wenn der Verbindungsvektor von und senkrecht zur Geraden steht, so müsste das Skalarprodukt von und dem Richtungsvektor von Null ergeben. Die erste Bedingung ist also erfüllt. Gleiche Entfernung vom Schnittpunkt nachweisen Wir bestimmen den Schnittpunkt der Geraden durch und mit . Zum Bestimmen des Schnittpunktes setzen wir die Gleichungen der Geraden gleich. Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem. Um den Schnittpunkt zu bestimmen, setzen wir bzw. in eine der Geradengleichungen ein. Es ergibt sich der Schnittpunkt Es bleibt zu prüfen, ob gleichweit von und entfernt ist oder - anders gesagt - ob genau der Mittelpunkt zwischen und ist: Damit ist nachgewiesen, dass und Spiegelpunkte bezüglich sind. Liegen Punkt, Spiegelpunkt, Spiegelgerade immer in einer Ebene? Dies ist in der Tat der Fall, versuchen wir es möglichst anschaulich zu begründen: Im Grunde genommen können wir hier von zwei Geraden sprechen, der Spiegelgerade und der Geraden , die durch und verläuft. Wenn und Spiegelpunkte bezüglich sind, wie im Beispiel von eben, so gibt es immer einen Schnittpunkt von und . Da die Geraden sich also schneiden, können sie nicht windschief verlaufen, liegen also nicht in parallelen Ebenen. Zwei sich schneidende Geraden liegen immer in einer Ebene. Da Punkt und Spiegelpunkt beide auf liegen, liegen sie somit auch in der Ebene.

Gleichung einer Spiegelgerade bestimmen Zunächst müssen wir uns im Klaren darüber sein, dass es unendlich viele Geraden gibt, die Spiegelgeraden für und sein können: Sie liegen alle in der Ebene, deren Stützvektor der Mittelpunkt der Strecke ist und die orthogonal zu eben dieser Strecke ist. Wenn Sie nun also eine andere Spiegelgerade als Lösung erhalten, muss diese nicht notwendigerweise falsch sein. Für die Spiegelgerade von und muss - wie bereits gelten:

1. Der Stützvektor ist der Mittelpunkt der Strecke
2. Sie ist orthogonal zur Geraden durch und

Stützvektor der Geraden bestimmen - Mittelpunkt von Richtungsvektor der Geraden bestimmen - orthogonal zu == Der Richtungsvektor der Geraden soll orthogonal zu diesem Vektor sein, d.h. das Skalarprodukt der beiden muss Null ergeben. Ein möglicher Vektor wäre somit . Andere Möglichkeiten sind z.B.: =, =, etc. Eine mögliche Spiegelgerade von und wäre also: =. Spiegelebene bezüglich und bestimmen Für die Spiegelebene gilt:

1. Ihr Stützvektor ist der Mittelpunkt der Strecke
2. Sie ist orthogonal zum Vektor

Stützvektor und Normalenvektor bestimmen Den Stützvektor haben wir bereits bestimmt: =. Die Ebene soll orthogonal zum Vektor verlaufen, d.h. der Normalenvektor der Ebene ist parallel zum Vektor . Für unsere Ebene gilt also:

Schnittgerade bestimmen Wir schreiben die Ebenengleichungen untereinander und erhalten ein lineares Gleichungssystem. Aus folgt: Einsetzen in liefert: Wir setzen und erhalten: Daraus folgt die Gleichung unserer Geraden: :== Spiegelpunkt bezüglich bestimmen Wir fällen das Lot von auf . Jeder Punkt auf der Geraden hat die Koordinaten . Für den Vektor gilt also allgemein: == Dieser Vektor soll orthogonal zur Geraden sein, sein Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von muss also Null ergeben: Für ergibt sich und = Für den Spiegelpunkt gilt also: Die Koordinaten des Spiegelpunktes lauten .