Vermischte Aufgaben

Gegeben ist die Folge $\left(a_n\right)$ mit $a_n=3-\dfrac{n}{n+1}$ .

Zeige, dass $\left(a_n\right)$ monoton fällt.

Prüfe, ob die Folge konvergiert.

Ab welcher Platznummer liegen die Folgeglieder im Bereich $\varepsilon=\dfrac{1}{10}$ ?

Gegeben ist die Folge $\left(a_n\right)$ mit $a_n=\dfrac{2^n+4n}{2^n}$ .

Ist die Folge monoton steigend?

Ist die Folge beschränkt?

Verändere die Folge so, dass sie die obere Schranke $S_o=1$ besitzt, die Monotonie aber beibehält.

Gegeben ist die Folge $\left(a_n\right)$ mit $a_n=3n+\dfrac{1}{2n}$ .

Überprüfe die Folge auf Monotonie.

Besitzt $\left(a_n\right)$ eine obere Schranke?

Wir verändern die Folge zu $\left(b_n\right)$ mit $b_n=3n-\dfrac{1}{2n}$ . Verändern sich die Antworten aus a) und b)? Wenn ja, wie?

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$a_n=3-\dfrac{n}{n+1}$

Behauptung: $\left(a_n\right)$ ist monoton fallend

Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n \leq 0$

$\dfrac{-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} \leq 0$

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Da nur natürliche Zahlen für $n$ eingesetzt werden, kann der Nenner niemals negativ werden.

Der Zähler diese Ausdrucks ist immer negativ. Somit ist der Bruch selbst immer negativ, d.h. $< 0$ .

Die Folge ist daher streng monoton fallend.

Wenn die Folge konvergieren würde, gäbe es eine untere Schranke, an die sie sich annähert.
Betrachten wir unsere Folge: Von $3$ wird immer der Wert abgezogen, der sich aus dem Bruch ergibt.

Der Bruch lautet $\frac{n}{n+1}$ . Es wird also immer eine Zahl durch die nächst größere geteilt, z.B.

$\dfrac{1}{2}=0,5;\;\;\;\dfrac{2}{3}=0,\overline{6}$ $\dfrac{3}{4}=0,75;\;\;\dfrac{4}{5}=0,8;$ ...

Wir könnten das ewig weiterführen - die Werte nähern sich zwar immer weiter der $1$ an, erreichen sie jedoch nie.

Die Funktionswerte der Folge werden sich also der $2$ annähern.
Wir überprüfen nun, ob $2$ wirklich eine untere Schranke ist:

Behauptung: $\boldsymbol{S_u=2}$ ist die untere Schranke

Zu zeigen: $a_n\geq2$

$0\geq -1$

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Die ist eine wahre Aussage. $S_u=2$ ist also eine untere Schranke.

Eine Folge, die monoton fallend ist und eine untere Schranke besitzt, ist konvergent.

Mit $\varepsilon$ wird immer ein Bereich um den Grenzwert bezeichnet.

Unser Grenzwert ist $2$ , d.h. der Bereich beginnt bei $2+\frac{1}{10}=2,1$ .

Wir überprüfen nun, ab welchem $n$ die Folgeglieder den Wert 2,1 annehmen. Dies tun wir, indem wir die Folge $a_n=2,1$ setzen.

$n=9$

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Ab $n=9$ liegen die Folgeglieder im angegebenen Bereich.

$a_n=\dfrac{2^n+4n}{2^n}$

Behauptung: $\left(a_n\right)$ ist monoton steigend

Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n\geq0$

$\dfrac{-4n+4}{2^n\cdot2}\geq 0$

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Diese Aussage ist wahr, wenn der Bruch niemals kleiner als $0$ wird. Dies testen wir nun, indem wir Werte für $n$ einsetzen.

$n=1$ : $\frac{-4+4}{4}=0$

$n=2$ : $\frac{-8+4}{8}=-\frac{1}{2}$

Die Aussage ist also falsch. Die Folge ist nicht monoton steigend, sondern monoton fallend.

Die Folge ist monoton fallend. Deshalb muss $n=1$ , also das erste Folgeglied, größer sein als alle anderen und somit auch die obere Schranke.

$\boldsymbol{a_1}$ bestimmen

$\begin{array}{rlll} a_1&=\dfrac{2^1+4\cdot1}{2^1}=\dfrac{6}{2}\\[5pt] a_1&=3 \end{array}$

$S_o=3$ ist die obere Schranke von $a_n$ .

Ermitteln wir nun die untere Schranke.
Wenn wir uns die Folge ansehen, so fällt auf, dass wir im Zähler und im Nenner den Summanden $2^n$ finden. Für $n\to\infty$ setzt sich dieser Summand durch. Im Zähler wird zwar immer noch $4n$ addiert, doch für $n\to\infty$ macht dieser Anteil keinen Unterschied mehr, da der Summand $2^n$ sehr viel stärker wächst.

Somit genügt es, sich diesen Summand anzusehen. Für $n\to\infty$ sieht unser Bruch also so aus:

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty }= \frac{{2^n}}{{2^n }} \to 1\]

Deshalb wird diese Folge die untere Schranke $S_u=1$ besitzen. Das würde bedeuten, dass die $a_n>1$ sein muss. Dies überprüfen wir nun.

Behauptung: $\boldsymbol{S_u=1}$ ist die untere Schranke

Zu zeigen: $a_n \geq 1$

$\begin{array}{rlll} \dfrac{2^n+4n}{2^n}& \geq 1&\scriptsize{\mid\;\cdot2^n}\\[5pt] 2^n+4n& \geq 2^n&\scriptsize{\mid\;-2^n}\\[5pt] 4n& \geq 0 \end{array}$

Dies ist eine wahre Aussage, $S_u=1$ ist also die untere Schranke von $a_n$ .

Die Folge ist nach oben und nach unten beschränkt.

Um die Folge wie gefordert zu verändern, verschieben wir sie um 2 Einheiten in negative $y$ -Richtung (nach unten). Wir müssen dafür sorgen, dass alle Folgeglieder um $2$ Einheiten kleiner sind als bisher. Deshalb subtrahieren wir $2$ von der ursprünglichen Folge:

$a_n$ $^*=\dfrac{2^n+4n}{2^n}-2$

Alle Folgeglieder werden wie bisher gebildet, nur dass sie um $2$ verkleinert werden. Somit wird aus der ursprünglichen oberen Schranke $S_o=3$ die neue obere Schranke $S_o$ $^*=1$ .

$a_n=3n+\dfrac{1}{2n}$

Behauptung: $\boldsymbol{\left(a_n\right)}$ ist monoton steigend

Zu zeigen: $a_{n+1}-a_n \geq 0$

$\dfrac{12n^2+12n-2}{4n^2+4} \geq 0$

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Dies ist eine wahre Aussage: Der Nenner kann niemals 0 werden, der Zähler auch nicht, weil für $n$ nur Zahlen eingesetzt werden, die $>0$ sind.

Die Folge ist streng monoton steigend.

Wir sehen uns die Folge genau an. Für $n\to\infty$ werden die Folgeglieder unendlich groß. Deshalb kann keine obere Grenze existieren.

zu a):

Behauptung: $\boldsymbol{\left(b_n\right)}$ ist monoton steigend

Zu zeigen: $b_{n+1}-b_n \geq 0$

$\dfrac{12n^2+12n+2}{4n^2+4} \geq 0$

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Diese Aussage ist noch immer wahr, da weder Zähler noch Nenner negativ werden können. Die veränderte Folge ist also ebenfalls streng monoton steigend.

zu b):

Es werden immer Zahlen von $3n$ abgezogen. $3n$ strebt für $n\to\infty$ gegen unendlich. Die Werte, die von Unendlich abgezogen werden, sind sehr klein und haben somit keine Auswirkung. Deshalb existiert auch hier keine obere Grenze.

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