Vermischte Aufgaben

Gegeben sind die zwei Geraden

$g:\; \overrightarrow x = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) + s\left( \begin{array}{c} 2 \\ a \\ a^2 \\ \end{array} \right)$ und $h:\;\overrightarrow x = \left( \begin{array}{c} 2\\ 3 \\ a^2-a+1 \\ \end{array} \right) + t\left( \begin{array}{c} 2 \\ a^2 \\ a \\ \end{array} \right)$ .

Untersuchen Sie für welche $a\in\mathbb{R}$ die beiden Geraden parallel sind. Sind die Geraden echt parallel oder identisch?

Geben Sie eine Gleichung für eine Gerade an, die

identisch mit $g$ ist

$g$ schneidet

parallel zu $g$ ist

windschief zu $g$ ist

$g:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+t\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$

$g:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)+t\left( {\begin{array}{*{20}r} 3 \\ 4 \\ -1 \\ \end{array}} \right)$

Gibt es ein $t$ , sodass sich $g$ und $h$ schneiden (parallel, identisch oder windschief sind)? Wenn ja welches?

$g:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ t \\ \end{array}} \right)+s\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ 4 \\ 5 \\ \end{array}} \right)$ , $\qquad$ $h:\;\overrightarrow{x}=\left( {\begin{array}{*{20}r} 3t \\ 2 \\ -1 \\ \end{array}} \right)+r\left( {\begin{array}{*{20}r} -1 \\ -2 \\ -4 \\ \end{array}} \right)$ .

$g:\;\overrightarrow{x}=s\left( {\begin{array}{*{20}r} -32 \\ t \\ -2 \\ \end{array}} \right)$ , $\qquad$ $h:\;\overrightarrow{x}=r\left( {\begin{array}{*{20}r} -2t \\ 4 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$ .

Gegeben ist eine Gerade $g:\;\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+s\cdot\overrightarrow{u} \quad s\in\mathbb{R}$ .

Geben Sie einen Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ an, sodass die Gerade $g$

parallel zur $x_2$ -Achse ist.

parallel zur $x_1x_2$ -Ebene ist.

orthogonal zur Ebene $H:\; 2x_1+4x_2=3$ ist.

parallel zur Ebene $H:\; 2x_1+4x_2=3$ ist.

Gegeben sind die Punkte $A(0 \mid 2 \mid 1)$ , $B(-5 \mid 7 \mid 11)$ , $C(0 \mid 0 \mid 0)$ und $D(4 \mid -4 \mid 7)$ .

Die Gerade $g$ geht durch die Punkte $A$ und $B$ . Die Gerade $h$ durch die Punkte $C$ und $D$ .

Stellen Sie eine Geradengleichung von $g$ und $h$ auf. Wie liegen die beiden Geraden zueinander?

Ein Quader ist wie in der Figur unten gegeben. $M_1$ und $M_2$ sind Mittelpunkte der zugehörigen Kanten

Welche Lage haben die Geraden $g$ durch $AG$ und $h$ durch $M_1M_2$ zueinander? Begründe rechnerisch.

Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene an, die $D$ , $E$ und $G$ enthält.

Gegeben sind Ebenen $E$ , $F$ , $G$ und $H$ mit

$E:\;-3x+2y-7z=2$

$F:\;9x-6y+21z=0$

$G:\;\dfrac{1}{2}x-4y=1$

$H:\;x+2y-z=5$

Wie liegen $E$ und $F$ zueinander? Begründe ohne weitere Rechnung.

Was müsste man auf der rechten Seite der Koordinatengleichung ändern, damit $E$ und $F$ identisch sind?

Welche besondere Lage hat die Ebene $G$ im Koordinatensystem? Begründe.

Bestimmen Sie die Schnittgerade von $E$ und $H$ .

Die Ebene $E$ geht durch die Punkte $A(1,5\, \mid \,0\, \mid \,0)$ , $B(0\, \mid \,3\, \mid \,0)$ und $C(0\, \mid \,0\, \mid \,6)$ .

Untersuchen Sie, ob die Gerade $g$ : $\vec{x}=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix};$ $t \in \mathbb{R}$ parallel zur Ebene $E$ verläuft.

$\scriptsize{\text{ Aus dem Pflichtteil 2008}}$

Gegeben sind die beiden Ebenen $E_1$ : $(\vec{x}-\vec{p}_1) \cdot \vec{n}_1=0$ und $E_2$ : $(\vec{x}-\vec{p}_2) \cdot \vec{n}_2=0$ .

Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man anhand dieser Normalengleichungen die gegenseitige Lage der beiden Ebenen untersuchen kann.

$\scriptsize{\text{ Aus dem Pflichtteil 2008}}$