Vektorprodukt

Skalarprodukt, Orthogonalität

Das Skalarprodukt ist eine reelle Zahl, die zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ zugeordnet wird:

$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ heißen orthogonal (stehen senkrecht aufeinander), wenn ihr Skalarprodukt Null ist:

$\vec{a}\circ \vec{b} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \vec{a} \bot \vec{b}$

Rechenregeln

$\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \circ \overrightarrow{a}$
$r \cdot \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = r \cdot \left(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \right)$
$\overrightarrow{c} \circ \left( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \right) = \overrightarrow{c} \circ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} \circ \overrightarrow{b}$

Beispiel

$\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}2\\2\\2 \end{pmatrix} = 2 + 4 + 6 = 12$

Kreuzprodukt

Mit dem Kreuzprodukt bzw. Vektorprodukt zweier Vektoren erhältst du einen Vektor, der orthogonal zu beiden Vektoren ist:

$\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2\\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3\\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix}$

Beispiel

$\begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}6\\4\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \cdot 5 - 3 \cdot 4\\ 3 \cdot 6 - 1 \cdot 5\\ 1 \cdot 4 - 2 \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\13\\-8 \end{pmatrix}$

Prüfe, ob folgende Vektoren senkrecht (orthogonal) aufeinander stehen.

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 3\\ 1\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 1\\ -5\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 1\\ -3\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 2\\ 1\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ -1\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 1\\ -2\\ 1\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$

Bestimme drei Vektoren, die orthogonal zu $\overrightarrow{v}$ sind.

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 0\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 2\\ 3\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 2\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 1\\ 1\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 0\\ -1\\ 4\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)$

Beurteile die folgenden Aussagen und begründe deine Antwort.

Es gibt zu jedem Vektor $\overrightarrow{v}$ einen Vektor, der nicht der Vektor $\overrightarrow{0}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$ ist und der senkrecht auf $\overrightarrow{v}$ steht.

Der Nullvektor $\overrightarrow{0}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$ steht senkrecht auf jedem anderen Vektor.

Mit dem Kreuzprodukt (Vektorprodukt) lässt sich die Orthogonalität zweier Vektoren nachweisen.

Wenn im dreidimensionalen Raum die drei Vektoren $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ und $\overrightarrow{w}$ jeweils senkrecht aufeinander stehen und keiner von ihnen der Nullvektor ist, so lässt sich noch ein vierter Vektor $\overrightarrow{x}$ finden, der nicht der Nullvektor ist und der wiederum senkrecht auf diesen drei Vektoren steht.

Bestimme das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) der beiden Vektoren.

$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{r} -1\\ 0\\ 3\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ 0\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{d}=\left(\begin{array}{r} 4\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{e}=\left(\begin{array}{r} -2\\ 4\\ 1\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{f}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 6\\ 2\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{g}=\left(\begin{array}{r} 6\\ 2\\ 4\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{h}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ 4\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{i}=\left(\begin{array}{r} 0\\ 4\\ 3\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{j}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 1\\ 2\\ \end{array}\right)$

$\overrightarrow{k}=\left(\begin{array}{r} 3\\ 3\\ -3\\ \end{array}\right)$ , $\quad$ $\overrightarrow{l}=\left(\begin{array}{r} 6\\ 7\\ 1\\ \end{array}\right)$

Beurteile die Aussagen und begründe deine Antwort.

Mit dem Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ bestimmt man einen dritten Vektor, der sowohl senkrecht auf $\overrightarrow{u}$ als auch auf $\overrightarrow{v}$ steht.

Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier Vektoren, die parallel zueinander sind, ergibt den Nullvektor.

Das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) hat im Grunde die gleiche Funktion wie das Skalarprodukt.

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