Partielle Integration

Sollst du ein Integral über einen Funktionsterm berechnen, der sich als Produkt zweier Funktionsterme ergibt oder eine Stammfunktion einer solchen Funktion berechnen, so kann dir die partielle Integration helfen:

$\displaystyle\int_{a}^{b} u(x)\cdot v‘(x)\;\mathrm dx$ = ...

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Vor allem kann dir diese Formel helfen, wenn einer der beiden Teilterme ein Polynom ist. Wähle dann die Polynomfunktion als $u$ und die andere Funktion als $v‘$ .
Ist $u$ ein Polynom vom Grad $n$ , dann musst du die Formel $n$ -mal anwenden, so lang bis der Term durch das wiederholte Ableiten wegfällt und du das entstandene Integral mit den üblichen Regeln berechnen kannst.

Beispiel

Berechne: $\displaystyle\int_{0}^{1} x\cdot \mathrm e^{-x}\;\mathrm dx$ .

Da $x$ ein Polynom ist, wähle $u(x)=x$ und $v‘(x)=\mathrm e^{-x}$ . Dann ist $u‘(x)=1$ und $v(x)=- \mathrm e^{-x}$ .

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1} x\cdot \mathrm e^{-x}\;\mathrm dx &=& -2\mathrm e^{-1}+1 \end{array}$

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