Exponentialfunktionen

Das Schaubild der Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=-\mathrm e^x+x+6$ stellt den Gewinn einer Firma dar, die aufgrund negativer Publicity und einiger Affären in Bezug auf Geldwäsche plötzlich kollabiert ist. Die Stelle $x=0$ kennzeichnet hierbei das Jahr 2000, eine LE auf der $x$ -Achse steht für ein Jahr, eine LE auf der $y$ -Achse steht für 100.000€.

Skizziere das Schaubild von $f$ in einem Koordinatensystem.

In welchem Jahr fiel der Gewinn um 300.000€?

Wann machte die Firma den maximalen Gewinn?

Bestimme den Bereich, in dem der Gewinn stetig gestiegen ist.

Eine Gebirgslandschaft lässt sich durch das Schaubild der Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=-\dfrac{1}{4}\left(x-1\right)^4+\left(x-1\right)^3+1$ beschreiben. (1 LE $\mathrel{\widehat{=}}$ $10$ m)
Das Schaubild der Funktion $g$ mit $g\left(x\right)=\dfrac{1}{25}\mathrm e^{-x+3}+9$ beschreibt die Flugbahn eines Heißluftballons.

Skizziere die Schaubilder beider Funktionen in einem Koordinatensystem.

Bestimme den höchsten Punkt des Gebirges.

Bestimme den Abstand, den der Heißluftballon von diesem Punkt hat, wenn er gerade darüber hinweg fliegt.

Bei $x=4,5$ befindet sich am Gebirge eine Aussichtsplattform, die rechtwinklig zum Gebirge gebaut wurde. Bei $x=4,8$ steht ein 1,80m großer Mann auf der Plattform. Bestimme den Abstand, den der Heißluftballon von dem Mann hat, wenn er direkt über ihn hinweg fliegt.

Der Querschnitt eines Walls wird durch das Schaubild der Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=x-\dfrac{1}{4}\mathrm e^{x-4}$ beschrieben.
An der rechten Seite schließt sich direkt ein Meer an, das durch die $x$ -Achse beschrieben werden kann.
Bevor der Wall aufgeschüttet wurde, befand sich hier lediglich ein kleiner Anstieg, der durch das Schaubild der Funktion $g$ mit $g\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x$ beschrieben werden kann.

Skizziere die Schaubilder beider Funktionen in einem Koordinatensystem.

Wie hoch ist der Wall an der höchsten Stelle?

Zur Befestigung wurde bei $x=3$ ein Stahlpfeiler hinabgelassen, der senkrecht zur Oberfläche des Walls steht. An welcher Stelle ist der Pfeiler auf dem ehemaligen Anstieg befestigt?

Wo muss sich auf dem Meer ein Schiff befinden, damit man es von der Stelle $x=6$ aus sehen kann?

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Das Schaubild der Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=-\mathrm e^x+x+6$ stellt den Gewinn einer Firma dar, die aufgrund negativer Publicity und einiger Affären in Bezug auf Geldwäsche plötzlich kollabiert ist. Die Stelle $x=0$ kennzeichnet hierbei das Jahr 2000, eine LE steht für ein Jahr, eine LE auf der $y$ -Achse steht für 100.000 €.

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsen und Kurve.

Hier ist nach der Änderungsrate gefragt. Es soll bestimmt werden, an welcher Stelle $x$ die Steigung bei $-300.000$ € pro Jahr lag.
Die Änderungsrate bestimmen wir immer mit der ersten Ableitung. Da eine LE auf der $y$ -Achse 100.000 € darstellt, werden -300.000 also durch die -3 dargestellt.
Wir setzen also $f‘\left(x\right)=-3$ und lösen die Gleichung nach $x$ auf.

$\boldsymbol{f‘\left(x\right)=-3}$ bestimmen

Ableitung bilden

$\begin{array}{rlll} f\left(x\right)&=-\mathrm e^x+x+6\\[3pt] f‘\left(x\right)&=-\mathrm e^x+1 \end{array}$

$f‘\left(x\right)=-3$ setzen

$\begin{array}{rllll} -\mathrm e^x+1&=-3&\scriptsize{\mid\;-1}\\[3pt] -\mathrm e^x&=-4&\scriptsize{\mid\;\cdot\left(-1\right)}\\[3pt] \mathrm e^x&=4&\scriptsize{\mid\;\ln{\left(\;\right)}}\\[3pt] \ln{\left(\mathrm e^x\right)}&=\ln{\left(4\right)}\\[3pt] x&=\ln\left(4\right)\\[3pt] x\approx 1,386 \end{array}$

Am Anfang des Jahres 2001 fiel der Gewinn um 300.000 €.

Um den maximalen Gewinn der Firma zu bestimmen, bestimmen wir das Maximum von $f$ . Dazu setzen wir $f‘\left(x\right)=0$ .

Maximum von $\boldsymbol{f}$ bestimmen

$\begin{array}{rlll} f‘\left(x\right)&=-\mathrm e^x+1\\ f‘‘\left(x\right)&=-\mathrm e^x \end{array}$

$f‘\left(x\right)=0$ setzen

$\begin{array}{rlll} -\mathrm e^x+1&=0&\scriptsize{\mid\;-1}\\[3pt] -\mathrm e^x&=-1&\scriptsize{\mid\;\cdot\left(-1\right)}\\[3pt] \mathrm e^x&=1&\scriptsize{\mid\;\ln{\left(\;\right)}}\\[3pt] \ln{\left(\mathrm e^x\right)}&=\ln{\left(1\right)}\\[3pt] x&=0 \end{array}$

$x=0$ auf echtes Maximum überprüfen

$\begin{array}{r@{ }l@{\hspace{1cm}}l} f‘‘\left(0\right)&=-e^0\\ &=-1&\scriptsize{ < 0: Maximum} \end{array}$

An der Stelle $x=0$ , also im Jahr 2000 hat die Firma den größten Gewinn gemacht.

Hier soll $f$ auf Monotonie überprüft werden. Wir wissen, dass das Schaubild von $f$ bis zum Hochpunkt steigt und dann fällt.

Die $x$ -Koordinate des Hochpunktes ist uns bereits bekannt, nämlich $x=0$ . Somit können wir sagen:

$f$ ist monoton steigend für $-\infty < x\leq0$ .

Eine Gebirgslandschaft lässt sich durch die Funktion $f$ mit $f\left(x\right)=-\dfrac{1}{4}\left(x-1\right)^4+\left(x-1\right)^3+1$ beschreiben. (1 LE $\mathrel{\widehat{=}}$ $10$ m)

Die Funktion $g\left(x\right)=\dfrac{1}{25}\mathrm e^{-x+3}+9$ beschreibt die Flugbahn eines Heißluftballons.

Diagramm mit zwei Kurven, f und g, dargestellt im Koordinatensystem.

Der höchste Punkt des Gebirges ist der Hochpunkt des Schaubildes von $f$ .

Hochpunkt des Schaubildes von $\boldsymbol{f}$ bestimmen

Ableitungen bilden

$\begin{array}{rllll} f\left(x\right)&=-\dfrac{1}{4}\left(x-1\right)^4+\left(x-1\right)^3+1\\[5pt] f‘\left(x\right)&=-\dfrac{1}{4}\cdot4\left(x-1\right)^3+3\left(x-1\right)^2\\[5pt] &=-\left(x-1\right)^3+3\left(x-1\right)^2\\[5pt] f‘‘\left(x\right)&=-3\left(x-1\right)^2+3\cdot2\left(x-1\right)\\[5pt] &=-3\left(x-1\right)^2+6\left(x-1\right) \end{array}$

$f‘\left(x\right)=0$ setzen

$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} \left(x-1\right)^2\left(-x+4\right)&=0 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein Produkt ist $0$ , wenn einer seiner Faktoren $0$ ist:

$\begin{array}{rllll} \left(x-1\right)^2&=0&\scriptsize{\mid\;\sqrt{\;}}\\[3pt] x-1&=0&\scriptsize{\mid\;+1}\\[3pt] x_1&=1\\[5pt] -x+4&=0&\scriptsize{\mid\;+x}\\[3pt] 4=x_2 \end{array}$

$x_1=1$ auf echtes Maximum überprüfen

$\begin{array}{rllll} f‘‘\left(1\right)&=-3\left(1-1\right)^2+6\left(1-1\right)\\[3pt] f‘‘\left(1\right)&=0& \end{array}$

Für $f‘‘(x_1)=0$ kann noch nicht eindeutig gesagt werden, ob $x_1=1$ eine Extremstelle ist. Überprüfe zunächst die andere mögliche Extremstelle. Ist diese eine Maximalstelle, dann kann $x_1$ keine mehr sein, da es nur zwei mögliche Extremstellen gibt, und zwischen zwei Maxima auch immer ein Minimum liegen muss.

$x_2=4$ auf echtes Maximum überprüfen

$\begin{array}{rllll} f‘‘\left(4\right)&=-3\left(4-1\right)^2+6\left(4-1\right)\\[3pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$y$ -Wert von $x=4$ bestimmen

$\begin{array}{rllll} f\left(4\right)&=-\dfrac{1}{4}\left(4-1\right)^4+\left(4-1\right)^3+1\\[5pt] &=-\dfrac{1}{4}\cdot3^4+3^3+1\\[5pt] &=-\dfrac{1}{4}\cdot81+27+1\\[5pt] &=-20,25+28\\[5pt] &=7,75 \end{array}$

Der höchste Punkt des Gebirgszugs ist $H\left(4\middle|7,75\right)$ .

Wir wissen nun, dass sich der höchste Punkt bei $x=4$ befindet. Wir bestimmen nun also die Höhe des Heißluftballons an der Stelle $x=4$ und messen dann die Differenz der beiden Werte.

Höhendifferenz bestimmen

$g\left(4\right)$ bestimmen

$\begin{array}{rllll} g\left(4\right)&=\dfrac{1}{25}\mathrm e^{-4+3}+9\\[5pt] &=\dfrac{1}{25}\mathrm e^{-1}+9\\[5pt] &=\dfrac{1}{25}\cdot\dfrac{1}{\mathrm e}+9\\[5pt] &=0,015+9\\[5pt] g\left(4\right)&=9,015 \end{array}$

Differenz berechnen

$9,015-7,75=1,265$

Eine Längeneinheit steht für $10$ m. Deshalb beträgt der Abstand vom Heißluftballon zum Gipfel des Berges $12,65$ m.

Die Aussichtsplattform wurde rechtwinklig zum Gebirge gebaut. Wir können also die Gleichung der Normalen an der Stelle $x=4,5$ bestimmen.
Mit Hilfe dieser Gleichung können wir dann auch den Abstand zwischen Heißluftballon und dem Mann ausrechnen.

Gleichung der Normalen bei $\boldsymbol{x=4,5}$ bestimmen

$\begin{array}{rllll} n:y&=-\dfrac{1}{f‘\left(u\right)}\left(x-u\right)+f\left(u\right)\\[5pt] n:y&\approx 0,163x+5,625 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Höhendifferenz bestimmen

$n:f\left(4,8\right)$ bestimmen

$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} n:y&=0,163\cdot4,8+5,625\\[3pt] &=0,7824+5,625\\[3pt] &\approx 6,4 \end{array}$

$g\left(4,8\right)$ bestimmen

$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} g\left(4,8\right)&=\dfrac{1}{25}\mathrm e^{-4,8+3}+9\\[5pt] &=\dfrac{1}{25}\mathrm e^{-1,8}+9\\[5pt] &=0,0067+9\\[3pt] g\left(4,8\right)&\approx 9 \end{array}$

Der Mann ist $1,80$ m groß, zur Höhe der Plattform muss also noch $0,18$ addiert werden.

Höhe des Mannes berechnen

$6,4+0,18=6,58$

Höhendifferenz berechnen

$9-6,58=2,42$

Der Heißluftballon ist $24,2$ m von dem Mann entfernt.

Bevor der Wall aufgeschüttet wurde, befand sich hier lediglich ein kleiner Anstieg, der durch das Schaubild der Funktion $g$ mit $g\left(x\right)=\dfrac{1}{4}x$ beschrieben werden kann.

Grafik eines Koordinatensystems mit zwei Kurven, einer Parabel und einer Geraden.

Hochpunkt des Schaubildes von $\boldsymbol{f}$ bestimmen

Ableitungen bilden

$\begin{array}{rllll} f\left(x\right)&=x-\dfrac{1}{4}\mathrm e^{x-4}\\[5pt] f‘\left(x\right)&=1-\dfrac{1}{4}\mathrm e^{x-4}\\[5pt] f‘‘\left(x\right)&=-\dfrac{1}{4}\mathrm e^{x-4} \end{array}$

$f‘\left(x\right)=0$ setzen

$\begin{array}{rllll} 1-\dfrac{1}{4}\mathrm e^{x-4}&=0&\scriptsize{\mid\;+\dfrac{1}{4}\mathrm e^{x-4}}\\[5pt] 1&=\dfrac{1}{4}\mathrm e^{x-4}&\scriptsize{\mid\;\cdot4}\\[5pt] 4&=\mathrm e^{x-4}&\scriptsize{\mid\;\ln{\left(\;\right)}}\\[5pt] \ln{\left(4\right)}&=\ln{\left(\mathrm e^{x-4}\right)}\\[5pt] \ln{\left(4\right)}&=x-4&\scriptsize{\mid\;+4}\\[5pt] \ln{\left(4\right)}+4&=x \end{array}$

$x=4+\ln{\left(4\right)}$ auf echtes Maximum prüfen

$\begin{array}{rllll} f‘‘\left(4+\ln{\left(4\right)}\right)&=&=-\dfrac{1}{4}\cdot4\\[5pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$y$ -Wert zu $x=4+\ln{\left(4\right)}$ bestimmen

$\begin{array}{rllll} f\left(4+\ln{\left(4\right)}\right)&=4+\ln{\left(4\right)}-1\\[5pt] f\left(4+\ln{\left(4\right)}\right)&=3+\ln{\left(4\right)} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Daraus ergibt sich der höchste Punkt des Walls $H\left(4+\ln{\left(4\right)}\middle|3+\ln{\left(4\right)}\right)$ .

Der Pfeiler ist senkrecht zur Oberfläche des Walls eingelassen. Dies legt nahe, dass wir hier die Normale in dem Punkt bestimmen müssen.

Normale durch $\boldsymbol{x=3}$ bestimmen

$\begin{array}{rllll} n:y&=-\dfrac{1}{f‘\left(u\right)}\left(x-u\right)+f\left(u\right)\\[5pt] n:y&\approx -1,1x+6,208 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Schnittpunkt der Normalen mit dem Schaubild von $\boldsymbol{g}$ bestimmen

$\begin{array}{rllll} -1,1x+6,208&=\dfrac{1}{4}x&\scriptsize{\mid\;+1,1x}\\[5pt] 6,208&=1,35x&\scriptsize{\mid\;:1,35}\\[5pt] 4,6&\approx x \end{array}$

$y$ -Wert von $x=4,6$ bestimmen

$\begin{array}{rllll} g\left(4,6\right)&=\dfrac{1}{4}\cdot4,6\\[5pt] g\left(4,6\right)&=1,15\\[5pt] 4,6&\approx x \end{array}$

Der Pfeiler ist etwa bei $Q\left(4,6\middle|1,15\right)$ im ehemaligen Anstieg befestigt.

Hier ist gefragt, welchen Punkt auf dem Meer, d.h. auf der $x$ -Achse, man von $x=6$ aus gerade noch sehen kann.
Wir müssen also eine Tangente an der Stelle $x=6$ anlegen.

Tangentengleichung bestimmen

$\begin{array}{rllll} t:y&=f‘\left(u\right)\left(x-u\right)+f\left(u\right)\\[5pt] t:y&\approx -0,847x+9,207 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Schnittstelle der Tangente mit der $x$ -Achse bestimmen

$\begin{array}{rll{\hspace{1cm}}l} 10,9&=x \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Ein Schiff muss sich mindestens an der Stelle $x=10,9$ befinden, damit es auf dem Wall von der Stelle $x=6$ aus gesehen werden kann.

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