Determinante berechnen

Die Determinante kann nur von quadratischen Matrizen berechnet werden. Für $2\times2$ -Matrizen gibt es folgende Formel:

$det\left(\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\right)$ = $\left|\begin{pmatrix}a & b\\c & d \end{pmatrix}\right|$ = $a\cdot d -b\cdot c$

Für $3\times 3$ -Matrizten gilt die Regel von Sarrus:

$det\left(\begin{pmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\right)$

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Um dir diese Formel besser merken zu können, präge dir folgendes Schaubild ein:

Ein Kreuzworträtsel mit Buchstaben und Linien in verschiedenen Farben.

Anwendungen

Die Determinante einer Matrix kann dir bei der Berechnung des Flächeninhalts eines Paralellogramms helfen. Wenn zwei Vektoren $\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2 \end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2 \end{pmatrix}$ ein Parallelogramm aufspannen, dann lässt sich der Flächeninhalt $A$ wie folgt berechnen:

$A$ = $\left|det\left( \begin{pmatrix}a_1 & b_1\\a_2 & b_2 \end{pmatrix}\right)\right|$

Analoges gibt es auch im dreidimensionalen Fall für das Volumen eines Parallelflachs, das von den Vektoren $\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}b_1\\b_2 \\b_3\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix}c_1\\c_2\\c_3 \end{pmatrix}$ aufgespannt wird:

$V$ = $\left|det\left(\begin{pmatrix}a_1 & b_1 & c_1 \\a_2 & b_2 & c_2 \\a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \right)\right|$

Berechne die Determinante folgender Matrizen.

$\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}3&3\\7&1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}3&5\\6&10\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}13&-0,5\\0,25&-2\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}4&\frac{1}{3}\\9&1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&-1\\0&2\end{pmatrix}$

Berechne die Determinante folgender Matrizen.

$\begin{pmatrix}1&4&0\\2&1&3\\-1&-2&4\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}3&0&2\\-1&1&4\\0&1&0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}0,5&4&0\\2&-0,25&1\\2&2&-2\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}2&1&3\\-4&2&5\\-2&3&8\end{pmatrix}$

$\dfrac{1}{8}\cdot\begin{pmatrix}12&16&8\\-24&-8&16\\12&8&0\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}3&1&0\\-0,25&0,5&3\\1&1&0\end{pmatrix}$

Die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ spannen ein Parallelogramm auf. Berechne den Flächeninhalt $A$ dieses Parallelogramms mithilfe der Determinante.

$\vec a=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec b=\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}$

$\vec a=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec b=\begin{pmatrix}5\\-2\end{pmatrix}$

$\vec a=\begin{pmatrix}0\\-5\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec b=\begin{pmatrix}0,5\\3\end{pmatrix}$

$\vec a=\begin{pmatrix}6\\-0,25\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec b=\begin{pmatrix}0,25\\2\end{pmatrix}$

$\vec a=\begin{pmatrix}9\\6\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec b=\begin{pmatrix}2\\0,5\end{pmatrix}$

$\vec a=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\-6\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec b=\begin{pmatrix}0,25\\9\end{pmatrix}$

Die Vektoren $\vec a$ , $\vec b$ und $\vec c$ spannen ein Parallelflach auf. Berechne das Volumen $V$ dieses Parallelflachs mithilfe der Determinante.

$\vec a=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec b=\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec c=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}$

$\vec a=\begin{pmatrix}0\\-2\\4\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec b=\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec c=\begin{pmatrix}0\\0\\7\end{pmatrix}$

$\vec a=\begin{pmatrix}3\\5\\8\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec b=\begin{pmatrix}-1\\0,5\\0\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec c=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$

$\vec a=\begin{pmatrix}3,5\\1\\1\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec b=\begin{pmatrix}-0,25\\4\\4\end{pmatrix}$ , $\quad$ $\vec c=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$

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Für die Determinante einer 2x2-Matrix $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ gilt: $\quad$ $\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$

$\det\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}=2\cdot2-0\cdot1=4$

$\det\begin{pmatrix}3&3\\7&1\end{pmatrix}$