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Abi-Aufgaben

Digitales Schulbuch

Inhaltsverzeichnis

Eigenwerte und Eigenvektoren

Die Eigenwerte einer Matrix $A$ sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von $A$ , also die Lösungen $\lambda$ der Gleichung:

$det\left(A-\lambda \cdot I\right) =0$

Wobei $I$ die Einheitsmatrix der entsprechenden Dimension ist, also $I_3 = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ und $I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ . Die Eigenwerte kannst du also berechnen, indem du $A$ und $I$ in die Gleichung einsetzt, die Determinante in Abhängigkeit von $\lambda$ berechnest und dann die Nullstellen des dabei entstehenden Polynoms berechnest.

Wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ ist, dann heißen alle Vektoren $\overrightarrow{v} \neq \overrightarrow{0}$ , die die folgende Gleichung erfüllen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ :

$A\cdot \overrightarrow{v}$ $= \lambda \cdot \overrightarrow{v}$

Eigenvektoren kannst du daher bestimmen, indem du $A$ und $\lambda$ in die Gleichung einsetzt. Mit $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$ im dreidimensionalen Fall bzw. $\begin{pmatrix} v_1\\v_2\end{pmatrix}$ im zweidimensionalen Fall ergibt sich dann ein lineares Gleichungssystem, welches du lösen kannst. Beachte dabei, dass der Nullvektor $\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$ die Gleichung immer löst, aber niemals ein Eigenvektor ist. Es gibt immer unendlich viele Eigenvektoren.

Beispiel

Die Eigenwerte der Matrix $A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ sind die Lösungen der Gleichung $det\left(A-\lambda \cdot I\right)=0$ :

$\begin{array}[t]{rll} \lambda_1&=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \lambda_2&=& -1 \end{array}$

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Die Eigenwerte von $A$ sind also $3$ und $-1$ .

1.

a)

1. Schritt: Eigenwerte berechnen

Sei $A$ die Matrix, deren Eigenwerte bestimmt werden sollen und $E$ die Einheitsmatrix. Die Eigenwerte sind dann die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von $A$ ; anders formuliert:

Die Lösungen der Gleichung $\det(A-\lambda\cdot E)=0$ sind die Eigenwerte von $A$ :

$\begin{array}{rll} \det\left(A-\lambda\cdot E\right)&=&0\\[5pt] \end{array}$

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Für die Determinante einer 2x2-Matrix $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ gilt: $\det(A)=ad-bc$ .

Damit folgt:

$\begin{array}{rll} \lambda_1&=5\\[5pt] \lambda_2&=4\\[5pt] \end{array}$

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2. Schritt: Eigenvektoren bestimmen

Für einen Eigenvektor $\vec v$ zu einem Eigenwert $\lambda$ gilt:

$A\cdot\vec v=\lambda\cdot \vec v$ .

Bei Multiplikation der Matrix $A$ mit dem Vektor ergibt sich also ein Vielfaches von $\vec v$ . Umformen dieser Gleichung ergibt:

$\begin{array}{rll} A\cdot\vec v&=&\lambda\cdot\vec v\\ \end{array}$

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Setze nun nacheinander die Eigenwerte $\lambda_1=5$ und $\lambda_2=4$ in diese Gleichung und löse nach $\vec v$ auf.

Setze dazu $\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ .

Beachte auch: bei $\vec 0$ handelt es sich um einen Vektor.

$\begin{array}{lrll} \lambda_1=5 \end{array}$

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcr} (1)\quad&-2v_1&-&2v_2&=&0 \\ \end{array}$

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Setze daher z.B. $v_2=t$ . Dann gilt für $v_1$ :

$\begin{array}{rll} -2v_1-2t&=&0&\scriptsize{\mid\;+2t}\\[5pt] -2v_1&=&2t&\scriptsize{\mid\;:(-2)}\\[5pt] v_1&=&-t \end{array}$

Es folgt damit Eigenvektor $\vec v=\begin{pmatrix}-t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1=5$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

$\begin{array}{lrll} \lambda_2=4 \end{array}$

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrl} (1)\quad&-v_1&-&2v_2&=&0 \end{array}$

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Setze daher z.B. $v_2=t$ . Dann gilt für $v_1$ :

$\begin{array}{rll} -v_1-2t&=&0&\scriptsize{\mid\;+2t}\\[5pt] -v_1&=&2t&\scriptsize{\mid\;:(-1)}\\[5pt] v_1&=&-2t \end{array}$

Es folgt damit Eigenvektor $\vec v=\begin{pmatrix}-2t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2=4$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

b)

1. Schritt: Eigenwerte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \det\left(A-\lambda\cdot E\right)=0 \end{array}$

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Für die Determinante einer 2x2-Matrix $A$ = $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ gilt: $\det(A)$ = $ad-bc$ .

Damit folgt:

$\begin{array}{rll} \lambda_1&=&-\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{2}=1\\[5pt] \lambda_2&=&-\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}=-4 \end{array}$

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2. Schritt: Eigenvektoren bestimmen

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_1=1 \end{array}$

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrl} (1)\quad&-2v_1&+&3v_2&=&0\\ \end{array}$

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Setze daher z.B. $v_2=t$ . Dann gilt für $v_1$ :

$\begin{array}{rll} -2v_1+3t&=&0&\scriptsize{\mid\;-3t}\\[5pt] -2v_1&=&-3t&\scriptsize{\mid\;:(-2)}\\[5pt] v_1&=&1,5t \end{array}$

Es folgt damit Eigenvektor $\vec v=\begin{pmatrix}1,5t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}1,5\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1=1$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}1,5\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_2=-4 \end{array}$

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrl} (1)\quad&3v_1&+&3v_2&=&0 \\ \end{array}$

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Setze daher z.B. $v_2=t$ . Dann gilt für $v_1$ :

$\begin{array}{rll} 3v_1+3t&=&0&\scriptsize\mid\;-3t\\[5pt] 3v_1&=&-3t&\scriptsize\mid\;:3\\[5pt] v_1&=&-t \end{array}$

Es folgt damit Eigenvektor $\vec v=\begin{pmatrix}-t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2=-4$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

c)

1. Schritt: Eigenwerte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \det\left(A-\lambda\cdot E\right)&=0\\[5pt] \end{array}$

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Berechne die Determinante einer 3x3-Matrix z.B. über die Sarrus-Regel:

$\begin{array}{rll} \det\begin{pmatrix}1-\lambda&0&2\\4&1-\lambda&-3\\2&0&1-\lambda\end{pmatrix} \end{array}$

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Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null wird. Damit folgt als erste Nullstelle $\lambda_1=1$ .

Nullsetzen der Klammer alleine liefert:

$\begin{array}{rll} (1-\lambda)^2-4&=&0\\[5pt] 1-2\lambda+\lambda^2-4&=&0\\[5pt] \lambda^2-2\lambda-3&=&0\\[5pt] \lambda_{2,3}&=&1\pm\sqrt{1^2+3}\\[5pt] &=&1\pm\sqrt{4}\\[5pt] &=&1\pm2\\[5pt] \lambda_2&=&1+2=3\\[5pt] \lambda_3&=&1-2=-1 \end{array}$

2. Schritt: Eigenvektoren bestimmen

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_1=1 \end{array}$

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Aus Zeile (1) und (3) geht direkt hervor: $v_1=v_3=0$ . Die Komponente $v_2$ taucht im Vektor gar nicht auf, sie ist also frei wählbar. Setze deshalb $v_2=t$ und erhalte den Eigenvektor

$\vec v=\begin{pmatrix}0\\t\\0\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1=1$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_2=3 \end{array}$

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)\quad&-2v_1&&&+&2v_3&=&0 \end{array}$

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Wieder ist das Gleichungssystem unterbestimmt. Setze daher $v_3=t$ :

$\begin{array}{lrll} v_3=t\;\text{in}\;(1) \end{array}$

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Damit folgt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}t\\\frac{1}{2}t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}1\\0,5\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2=3$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}1\\0,5\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_3=-1 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)\quad&2v_1&&&+&2v_3&=&0\\ \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Wieder ist das Gleichungssystem unterbestimmt. Setze daher $v_3=t$ :

$\begin{array}{lrll} v_3=t\;\text{in}\;(1) \end{array}$

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Damit folgt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-t\\3,5t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-1\\3,5\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_3=-1$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-1\\3,5\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

d)

1. Schritt: Eigenwerte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \det\left(A-\lambda\cdot E\right)&=&0\\[5pt] \end{array}$

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Berechne die Determinante einer 3x3-Matrix z.B. über die Sarrus-Regel:

$\begin{array}{rll} \det\begin{pmatrix}-2-\lambda&3&0\\0&5-\lambda&0\\2&-3&-1-\lambda\end{pmatrix}&\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null wird. Damit folgen die Nullstellen $\lambda_1=-2$ , $\lambda_2=5$ , $\lambda_3=-1$ .

2. Schritt: Eigenvektoren bestimmen

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_1=-2 \end{array}$

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Aus den Zeilen (1) und (2) folgt direkt: $v_2=0$ . Setze $v_2=0$ in die dritte Zeile ein:

$\begin{array}{lrll} v_2=0\;\text{in}\;(3) \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Damit folgt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-0,5t\\0\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-0,5\\0\\1\end{pmatrix}$

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1=-2$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-0,5\\0\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_2=5 \end{array}$

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Betrachte die Zeilen (1) und (3) einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)\quad&-7v_1&+&3v_2&&& \end{array}$

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Wieder ist das Gleichungssystem unterbestimmt. Der Ausdruck $v_2$ ist in beiden Zeilen enthalten. Setze daher $v_2=t$ :

$\begin{array}{lrll} v_2=t\;\text{in}\;(1) \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Damit folgt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}\frac{3}{7}t\\t\\-\frac{15}{42}t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\1\\-\frac{15}{42}\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2=5$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}\frac{3}{7}\\1\\-\frac{15}{42}\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_3=-1 \end{array}$

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Aus Zeile (2) folgt direkt: $v_2=0$ . Setze dies ein in (1) und (3):

$\begin{array}{lrll} v_2=0\;\text{in}\;(1)\quad&-v_1+0&=&0\\[5pt] &v_1&=&0\\\\ v_2=0\;\text{in}\;(3)\quad&2v_1+0&=&0\\[5pt] &v_1&=&0 \end{array}$

Damit wissen wir, dass gilt: $v_1=v_2=0$ . Der Eintrag $v_3$ spielt in obiger Gleichung gar keine Rolle mehr. Setze daher $v_3=t$ und erhalte den Vektor

$\vec v=\begin{pmatrix}0\\0\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_3=-1$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

e)

1. Schritt: Eigenwerte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \det\left(A-\lambda\cdot E\right)&=&0\\[5pt] \end{array}$

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Berechne die Determinante einer 3x3-Matrix z.B. über die Sarrus-Regel:

$\begin{array}{rll} \det\begin{pmatrix}-3-\lambda&0&3\\2&2-\lambda&1\\3&0&5-\lambda\end{pmatrix}\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null wird. Damit folgt die erste Nullstelle $\lambda_1=2$

Nullsetzen der Klammer alleine liefert:

$\begin{array}{rll} (-3-\lambda)\cdot(5-\lambda)-9&=&0\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Eigenvektoren bestimmen

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_1=2 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Gleichung zeilenweise und erhalte so ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrl} (1)\quad&-5v_1&+&3v_3&=&0\\ \end{array}$

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Aus den Zeilen (2)a und (3)a folgt:

$v_3=0$ und damit auch:

$-5v_1+0=0\;\Rightarrow\;v_1=0$ .

Einzig die Variable $v_2$ taucht in der Rechnung nicht auf. Für $v_2$ können wir daher $v_2=t$ setzen und erhalten den Vektor

$\vec v=\begin{pmatrix}0\\t\\0\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1=2$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_2=6 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Gleichung zeilenweise und erhalte so ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)\quad&-9v_1&&&+&3v_3& \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt daher unendlich viele Lösungen. Die Variable $v_3$ kommt in beiden Zeilen vor. Setze deshalb $v_3=t$ :

$\begin{array}{lrll} v_3=t\;\text{in}\;(1) \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Damit folgt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}t\\\frac{15}{36}t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{15}{36}\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2=6$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{15}{36}\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_3=-4\text{:} \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Gleichung zeilenweise und erhalte so ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)&v_1&&&+&3v_3&=&0\\ \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt daher unendlich viele Lösungen. Die Variable $v_3$ kommt in beiden Zeilen vor. Setze deshalb $v_3=t$ :

$\begin{array}{lrll} v_3=t\;\text{in}\;(1) \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Damit folgt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-3t\\\frac{5}{6}t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-3\\\frac{5}{6}\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_3=-4$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-3\\\frac{5}{6}\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

f)

1. Schritt: Eigenwerte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \det\left(A-\lambda\cdot E\right)&=&0\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Berechne die Determinante einer 3x3-Matrix z.B. über die Sarrus-Regel:

$\begin{array}{rll} \det\begin{pmatrix}1-\lambda&4&0\\2&1-\lambda&4\\0&2&1-\lambda\end{pmatrix}& \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null wird. Damit folgt die erste Nullstelle $\lambda_1=1$ .

Nullsetzen der Klammer alleine liefert:

$\begin{array}{rll} (1-\lambda)^2-16&=&0\\[5pt] \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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2. Schritt: Eigenvektoren bestimmen

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_1=1\text{:} \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Aus Zeile (1) und (3) folgt sofort: $v_2=0$ . Betrachte die mittlere Zeile einzeln:

$\begin{array}{rll} 2v_1+4v_3&=&0&\scriptsize{\mid\;\text{Setze}\;v_3=t}\\[5pt] 2v_1+4t&=&0&\scriptsize{\mid\;-4t}\\[5pt] 2v_1&=&-4t&\scriptsize{\mid\;:2}\\[5pt] v_1&=&-2t \end{array}$

Damit folgt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-2t\\0\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_1=1$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_2=5 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)&-4v_1&+&4v_2&&&=&0\\ \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Die Variable $v_2$ kommt in beiden Zeilen vor. Setze deshalb $v_2=t$ :

$\begin{array}{lrll} v_2=t\;\text{in}\;(1) \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es folgt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}t\\t\\0,5t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0,5\end{pmatrix}$

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2=5$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}1\\1\\0,5\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda_3=-3\text{:} \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)&4v_1&+&4v_2&=&0\\ \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Die Variable $v_2$ kommt in beiden Zeilen vor. Setze deshalb $v_2=t$ :

$\begin{array}{lrll} v_2=t\;\text{in}\;(1) \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es folgt der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-t\\t\\-0,5t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\-0,5\end{pmatrix}$

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2=-3$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-1\\1\\-0,5\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

2.

a)

Für einen Eigenvektor $\vec v$ zu einem Eigenwert $\lambda$ gilt:

$A\cdot\vec v=\lambda\cdot \vec v$ .

Bei Multiplikation der Matrix $A$ mit dem Vektor ergibt sich also ein Vielfaches von $\vec v$ . Umformen dieser Gleichung ergibt:

$\begin{array}{rll} A\cdot\vec v&=&\lambda\cdot\vec v&\scriptsize{\mid\;\lambda\cdot\vec v}\\[5pt] A\cdot\vec v-\lambda\cdot\vec v&=&\vec 0&\\[5pt] (A-\lambda\cdot E)\cdot\vec v&=&\vec 0 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Setze nun den Eigenwert $\lambda=-1$ in diese Gleichung und löse nach $\vec v$ auf. Setze dazu $\vec v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$ .

Beachte auch: bei $\vec 0$ handelt es sich um einen Vektor.

$\begin{array}{lrll} \lambda=-1 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrl} (1)&v_1&+&v_2&=&0\\ (2)&-v_1&-&v_2&=&0& \\\hline (1)&v_1&-&v_2&=&0\\ (2)\text{a}\quad&&&0&=&0 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Setze daher z.B. $v_2=t$ . Dann gilt für $v_1$ :

$\begin{array}{rll} v_1+t&=&0&\scriptsize{\mid\;-t}\\[5pt] v_1&=&-t \end{array}$

Es folgt damit der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda=-1$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

b)

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda=2 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrl} (1)&3v_1&+&2v_2&=\\ (2)&3v_1&+&2v_2&= \\\hline (1)&3v_1&+&2v_2&=\\ (2)\text{a}\quad&&&0&= \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Setze daher z.B. $v_2=t$ . Dann gilt für $v_1$ :

$\begin{array}{rll} 3v_1+2t&=&0&\scriptsize{\mid\;-2t}\\[5pt] 3v_1&=&-2t&\scriptsize{\mid\;:3}\\[5pt] v_1&=&-\frac{2}{3}t \end{array}$

Es folgt damit der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda=2$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

c)

$\begin{array}[t]{lrll} \lambda=-3 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)&&&2v_2&+\\ (2)&v_1&+&4v_2&+\\ (3)&v_1&+&5v_2&+\\ \hline (1)&&&2v_2&+&\\ (2)&v_1&+&4v_2&+&\\ (3)\text{a}&&-&v_2&-\\ \hline (1)\text{a}&0&\\ (2)\text{a}\quad&3v_1&+\\ (3)\text{a}&-&v_2&- \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Die Variable $v_2$ kommt in beiden Gleichungen vor. Setze daher z.B. $v_2=t$ :

$\begin{array}{lrll} &v_1&=&-\frac{10}{3}t\\\\ &v_3&=&-\frac{1}{3}t \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es folgt damit der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-\frac{10}{3}t\\t\\-\frac{1}{3}t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-\frac{10}{3}\\1\\-\frac{1}{3}\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda=-3$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-\frac{10}{3}\\1\\-\frac{1}{3}\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

d)

$\begin{array}[t]{lrll} &\begin{pmatrix}-2v_1&-2v_2&+8v_3\\6v_1&+4v_2&-8v_3\\4v_1&+2v_2&\end{pmatrix} \end{array}$

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)&-2v_1&-&2v_2&+\\ (2)&6v_1&+&4v_2&-\\ (3)&4v_1&+&2v_2 &...\\ \end{array}$

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Die Variable $v_1$ kommt in beiden Gleichungen vor. Setze daher z.B. $v_1=t$ :

$\begin{array}{lrll} &v_3&=&-0,25t\\\\ &v_2&=&-2t \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es folgt damit der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}t\\-2t\\-0,25t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\-0,25\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda=2$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}1\\-2\\-0,25\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

e)

$\begin{array}[t]{L{2cm}rll} &\begin{pmatrix}2v_1&-2v_2&+3v_3\\4v_1&-4v_2&+6v_3\\7v_1&-8v_2&+10v_3\end{pmatrix} \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)&2v_1&-&2v_2&+&...\\ (2)&4v_1&-&4v_2&+&...\\ (3)&7v_1&-&8v_2&+&...\\ \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Die Variable $v_3$ kommt in beiden Gleichungen vor. Setze daher z.B. $v_3=t$ :

$\begin{array}{lrll} &v_1&=&-2t \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es folgt damit der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-2t\\-0,5t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-0,5\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda=-1$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-2\\-0,5\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

f)

$\begin{array}[t]{lrll} &\begin{pmatrix}5v_1&+3v_2&+4v_3\\7v_1&+7v_2&+3v_3\\3v_1&-v_2&+5v_3\end{pmatrix} \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Betrachte die Zeilen einzeln und erhalte ein lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}[t]{lrcrcrcrl} (1)&5v_1&+&3v_2&+&...\\ (2)&7v_1&+&7v_2&+&...\\ (3)&3v_1&-&v_2&+&...\ \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es gibt also unendlich viele Lösungen. Die Variable $v_3$ kommt in beiden Gleichungen vor. Setze daher z.B. $v_3=t$ :

$\begin{array}{lrll} &v_1&=&-\frac{19}{14}t\\\\ &v_2&=&\frac{13}{14}t \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Es folgt damit der Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-\frac{19}{14}t\\\frac{13}{14}t\\t\end{pmatrix}=t\cdot\begin{pmatrix}-\frac{19}{14}\\\frac{13}{14}\\1\end{pmatrix}$ .

Der Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda=-5$ ist Vektor $\vec v=\begin{pmatrix}-\frac{19}{14}\\\frac{13}{14}\\1\end{pmatrix}$ und jedes reelle Vielfache davon, außer dem Nullvektor.

3.

a)

Sei $A$ die Matrix, deren Eigenwerte bestimmt werden sollen und $E$ die Einheitsmatrix. Die Eigenwerte sind dann die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von $A$ ; anders formuliert:

Die Lösungen der Gleichung $\det(A-\lambda\cdot E)=0$ sind die Eigenwerte von $A$ .

Setze also die angegebenen Werte für $\lambda$ ein und zeige, dass sie die Gleichung erfüllen.

$\begin{array}{lrll} &\det\begin{pmatrix}3&9\\2&6\end{pmatrix}&=&0 \end{array}$

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Für die Determinante einer 2x2-Matrix $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ gilt: $\det(A)=ad-bc$ .

Damit folgt:

$\begin{array}{rll} \det\begin{pmatrix}3&9\\2&6\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] 3\cdot6-9\cdot2&=&0\\[5pt] 18-18&=&0 \end{array}$

Dies ist eine wahre Aussage. Also ist $\lambda_1=-1$ ein Eigenwert der Matrix $A$ .

$\begin{array}{lrll} \lambda_2=8 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Für die Determinante einer 2x2-Matrix $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ gilt: $\det(A)=ad-bc$ .

Damit folgt:

$\begin{array}{rll} \det\begin{pmatrix}-6&9\\2&-3\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] (-6)\cdot(-3)-9\cdot2&=&0\\[5pt] 18-18&=&0 \end{array}$

Dies ist eine wahre Aussage. Also ist $\lambda_2=8$ ein Eigenwert der Matrix $A$ .

b)

$\begin{array}[t]{lrll} &\det\begin{pmatrix}2-\sqrt{24}&5\\4&-2-\sqrt{24}\end{pmatrix} \end{array}$

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Für die Determinante einer 2x2-Matrix $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ gilt: $\det(A)=ad-bc$ .

Damit folgt:

$\begin{array}{rll} 20-20&=&0\\ \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Dies ist eine wahre Aussage. Also ist $\lambda_1=\sqrt{24}$ ein Eigenwert der Matrix $A$ .

$\begin{array}{lrll} \lambda_2=-\sqrt{24}\text{:} \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Für die Determinante einer 2x2-Matrix $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ gilt: $\det(A)=ad-bc$ .

Damit folgt:

$\begin{array}{rll} 20-20&=&0\\ \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Dies ist eine wahre Aussage. Also ist $\lambda_2=-\sqrt{24}$ ein Eigenwert der Matrix $A$ .

c)

$\begin{array}[t]{lrll} &\det\begin{pmatrix}-2&2&2\\0&-4&0\\4&2&-4\end{pmatrix}&=&0 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Berechne die Determinante nach der Sarrus-Regel.

Damit folgt:

$\begin{array}{rll} -32+32&=&0 \end{array}$

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Dies ist eine wahre Aussage. Also ist $\lambda_1=5$ ein Eigenwert der Matrix $A$ .

$\begin{array}{lrll} \lambda_2=-1\text{:} \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Berechne die Determinante nach der Sarrus-Regel.

Damit folgt:

$\begin{array}{rll} 16-16&=&0 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Dies ist eine wahre Aussage. Also ist $\lambda_2=-1$ ein Eigenwert der Matrix $A$ .

$\begin{array}{lrll} \lambda_3=1\text{:} \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Berechne die Determinante nach der Sarrus-Regel.

Damit folgt:

$\begin{array}{rll} 0&=&0 \end{array}$

Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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Dies ist eine wahre Aussage. Also ist $\lambda_3=1$ ein Eigenwert der Matrix $A$ .

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