Gerade - Gerade

Mit dem Abstand zwischen zwei Geraden $g$ und $h$ ist der kürzeste Abstand zwischen diesen beiden Geraden gemeint. Um diesen bestimmen zu können, ist es zuerst nötig die gegenseitige Lage der Geraden zu kennen. Wir unterscheiden diese vier Möglichkeiten:

Die beiden Geraden sind identisch $\Rightarrow$ der Abstand ist null
Die beiden Geraden schneiden sich $\Rightarrow$ der Abstand ist null
Die beiden Geraden sind parallel $\Rightarrow$ der Abstand zwischen den parallelen Geraden entspricht dem Abstand eines beliebigen Punkts $P$ auf $g$ zur Gerade $h$
Die beiden Geraden sind windschief $\Rightarrow$ der Abstand wird mit Hilfe einer Hilfsebene berechnet

Vorgehen mit einer Hilfsebene

Stelle eine Hilfsebene in Parameterform auf. Diese Hilfsebene enthält eine der Geraden $g$ und verläuft parallel zur anderen Geraden $h$ . Wähle also als Spannvektoren die beiden Richtungsvektoren der Geraden und als Stützvektor den Stützvektor von $g$ .

Bestimme eine Hilfsgerade, die senkrecht auf der Hilfsebene steht und die andere Gerade $h$ schneidet. Dazu kannst du den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor und den Stützvektor von $h$ als Stützvektor verwenden.

Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden und der Hilfsebene.

Berechne den Abstand zwischen Schnittpunkt und dem Stützpunkt von $h$ . Dieser Abstand entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden.

Grafik zeigt Geometrie mit Schnittpunkten, Höhen, Abständen und Normalenvektoren.

Zunächst muss man überprüfen, ob die Geraden parallel oder windschief sind. Dazu prüft man die Richtungsvektoren auf lineare Abhängig-bzw. Unabhängigkeit.
Dann hat man mehrere Möglichkeiten den Abstand zu berechnen.

Überprüfung, ob parallel oder windschief:

$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$ = $r\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

$\begin{array}{rlrl} 1=&2r&\quad \Rightarrow r=\dfrac{1}{2} \\[5pt] 2=&0r&\quad \Rightarrow 2=0 & \text{keine Lösung} \\[5pt] 0=&2r&\quad \Rightarrow 0=r \end{array}$

Die Richtungsvektoren sind somit linear unabhängig voneinander, demnach liegen die Geraden nicht parallel sondern windschief zueinander (da sie laut Aufgabenstellung entweder windschief oder parallel sind).

„Ersatzebene“ $E$ aufstellen mit den zwei Richtungsvektoren der Geraden:

$E:\;\overrightarrow{x}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ u\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right)+ v\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor für Koordinatenform aufstellen:

$\overrightarrow {n}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 0 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ - 2 \\ - 4 \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ - 1 \\ - 2 \\ \end{array}} \right)$

$E:\;2x_1-x_2-2x_3=d$

$P$ $(2\,|\,1\,|\,0)$ in $E:\;2\cdot2-1\cdot1-2\cdot0$ = $d=3$

$E:\;2x_1-x_2-2x_3=3$

Hesse‘sche Normalenform $\text{HNF}$ aufstellen:

$E_{\text{HNF}}$ : ...

Vollständige Lösung anzeigen

Der Abstand der beiden Geraden entspricht nun dem Abstand des Stützpunktes von $g$ zur Ebene $E$ . Um diesen zu bestimmen, werden die Koordinaten des Stützpunktes in die HNF eingesetzt:

$d$ = $\left|\dfrac{2\cdot2-2-2\cdot4-3}{3}\right|$ = $\left|\dfrac{-9}{3}\right|$ = $3$ .

Die beiden Geraden haben einen Abstand von 3 LE voneinander

Überprüfung, ob parallel oder windschief:

$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$ = $r\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

$\begin{array}{rlrl} 1=&0r&\quad \Rightarrow 1=0 &\text{keine Lösung} \\[5pt] 1=&r&\quad \Rightarrow r=1 \\[5pt] 1=&2r&\quad \Rightarrow r=\frac{1}{2} \end{array}$

Die Richtungsvektoren sind somit linear unabhängig voneinander,und windschief zueinander.

„Ersatzebene“ $E$ aufstellen mit den zwei Richtungsvektoren der Geraden:

$E:\;\overrightarrow{x}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)+ u\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ v\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor für Koordinatenform aufstellen:

$\overrightarrow {n}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} { 1} \\ { 1} \\ 1 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { - 2} \\ { 1} \\ \end{array}} \right)$

$E:\;x_1-2x_2+x_3=d$

$P$ in $E$ : $\;1\cdot2-2\cdot1+1\cdot(-2)=d=-2$

$E:\;x_1-2x_2+x_3=-2$

$\text{HNF}$ aufstellen:

$\dfrac{x_1-2x_2+x_3-(-2)}{\sqrt{6}}=0$

Der Abstand des Stützvektors von $g$ zur Ebene $E$ entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden:

$d$ = $\left|\dfrac{1\cdot1-2\cdot1+1\cdot5+2}{\sqrt{6}}\right|$ = $\dfrac{6}{\sqrt{6}}$ = $\sqrt{6}\approx 2,45$

Überprüfung, ob parallel oder windschief:

$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 0\\ \end{array}} \right)$ = $r\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 4 \\ 0 \\ \end{array}} \right)$

$\begin{array}{rlrrl} 1=&-2r&\quad \Rightarrow &-\dfrac{1}{2}=&r \\ -2=&4r&\quad \Rightarrow &-\dfrac{1}{2}=&r \\ 0=&0r&\quad \Rightarrow &0=&0 \end{array}$

Die Richtungsvektoren sind somit linear abhängig voneinander,und parallel zueinander.

Der Abstand des Stützvektors von $g$ zum Fußpunkt auf $h$ entspricht dem Abstand der beiden Geraden (vgl.Skript).

Fußpunkt welcher auf $h$ liegt bestimmen:

$F(4-2t\mid 2+4t\mid 0)$

$\overrightarrow{PF}$ bestimmen:

$\overrightarrow{PF}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 4-2t-2 \\ 2+4t-1 \\ 0-6 \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 2-2t \\ 1+4t \\ -6 \\ \end{array}} \right)$

Dieser Verbindungsvektor muss senkrecht zur Geraden stehen, sein Skalarprodukt muss mit dem Richtungsvektor der Geraden also Null ergeben:

$\left( {\begin{array}{*{20}r} 2-2t \\ 1+4t \\ -6 \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}r} -2 \\ 4 \\ 0 \\ \end{array}} \right)=0$

$\begin{array}{rl} -4+4t+4+16t=&0 \\[5pt] 20t=&0 \\[5pt] t=&0 \end{array}$

Dieser Wert liefert uns den gesuchten Verbindungsvektor $\overrightarrow{PF}$ . Der Betrag des Verbindungsvektors gibt uns also den Abstand der beiden parallelen Geraden an:

$d$ = $\left|\overrightarrow{PF}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ -6 \\ \end{array} \right)\right|$ = $\sqrt{4+1+36}$ = $\sqrt{41}$

Überprüfung, ob parallel oder windschief:

$\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)$ = $r\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$

$\begin{array}{rlrl} 2=&2r&\quad \Rightarrow& r=1 \\[5pt] -1=&r&\quad \Rightarrow& r=-1 \\[5pt] -2=&4r&\quad \Rightarrow& r=-\frac{1}{2} \end{array}$

Die Richtungsvektoren sind somit linear unabhängig voneinander,und windschief zueinander.

„Ersatzebene“ $E$ aufstellen mit den zwei Richtungsvektoren der Geraden:

$E:\;\overrightarrow{x}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ 2 \\ -2 \\ \end{array}} \right)+ u\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ -1 \\ -2 \\ \end{array}} \right)+ v\left( {\begin{array}{*{20}r} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor für Koordinatenform aufstellen:

$\overrightarrow {n}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} { 2} \\ { -1} \\ -2 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 1 \\ 4 \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} -2 \\ { - 12} \\ { 4} \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ { 6} \\ { -2} \\ \end{array}} \right)$

$E:\;x_1+6x_2-2x_3=d$

$P$ in $E:\;1\cdot0+6\cdot2-2\cdot(-2)=d=16$

$E:\;x_1+6x_2-2x_3=16$

$\text{HNF}$ aufstellen:

$\dfrac{x_1+6x_2-2x_3-16}{\sqrt{41}}=0$

Der Abstand des Stützvektors von $g$ zur Ebene $E$ entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden:

$d$ = $\left|\dfrac{1\cdot2+6\cdot4-2\cdot0-16}{\sqrt{41}}\right|$ = $\dfrac{10}{\sqrt{41}}$

Überprüfung, ob parallel oder windschief:

$\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$ = $r\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$\begin{array}{rlrl} 1=&0r&\quad \Rightarrow 1=0& \text{Widerspruch} \\[5pt] -2=&-2r&\quad \Rightarrow r=1 \\[5pt] 1=&r&\quad \Rightarrow r=1 \end{array}$

Die Richtungsvektoren sind somit linear unabhängig voneinander, und windschief zueinander.

„Ersatzebene“ $E$ aufstellen mit den zwei Richtungsvektoren der Geraden:

$E:\;\overrightarrow{x}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array}} \right)+ u\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)+ v\left( {\begin{array}{*{20}r} 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

Normalenvektor für Koordinatenform aufstellen:

$\overrightarrow {n}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} { 1} \\ { -2} \\ 1 \\ \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ { - 1} \\ { -2} \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 \\ { 1} \\ { 2} \\ \end{array}} \right)$

$E:\;x_2+2x_3=d$

$P$ in $E$ : $\;1\cdot2+2\cdot4=d=10$

$E:\;x_2+2x_3=10$

$\text{HNF}$ aufstellen:

$\dfrac{x_2+2x_3-10}{\sqrt{5}}=0$

Der Abstand des Stützvektors von $g$ zur Ebene $E$ entspricht dem Abstand der windschiefen Geraden:

$d=\left|\dfrac{1\cdot6+2\cdot8-10}{\sqrt{5}}\right|$ = $\dfrac{12}{\sqrt{5}}$

Überprüfung, ob parallel oder windschief:

$\left( {\begin{array}{*{20}r} 4 \\ 0 \\ 4\\ \end{array}} \right)$ = $r\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)$

$\begin{array}{rlr} 4=&1r&\quad \Rightarrow r=4 \\[5pt] 0=&0r&\quad \Rightarrow 0=0 \\[5pt] 4=&1r&\quad \Rightarrow r=4 \end{array}$

Die Richtungsvektoren sind somit linear abhängig voneinander,und parallel zueinander.

Der Abstand des Stützvektors von $g$ zum Fußpunkt auf $h$ entspricht dem Abstand der beiden Geraden.

Fußpunkt welcher auf $h$ liegt bestimmen:

$F(2+t\mid 1\mid 2+t)$

$\overrightarrow{PF}$ bestimmen:

$\overrightarrow{PF}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} 2+t-2 \\ 1-3 \\ 2+t-4 \\ \end{array}} \right)$ = $\left( {\begin{array}{*{20}r} t \\ -2 \\ t-2 \\ \end{array}} \right)$

Das Skalarprodukt zwischen $\overrightarrow{PF}$ und dem Richtungsvektor von h muss gleich $0$ sein:

$\left( {\begin{array}{*{20}r} t \\ -2 \\ t-2 \\ \end{array}} \right)\cdot\left( {\begin{array}{*{20}r} 1 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array}} \right)=0$

$\begin{array}{rl} t+t-2=&0 \\[5pt] 2t=&2& \\[5pt] t=&1 \end{array}$

$d=\left|\overrightarrow{PF}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{*{20}r} 1 \\ -2 \\ -1 \\ \end{array} \right)\right|$ = $\sqrt{1+4+1}$ = $\sqrt{6}$

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

$\begin{array}{rll} h:\overrightarrow{x}=&\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB} \\[5pt] \overrightarrow{x}=&\left(\begin{array}{r} 2\\ -3\\ -5\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 8\\ \end{array}\right) \end{array}$

2. Schritt: Gegenseitige Lage der Geraden prüfen

Die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind linear abhängig:

$\left(\begin{array}{r} 0\\ 2\\ 8\\ \end{array}\right)$ = $2\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)$

$g$ und $h$ verlaufen also parallel. Wir bestimmen den Abstand des Stützvektors von $g$ zu der Geraden $h$ .

3. Schritt: Abstand von $g$ und $h$ bestimmen

Wir bestimmen den Abstand von $P\left(1\mid 2\mid -2\right)$ von $h$ .
Jeder Punkt $Q$ , der auf $h$ liegt, hat die Koordinaten $Q\left(2\mid -3+2s\mid -5+8s\right)$ .

Wir bestimmen nun den Verbindungsvektor von $P$ und $Q$ :

$\overrightarrow{PQ}$ = $\left(\begin{array}{r} 2-1\\ -3+2s-2\\ -5+8s-(-2)\\ \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{r} 1\\ -5+2s\\ -3+8s\\ \end{array}\right)$

Dieser Verbindungsvektor muss senkrecht zur Geraden stehen, sein Skalarprodukt muss mit dem Richtungsvektor der Geraden also Null ergeben.

$\begin{array}{rll} \frac{1}{2}=&s \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Dieser Wert eingesetzt in die Geradengleichung liefert uns den gesuchten Punkt $Q$ , der auf $h$ liegt und zu $P$ den kleinsten Abstand hat:

$Q\left(2\mid -2\mid -1\right)$ .

Der Betrag des Verbindungsvektors von $P$ und $Q$ gibt uns also den Abstand der beiden parallelen Geraden an:

$d=$ $\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ -5+2\cdot\dfrac{1}{2}\\ -3+8\cdot\dfrac{1}{2}\\ \end{array}\right)\right|$ = $\left|\left(\begin{array}{r} 1\\ -4\\ 1\\ \end{array}\right)\right|$ = $\sqrt{1+16+1}$ = $\sqrt{18}$

Die beiden Geraden sind $\sqrt{18}$ LE voneinander entfernt.

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Der Richtungsvektor der $x_1$ -Achse lautet $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$ . Da $h$ parallel zu dieser Achse verläuft, lautet die Geradengleichung:

$h:\overrightarrow{x}$ = $\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 3\\ \end{array}\right)+s\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$ .

2. Schritt: Gegenseitige Lage der Geraden prüfen

Da die Richtungsvektoren von $g$ und $h$ nicht linear abhängig sind, sind die Geraden nicht parallel. Um nun zu prüfen, ob sie einen Schnittpunkt besitzen, oder ob sie windschief verlaufen setzen wir $g=h$ .

$\begin{array}{lrll} Ⅰ&1=&s \\[5pt] Ⅱ&2+r=&1&\quad\scriptsize\mid -2 \\[5pt] Ⅲ&-2+4r=&3&\quad\scriptsize\mid +2 \\[5pt] \hline Ⅰ&1=&s \\[5pt] Ⅱ&r=&-1 \\[5pt] Ⅲ&4r=&5 \end{array}$

Aus Ⅱ ergibt sich $r=-1$ , aus Ⅲ $r=\frac{5}{4}$ . Das Gleichungssystem besitzt keine Lösung und die Geraden keinen Schnittpunkt. Sie verlaufen windschief zueinander.

3. Schritt: Abstand von $g$ und $h$ bestimmen

Wir stellen die Gleichung einer Hilfsebene $H$ auf, die parallel zur $h$ verläuft und in der $g$ liegt. Als Spannvektoren für diese Ebene $H$ benutzen wir also die beiden Richtungsvektoren von $g$ und $h$ .

$H:\overrightarrow{x}$ = $\left(\begin{array}{r} 1\\ 2\\ -2\\ \end{array}\right)+k\cdot\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)+l\cdot\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$

Nun bestimmen wir den Abstand des Stützvektors von $h$ und der Hilfsebene $H$ . Hierzu bestimmen wir die Hesseschen Normalenform von $H$ .

4. Schritt: Normalenvektor berechnen - Kreuzprodukt der Spannvektoren

$\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{r} 0\\ 1\\ 4\\ \end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ 0\\ \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{r} 0\\ 4\\ -1\\ \end{array}\right)$

Als vorläufige Normalenform ergibt sich also $H:4x_2-x_3=d$ . Wir setzen die Koordinaten des Stützvektors von $g$ in die Gleichung ein, um $d$ zu bestimmen.

$4\cdot2-(-2)=d=10$ .

Damit lautet die Normalenform von $H:4x_2-x_3=10$ . Für die hessesche Normalenform wird diese noch durch den Betrag des Normalenvektors geteilt:

$H:\dfrac{4x_2-x_3-10}{\sqrt{4^2+1}}$ = $\dfrac{4x_2-x_3-10}{\sqrt{17}}$

Nun setzen wir den Punkt $A$ in diese Gleichung ein. Da $g$ und die Ebene $H$ parallel verlaufen, gibt uns der Abstand von $A$ zu $H$ auch den Abstand von $h$ zu $H$ .

$d=\left|\dfrac{4\cdot1-3-10}{\sqrt{17}}\right|$ = $\left|\dfrac{-9}{\sqrt{17}}\right|\approx2,18$

Der Abstand der Geraden beträgt etwa $2,18$ LE.

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