Logistisches Wachstum

Beim logistischen Wachstum handelt es sich um ein Modell in der Mathematik, welches oft für Wachstumsprozesse bei Bakterien angewendet wird. Hier wird das Modell des exponentiellen Wachstums so angepasst, dass es den Verbrauch einer Ressource mit einschließt. Bei einer Bakterienkultur könnte das beispielsweise der Nährboden, der nur eine begrenzte Größe hat, sein. Zu Beginn verläuft der Wachstumsprozess somit exponentiell und, wenn man sich der Sättigungsgrenze nähert, wird er durch ein beschränktes Wachstumsmodell beschrieben.

Modell

Eine logistische Wachstumsfunktion hat allgemein folgende Gleichung:

$B(t)= \dfrac{a\cdot S}{a + \left(S-a\right)\mathrm{e}^{-Skt}}$

Dabei gilt folgendes für die Parameter:

$t$ : Zeit
$B(t)$ : Bestandsgröße nach $t$ Zeitschritten
$S$ : natürliche Schranke
$k$ : Wachstumskonstante
$a$ : Anfangsbestand zur Zeit $t=0$
$S$ : Schranke für die Bestandsgröße, die nicht überschritten werden kann

Beispiel

Auf einem Nährboden vermehrt sich eine Bakterienkultur. Zu Beginn befindet sich eine Bakterienkultur aus 15 Bakterien auf dem Nährboden, nach 10 Tagen sind es bereits 114 Bakterien. Der Nährboden bietet Platz für ca. 200 Bakterien.

Bestimme zunächst die Schranke:

Da die Anzahl von 200 nie überschritten werden kann gilt $S=200$ .

Da zu Beginn der Beobachtung $15$ Bakterien vorhanden sind, ist der Anfangsbestand $a= 15$ .

Als nächstes kannst du mit Hilfe der zweiten Angabe $B(10)=114$ die Wachstumskonstante $k$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} k&\approx=&0,0014 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Das logistische Wachstumsmodell lautet dann:

$B(t) = \dfrac{3000}{15 + 185\mathrm{e}^{-0,28t}}$ .