Exponentialfunktionen

Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form:

$f(x) = a^x$

$a$ wird als Basis bezeichnet und $x$ als Exponent.

Hast du eine solche Funktion gegeben, kannst du beim Skizzieren des Graphen entweder eine Wertetabelle anlegen oder dich an einer Grundfunktion orientieren.

Beispiel

Gegeben: $f(x)= -\mathrm e^{2-x} +1$

Es handelt sich hier um eine veränderte $\mathrm e$ -Funktion. Du kannst den Funktionsterm zunächst umformen:

$f(x)= -\mathrm e^{2-x} +1 = -\mathrm e^{2}\cdot \mathrm e^{-x} + 1$

Mit der Berechnung der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen erhältst du folgende Informationen:

Der Graph zu $-\mathrm e^x = -1\cdot \mathrm e^x$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $\mathrm e^x$ an der $x$ -Achse.

Der Graph zu $e^{-x}$ entsteht durch Spiegelung des Graphen von $e^x$ an der $y$ -Achse.

Der Faktor $\mathrm e^2\approx 7,39$ führt zu einer Streckung des Graphen in $y$ -Richtung.

Der Summand $+1$ im Funktionsterm bewirkt eine Verschiebung des Graphen im Koordinatensystem um $1$ Einheit nach oben.
Der Graph nähert sich also für große Werte der waagerechten Asymptote $y=1$ an.

Schnittpunkte mit den Achsen: $S_x(2\mid 0)$ und $S_y(0\mid-\mathrm e^2+1)\approx (0\mid -6,39)$

Insgesamt entsteht der Graph von $f$ also aus dem Graph der $\mathrm e$ -Funktion durch Spiegelung an der $x$ -Achse und der $y$ -Achse, anschließende Streckung in $y$ -Richtung um den Faktor $\mathrm e^2\approx 7,39$ und Verschiebung um eine Einheit in positive $y$ -Richtung (nach oben).

Diagramm mit einer grünen Kurve auf einem Gitterhintergrund, beschriftet mit Sx, Sy und f.

Skizziere die Schaubilder folgender Funktionen und bestimme die Gleichung der Asymptote.

$f(x)= \mathrm{e}^{x+1}-2\;$

$f(x)=-\mathrm{e}^{2x}$

$f(x)=2\mathrm{e}^{2x}+2\;$

$f(x)=1-\mathrm{e}^{-x}$

$f(x)=\mathrm{e}^{-x}+1\;$

$f(x)=\mathrm{e}^{x-2}-2$

Skizziere das Schaubild der Funktion und beschreibe, wie es aus dem Schaubild der $\mathrm{e}$ -Funktion hervorgeht.

$f(x)=\mathrm{e}^{x+1}$

$f(x)=-\mathrm{e}^x$

$f(x)=\mathrm{e}^{-x}+1$

$f(x)=-\mathrm{e}^{x}-2$

$f(x)=\mathrm{e}^{-x-3}$

$f(x)=\mathrm{e}^x-3$

Verschiebe das Schaubild der angegebenen Funktion wie gefordert und gib die Funktionsgleichung der neuen Funktion an.

$f(x)=\mathrm{e}^x$

Verschiebung um 2 LE in positive x-Richtung („nach rechts“) und um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“)

$f(x)=\mathrm{e}^{2x}-1$

Verschiebung um 2 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 1 LE in positive y-Richtung („nach oben“)

$f(x)=-\mathrm{e}^{-x}$

Verschiebung um 1 LE in negative x-Richtung („nach links“) und um 4 LE in negative y-Richtung („nach unten“)

$f(x)=\mathrm{e}^{2x}$

Verschiebung um 2 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und anschließende Spiegelung an der x-Achse

$f(x)= \mathrm{e}^{x+2}-1$

Verschiebung um 3 LE in positive x-Richtung („nach rechts“) und anschließende Spiegelung an der y-Achse

$f(x)=-2\mathrm{e}^{x-1}$

Verschiebung um 4 LE in positive y-Richtung („nach oben“) und um 3 LE in negative x-Richtung („nach links“)

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$f(x)=\mathrm e^{x+1} - 2$

Skizze

Graph einer Funktion mit asymptotischem Verhalten und einer horizontalen Linie bei y = -2.

Asymptote bestimmen

Wir betrachten den Grenzwert von $f$ für $x \to - \infty$

$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\mathrm e^{x+1}-2\right)=-2$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $x\to-\infty$ läuft $\mathrm e^{x+1}$ gegen Null. Die Gleichung der Asymptote lautet $y=-2$ .

$f(x)=-\mathrm e^{2x}$

Skizze

Graf eines mathematischen Funktionsgraphen mit x- und y-Achse.

Asymptote bestimmen

Wir betrachten den Grenzwert von $f$ für $x\to-\infty$ :

$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(-\mathrm e^{2x}\right)=0$ , weil $\mathrm e^{z}\to0$ für $z\to-\infty$ .

Für $x\to-\infty$ läuft $\mathrm e^{2x}$ gegen Null. Die Gleichung der Asymptote lautet $y=0$ , es ist also die $x$ -Achse.

$f(x)=2\mathrm e^{2x}+2$

Skizze

Graph einer Funktion mit einer horizontalen Linie bei y=2 und einer Kurve, die sich asymptotisch nähert.

Asymptote bestimmen

Wir betrachten den Grenzwert von $f$ für $x\to-\infty$ :

$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2\mathrm e^{2x}+2\right)=2$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $x\to-\infty$ läuft $\mathrm e^{2x}$ gegen Null. Die Gleichung der Asymptote lautet $y=2$ .

$f(x)=1-\mathrm e^{-x}$

Skizze

Graph einer Funktion mit einer horizontalen Linie bei y=1 und einer Kurve, die die y-Achse schneidet.

Asymptote bestimmen

Wir betrachten den Grenzwert von $f$ für $x\to\infty$ :
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1-\mathrm e^{-x}\right)=1-0=1$ , weil $\mathrm e^{-z}=\frac{1}{\mathrm e^z}\to0$ für $z\to\infty$ .

Für $x\to\infty$ läuft $\mathrm e^{-x}$ gegen Null. Die Gleichung der Asymptote lautet $y=1$ .

$f(x)=\mathrm e^{-x}+1$

Skizze

Graph einer Funktion mit asymptotischem Verhalten und Achsenbeschriftung.

Asymptote bestimmen

Wir betrachten den Grenzwert von $f$ für $x\to\infty$ :
$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\mathrm e^{-x}+1\right)=0+1=1$ , weil $\mathrm e^{-z}=\frac{1}{\mathrm e^z}\to0$ für $z\to\infty$ .

Für $x\to\infty$ läuft $\mathrm e^{-x}$ gegen Null. Die Gleichung der Asymptote lautet $y=1$ .

$f(x)=\mathrm e^{x-2}-2$

Skizze

Graph einer Funktion mit einer asymptotischen Linie bei y=-2 und einer Kurve, die nach oben rechts ansteigt.

Asymptote bestimmen

Wir betrachten den Grenzwert von $f$ für $x\to-\infty$ :
$\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\mathrm e^{x-2}-2\right)=0-2=-2$ , weil $\mathrm e^{z}\to0$ für $z\to-\infty$ .

Für $x\to-\infty$ läuft $\mathrm e^{x-2}$ gegen Null. Die Gleichung der Asymptote lautet $y=-2$ .

$f(x)=\mathrm e^{x+1}=\mathrm e^{x-(-1)}$

Skizze

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Schaubild herleiten

Das Schaubild von $f$ entsteht aus dem Schaubild der $\mathrm e$ -Funktion, wenn dieses um $1$ LE in negative $x$ -Richtung ("nach links") verschoben wird.

$f(x)=-\mathrm e^{x}$

Skizze

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Schaubild herleiten

Das Schaubild von $f$ entsteht aus dem Schaubild der $\mathrm e$ -Funktion, wenn dieses an der $x$ -Achse gespiegelt wird.

$f(x)=\mathrm e^{-x}+1$

Skizze

Graf einer Funktion mit Achsenbeschriftungen und einer Kurve, die im ersten Quadranten verläuft.

Schaubild herleiten

Das Schaubild von $f$ entsteht aus dem Schaubild der $\mathrm e$ -Funktion, wenn dieses an der $y$ -Achse gespiegelt und anschließend um 1 LE in positive $y$ -Richtung ("nach oben") verschoben wird.

$f(x)=-\mathrm e^{x}-2$

Skizze

Mathematische Grafik eines Funktionsgraphen im Koordinatensystem mit Achsenbeschriftung.

Schaubild herleiten

Das Schaubild von $f$ entsteht aus dem Schaubild der $\mathrm e$ -Funktion, wenn dieses an der $x$ -Achse gespiegelt und anschließend um 2 LE in negative $y$ -Richtung ("nach unten") verschoben wird.

$f(x)=\mathrm e^{-x-3}$

Skizze

Graf einer Funktion mit asymptotischem Verhalten, dargestellt in einem Koordinatensystem.

Schaubild herleiten

Schreiben wir die Funktionsgleichung zunächst um: $\mathrm e^{-x-3}=\mathrm e^{-\left(x+3\right)}$ .
Das Schaubild von $f$ entsteht aus dem Schaubild der $\mathrm e$ -Funktion, wenn dieses erst um 3 LE in positive $x$ -Richtung ("nach rechts") verschoben und anschließend an der $y$ -Achse gespiegelt wird.

$f(x)=\mathrm e^{x}-3$

Skizze

Graf einer mathematischen Funktion im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Schaubild herleiten

Das Schaubild von $f$ entsteht aus dem Schaubild der $\mathrm e$ -Funktion, wenn dieses um 3 LE in negative $y$ -Richtung ("nach unten") verschoben wird.

$f(x)=\mathrm e^{x}$

Verschiebung um 2 LE in positive $x$ -Richtung ("nach rechts") und um 2 LE in positive $y$ -Richtung ("nach oben").

$f_{\text{neu}}(x)=\mathrm e^{x-2}+2$

$f(x)=\mathrm e^{2x}-1$

Verschiebung um 2 LE in negative $x$ -Richtung ("nach links") und um 1 LE in positive $y$ -Richtung ("nach oben").

$f_{\text{neu}}(x)=\mathrm e^{2(x+2)}$

$f(x)=-\mathrm e^{-x}$

Verschiebung um 1 LE in negative $x$ -Richtung ("nach links") und um 4 LE in negative $y$ -Richtung ("nach unten").

$f_{\text{neu}}(x)=-\mathrm e^{-(x+1)}-4 = -\mathrm e^{-x-1}-4$

$f(x)=\mathrm e^{2x}$

Verschiebung um 2 LE in positive $y$ -Richtung ("nach oben") und anschließende Spiegelung an der $x$ -Achse.

$f_{\text{neu}}(x)=-\left(\mathrm e^{2x}+2\right)$

$f(x)=\mathrm e^{x+2}-1$

Verschiebung um 3 LE in positive $x$ -Richtung ("nach rechts") und anschließende Spiegelung an der $y$ -Achse.

$f_{\text{neu}}(x)=\mathrm e^{-\left(x-1\right)}-1$

$f(x)=-2\mathrm e^{x-1}$

Verschiebung um 4 LE in positive $y$ -Richtung ("nach oben") und um 3 LE in negative $x$ -Richtung ("nach links").

$f_{\text{neu}}(x)=-2\mathrm e^{x+2}+4$

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