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Ableitung gegeben: Eigenschaften von Kurven

Mit Hilfe der ersten Ableitung \( f‘\) einer Funktion \( f\), kannst du Aussagen über die Eigenschaften des Graphen von \( f\) machen.
Steigung
Die Steigung des Graphen der Funktion \( f\) im Punkt \( x\) entspricht dem Funktionswert der ersten Ableitung im Punkt \( x\).
Extremstellen/Sattelpunkte
Die Nullstellen der ersten Ableitungen sind Extremstellen/Sattelpunkte des Graphen von \( f\).
Wendepunkte
Hat die erste Ableitung eine Extremstelle, so hat die Funktion \( f\) an dieser Stelle einen Wendepunkt.
Monotonie
  • \( f\) monoton wachsend: \( f‘(x)\geq0\) (streng monoton, wenn \( f‘(x)\gt 0\))
  • \( f\) monoton fallend: \( f‘(x)\leq0\) (streng monoton, wenn \( f‘(x)\lt 0\)).

Beispiel

Die Ableitung von \( f\) entspricht dem Graphen im folgenden Schaubild:
  • Extremstellen/Sattelpunkte:
    • Nullstelle bei \( x=-2\) \( \rightarrow\) der Graph von \( f\) hat an der Stelle \( x=-2\) einen Tiefpunkt (Vorzeichenwechsel von minus nach plus)
    • Doppelte Nullstelle bei \( x=0\) \( \rightarrow\) der Graph von \( f\) hat einen Sattelpunkt an der Stelle \( x=0\) (kein Vorzeichenwechsel)
  • Wendepunkte:
    • Hochpunkt bei \( x=-1,4 \rightarrow\) der Graph von \( f\) hat an der Stelle \( x=-1,4\) einen Wendepunkt
    • Tiefpunkt bei \( x=0 \rightarrow\) der Graph von \( f\) hat an der Stelle \( x=0\) einen Wendepunkt