Teil B

Ein Getränkehersteller führt eine Werbeaktion durch, um die Verkaufszahlen seiner Saftschorlen zu erhöhen. Bei $100.000$ der für die Werbeaktion produzierten zwei Millionen Flaschen wird auf der Innenseite des Verschlusses eine Marke für einen Geldgewinn angebracht. Von den Gewinnmarken sind $12.000$ jeweils $5\,€$ wert, der Rest ist jeweils $1\,€$ wert. Alle Flaschen der Werbeaktion werden zufällig auf Kästen verteilt. Im Folgenden werden nur Flaschen aus der Werbeaktion betrachtet.

Es wird eine Flasche geöffnet. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
A: $\quad$ „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke.“
B: $\quad$ „Der Verschluss enthält eine Gewinnmarke im Wert von $1\,€$ .“

Berechne die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(B)$ .

(2 BE)

Es werden mehrere Flaschen geöffnet und für jede dieser Flaschen wird festgestellt, ob das Ereignis $A$ eintritt. Begründe, dass dieses Zufallsexperiment näherungsweise durch eine Bernoullikette beschrieben werden kann.

(2 BE)

Im Folgenden gilt beim Öffnen einer Flasche stets $P(A)= 0,05$ und $P(B) =0,044$ .

Es werden nacheinander zehn Flaschen geöffnet. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke befindet.

(2 BE)

Bestimme unter Zuhilfenahme des Tafelwerks, wie viele Flaschen man mindestens öffnen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $5\;\%$ mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.

(4 BE)

Berechne den Gesamtwert der Gewinnmarken, die Kunden beim Öffnen der $20$ Flaschen eines Kastens im Mittel in den Verschlüssen finden.

(3 BE)

Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede $20.$ Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorle-Flaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als $0,05$ ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.

Der Getränkehersteller bietet ihm an, anhand von $200$ zufällig ausgewählten Flaschen einen Signifikanztest für die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit dafür, in einer Flasche eine Gewinnmarke zu finden, beträgt mindestens $0,05$ .“ auf einem Signifikanzniveau von $1\,\%$ durchzuführen. Für den Fall, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich der Nullhypothese liegt, verspricht der Getränkehersteller, seine Abfüllanlage zu überprüfen und die Kosten für eine Sonderwerbeaktion des Getränkemarkts zu übernehmen.

Ermittle den Ablehnungsbereich der Nullhypothese und bestimme anschließend unter der Annahme, dass im Mittel nur $3\,\%$ der Saftschorle-Flaschen eine Gewinnmarke enthalten, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion kommt.

(7 BE)

(20 BE)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Aus der Aufgabenstellung lässt sich folgendes ablesen:

$2.000.000$ Flaschen werden produziert
$100.000$ davon tragen eine Gewinnmarke
$12.000$ Gewinnmarken sind $5\,€$ wert
$100.000- 12.000$ $= 88.000$ Gewinnmarken sind $1\,€$ wert

Eine von den $2.000.000$ produzierten Flaschen wird nun geöffnet.

$100.000$ von $2.000.000$ Flaschen enthalten eine Gewinnmarke:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \dfrac{100.000}{2.000.000} \\[5pt] &=& 0,05 =5\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit eine Flasche mit Gewinnmarke zu öffnen beträgt $P(A)=5\%$ .

Unter den $2.000.000$ Flaschen gibt es insgesamt $88.000$ Flaschen mit Gewinnmarken des Werts $1\,€.$

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& \dfrac{88.000}{2.000.000} \\[5pt] &=& 0,044 =4,4\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $P(B)=4,4\%$ wird eine Flasche mit einer $1\,€$ Marke geöffnet.

$\blacktriangleright$ Zufallsexperiment als Bernoullikette begründen

Du sollst begründen, warum es sich bei dem Öffnen mehrerer Flaschen näherungsweise um eine Bernoullikette handelt, wenn auf das Ereignis $A$ geprüft wird.
Eine Bernoullikette zeichnet aus, dass die Wahrscheinlichkeit in jedem Schritt gleich bleibt. Es werden mehrere, aber trotzdem wenige, Flaschen geöffnet. Da die Anzahl der Stichproben im Verhältnis zur Gesamtzahl klein ist, ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht wesentlich. Selbst wenn zehn Flaschen mit Gewinnmarke geöffnet werden, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$ gerundet weiterhin $5\%$ . Zudem kann man davon ausgehen, dass die einzelnen Flaschen unabhängig von einander mit Gewinnmarken ausgestattet werden.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass erstmals in der fünften Flasche eine Gewinnmarke gefunden wird, wenn zehn Flaschen geöffnet werden. Ob sich in den letzten fünf Falschen Gewinnmarken befinden ist nicht gefragt. Betrachte also nur die ersten fünf Flaschen und verwende die Pfadmultiplikationsregel um die Wahrscheinlichkeit für vier Flaschen ohne Gewinnmarke und eine folgende mit Gewinnmarke zu berechnen. Dieses Ereignis bezeichnen wir hier als $E$ :

$\begin{array}[t]{rll} P(E)&=& 0,95^4\cdot 0,05 \\[5pt] &\approx& 0,0407 =4,07\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $4,07\%$ enthält erstmals die fünfte Flasche eine Gewinnmarke.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Flaschen bestimmen

Du sollst im Tafelwerk nachschlagen, wie viele Flaschen geöffnet werden müssen, also wie groß $n$ sein muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $5\%$ , mindestens zwei Gewinnmarken zu erhalten. Betrachte dazu die Zufallsgröße $X_n$ , die die Anzahl der Flaschen mit Gewinnmarke unter $n$ ausgewählten Flaschen beschreibt. In Aufgabenteil b) hast du bereits beschrieben, dass es sich um eine Bernoullikette handelt. Aus dem Grund kann $X_n$ als binomialverteilt mit $p=0,05$ und unbekanntem $n$ angenommen werden.
Du betrachtest also die Ungleichung in $n$ :

$\begin{array}[t]{rll} P(X_n\geq 2) & \gt & 0,05 \\[5pt] ... \\[5pt] P(X_n\leq 1)&\lt & 0,95 \\[5pt] \end{array}$

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Gesucht ist also das kleinste $n$ , für das für die binomialverteilte Zufallsgröße $X_n$ mit $p=0,05$ gilt $P(X\leq 1) \lt 0,95$ .

Den Tabellen für die kumulierte Binomialverteilung im Tafelwerk kannst du entnehmen, dass für $n=5$ gilt:

$P(X \leq 1) \approx 0,9774 \gt 0,95$

Für $n =10$ gilt:

$P(X\leq 1) \approx 0,9139 \lt 0,95$

Der gesuchte Wert muss also größer als $5$ sein, aber vermutlich auch kleiner als $10$ . Probiere also beispielsweise $n=7$ und $n=8$ aus. Für $n=7$ erhältst du:

$P(X_7\leq1) \approx 0,9556 \gt 0,95$

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Diese Wahrscheinlichkeit ist also noch zu hoch. Berechne das gleiche also für $n =8$ :

$P(X_8\leq1) \approx 0,9428 \lt 0,95$

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Der kleinste Wert für $n,$ für den gerade noch $P(X_n\leq 1) \lt 0,95$ gilt, ist also $n =8$ .

Es müssen mindestens $8$ Flaschen überprüft werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $5\,\%$ mindestens zwei Gewinnmarken zu finden.

$\blacktriangleright$ Gesamtwert der Gewinnmarken berechnen

Du sollst den Gesamtwert der Gewinnmarken berechnen, die ein Kunde erwartungsgemäß erhält, wenn er zwanzig Flaschen öffnet. Dazu berechnest du den Erwartungswert $E(X)$ des Gewinns einer einzelnen geöffneten Flasche. Diesen erhältst du aus der Multiplikation des möglichen Gewinns mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.

$E(X)=0,074$

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Ein Kunde kann bei einer Flasche mit einem Gewinn von $0,074\,€$ rechnen. Bei zwanzig Flaschen kann der Kunde also im Mittel mit Gewinnmarken im Gesamtwert von $20\cdot 0,074\,€=1,48\,€$ rechnen.

$\blacktriangleright$ Ablehnungsbereich bestimmen

Es werden $200$ Flaschen auf einen Gewinn überpürft. Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_{200},$ die die Anzahl der Flaschen mit Gewinnmarke in dieser Stichprobe beschreibt. Diese kann dann wie $X_n$ als binomialverteilt angenommen werden mit $n=200.$
Die Nullhypothese $H_0$ und die Gegenhypothese $H_1$ werden vom Getränkehersteller laut Aufgabenstellung wie folgt gewählt:

$H_0$ : $p_0\geq0,05$

$H_1$ : $p \lt 0,05$

Ist $X_{200}$ also entsprechend der Nullhypothese verteilt, kann $p =0,05$ angenommen werden. Abgelehnt wird die Nullhypothese nur für signifikant zu wenig Gewinnmarken in der Stichprobe. Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese hat also die Form $\overline{A}= \left\{0,..., k\right\}.$ Werden höchstens $k$ Gewinnmarken in der Stichprobe gefunden, wird die Nullhypothese des Herstellers abgelehnt und dem Filialleiter zugestimmt.

Das Signifikanzniveau von $1\,\%,$ gibt an, dass die Nullhypothese mit einer maximalen Wahrscheinlichkeit von $1\,\%$ fälschlicherweise abgelehnt werden soll.
Gesucht ist das größte $k,$ das gerade noch so folgende Ungleichung erfüllt:

$P(X_{200}\leq k)\leq 0,01$

Durch Ausprobieren oder eine Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung für $n=200$ und $p = 0,05$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\leq k) &=& \quad ... \end{array}$

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Der Ablehnungsbereich der Nullhypothese ist also $\{ 0,\,\cdots,\,3\}$ . Werden weniger als vier Flaschen mit einer Gewinnmarke gefunden, ist davon auszugehen, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn kleiner als $5\%$ ist und die Nullhypothese ist abzulehnen.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst bestimmen mit welcher Wahrscheinlichkeit der Getränkehersteller keine Sonderwerbeveranstaltung bezahlt, obwohl die reale Wahrscheinlichkeit für eine Gewinnmarke nur $3\%$ beträgt. Gesucht ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Nullhypothese unterstzützt wird, also in der Stichprobe mehr als $k = 3$ Gewinnmarken gefunden werden, obwohl $X_{200}$ mit $p = 0,03$ verteilt ist.

$P(X_{200;0,03} \gt 3)\approx 85,28\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $85,28\,\%$ kommt der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Sonderwerbeaktion, obwohl der tatsächlich Anteil der Flaschen mit Gewinnmarke auf $3\,\%$ gesunken ist.