Teil B

Gegeben ist die Funktion $f: x\mapsto 2-\ln (x-1)$ mit maximalem Definitionsbereich $D_f.$ Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

Zeige, dass $D_f =\;]1 ; +\infty[$ ist, und gib das Verhalten von $f$ an den Grenzen des Definitionsbereichs an.

(3 BE)

Berechne die Nullstelle von $f.$

(2 BE)

Beschreibe, wie $G_f$ schrittweise aus dem Graphen der in $\mathbb{R}^+$ definierten Funktion $x\mapsto \ln x$ hervorgeht. Erkläre damit das Monotonieverhalten von $G_f.$

(5 BE)

Zeige, dass $F: x\mapsto 3x-(x-1)\cdot \ln (x-1)$ mit Definitionsbereich $D_F =\;]1; +\infty[$ eine Stammfunktion von $f$ ist, und bestimme den Term der Stammfunktion von $f,$ die bei $x=2$ eine Nullstelle hat.

(4 BE)

Abbildung 1 zeigt ein Hinderniselement in einem Skate-Park.

Abb. 1

Die Auffahrt des symmetrischen Hinderniselements geht in ein horizontal verlaufendes Plateau über, an das sich die Abfahrt anschließt. Die vordere und die hintere Seitenfläche verlaufen senkrecht zum horizontalen Untergrund. Um die vordere Seitenfläche mathematisch beschreiben zu können, wird ein kartesisches Koordinatensystem so gewählt, dass die $x$ -Achse die untere Begrenzung und die $y$ -Achse die Symmetrieachse der betrachteten Fläche darstellt. Das Plateau erstreckt sich im Modell im Bereich $-2 \leq x \leq 2$ . Die Profillinie der Abfahrt wird für $2 \leq x \leq 8$ durch den Graphen der in Aufgabe 1 untersuchten Funktion $f$ beschrieben (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Abb. 2

Erläutere die Bedeutung des Funktionswerts $f(2)$ im Sachzusammenhang und gib den Term der Funktion $q$ an, deren Graph $G_q$ für $-8\leq x \leq -2$ die Profillinie der Auffahrt im Modell beschreibt.

(2 BE)

Berechne die Stelle $x_m$ im Intervall $[2; 8],$ an der die lokale Änderungsrate von $f$ gleich der mittleren Änderungsrate in diesem Intervall ist.

(5 BE)

Der in Aufgabe 2b rechnerisch ermittelte Wert $x_m$ könnte alternativ auch ohne Rechnung näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 bestimmt werden. Erläutere, wie du dabei vorgehen würdest.

(3 BE)

Berechne auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels $\alpha,$ den das Plateau und die Fahrbahn an der Kante zur Abfahrt einschließen (vgl. Abbildung 2).

(2 BE)

Die vordere Seitenfläche des Hinderniselements wird in Teilbereichen der Auf- und Abfahrt als Werbefläche verwendet (vgl. Abbildung 1). Im Modell handelt es sich um zwei Flächenstücke, nämlich um die Fläche zwischen $G_f$ und der $x$ -Achse im Bereich $2 \leq x \leq 6$ sowie die dazu symmetrische Fläche im II. Quadranten. Berechne unter Verwendung der in Aufgabe 1d angegebenen Stammfunktion $F,$ wie viele Quadratmeter als Werbefläche zur Verfügung stehen.

(3 BE)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g_k:x\mapsto kx^3 +3\cdot (k+1)x^2+9x$ mit $k\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ und den zugehörigen Graphen $G_k.$ Für jedes $k$ besitzt der Graph $G_k$ genau einen Wendepunkt $W_k.$

Gib das Verhalten von $g_k$ an den Grenzen des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von $k$ an.

(2 BE)

Bestimme die $x$ -Koordinate von $W_k$ in Abhängigkeit von $k.$

(zur Kontrolle: $x=-\frac{1}{k}-1$ )

(3 BE)

Bestimme den Wert von $k$ so, dass der zugehörige Wendepunkt $W_k$ auf der $y$ -Achse liegt. Zeige, dass in diesem Fall der Punkt $W_k$ im Koordinatenursprung liegt und die Wendetangente, d.h. die Tangente an $G_k$ im Punkt $W_k,$ die Steigung $9$ hat.

(4 BE)

Für den in Aufgabe 3c bestimmten Wert von $k$ zeigt Abbildung 3 den zugehörigen Graphen mit seiner Wendetangente. In diesem Koordinatensystem sind die beiden Achsen unterschiedlich skaliert.
Bestimme die fehlenden Zahlenwerte an den Markierungsstrichen der $y$ -Achse mithilfe eines geeigneten Steigungsdreiecks an der Wendetangente und trage die Zahlenwerte in Abbildung 3 ein.

Abb. 3

(2 BE)

(40 BE)

Definitionsbereich zeigen

Es gilt $(x-1) \gt0$ für alle $x\in\mathbb{R}$ mit $x \gt 1.$ Somit ist für diese $x$ das Argument des Logarithmus nicht negativ und es folgt $\text{D}_f = \;]1;+\infty[.$

Verhalten an den Grenzen angeben

Für $x\to 1$ gilt:

$2-\underbrace{\ln (\underbrace{x-1}_{\to 0})}_{\to -\infty} \to \infty$

Für $x\to + \infty$ gilt:

$2-\underbrace{\ln (\underbrace{x-1}_{\to \infty})}_{\to \infty} \to -\infty$

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] 2- \ln (x-1) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] - \ln (x-1)&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] \ln (x-1) &=& 2 \\[5pt] x-1 &=& \mathrm e^2 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] x &=& \mathrm e^2 +1 \end{array}$

Zusammenhang der Graphen beschreiben

Zunächst wird der Graph des Logarithmus durch das negative Vorzeichen vor dem Logarithmus an der $x$ -Achse gespiegelt.
Anschließend wird der Graph um eine Einheit in positive $x$ -Richtung und zuletzt um zwei Einheiten in positive $y$ -Richtung verschoben, was $G_f$ liefert.

Monotonieverhalten erklären

Der Graph der Funktion $x\mapsto \ln x$ ist überall streng monoton steigend. Die Spiegelung des Graphen an der $x$ -Achse kehrt das Monotonieverhalten um, die Verschiebungen haben keinen Einfluss. Somit ist der Graph $G_f$ streng monoton fallend auf dem gesamten Definitionsbereich.

Stammfunktion zeigen

Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( F$

Somit ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$

Term der Stammfunktion bestimmen

Alle Funktionen der Form $F_c:x\mapsto 3x-(x-1) \cdot \ln (x-1) +c$ mit $c\in\mathbb{R}$ sind Stammfunktionen von $f.$ Für $c$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$F_c(2)=0$

Die Stammfunktion $F_{-6}:x\mapsto 3x-(x-1) \cdot \ln (x-1) -6$ von $f$ hat bei $x=2$ eine Nullstelle.

Bedeutung des Funktionswerts im Sachzusammenhang erläutern

Die Funktion $f$ beschreibt für $2\leq x \leq 8$ die Profillinie des Hinderniselements und die Stelle $x=2$ gehört im Modell zum Plateau. Somit gibt $f(2)$ die Plateauhöhe in Metern an.

Term der Funktion $q$ angeben

Da das Hinderniselement symmetrisch ist und die Symmetrieachse im Modell entlang der $y$ -Achse verläuft, entsteht der Graph von $q$ durch Spiegelung des Graphen von $f$ an der $y$ -Achse. Es folgt:

$q(x) = f(-x) = 2-\ln(-x-1)$

1. Schritt: Mittlere Änderungsrate bestimmen

Für die mittlere Änderungsrate $\overline{m}$ im Intervall $[2;8]$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$\overline{m} = \dfrac{-\ln(7) }{6}$

2. Schritt: Stelle berechnen

Für die erste Ableitung von $f$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Für die Stelle $x_m,$ an der $\(f$ gilt, folgt:

Rechenweg anzeigen

$x_m \approx 4,08$

An der Stelle $x_m \approx 4,08$ ist die lokale Änderungsrate von $f$ gleich der mittleren Änderungsrate von $f$ im Intervall $[2; 8].$

Die mittlere Änderungsrate von $f$ im Intervall $[2; 8]$ entspricht der Steigung der Sekanten durch die Punkte $(2\mid f(2))$ und $(8\mid f(8)).$
Einzeichnen dieser in Abbildung 2 und Suchen einer zu ihr parallelen Tangente an den Graphen von $f$ liefert die gesuchte Stelle als die $x$ -Koordinate des Berührpunktes der Tangenten mit dem Graphen von $f.$

Da das Plateau parallel zum horizontalen Untergrund verläuft, der im Querschnittsmodell durch die $x$ -Achse beschrieben wird, entspricht $\alpha$ dem Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(2\mid f(2)).$

Für die Steigung $m$ der Tangente gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} m &=& f$

Somit folgt für $\alpha:$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha) &=& m \\[5pt] \tan(\alpha) &=& -1 \\[5pt] \alpha &=& -45^{\circ} \end{array}$

Dies entspricht einem positiven Winkel von $180^{\circ} -45^{\circ} = 135^{\circ}.$
Das Plateau und die Fahrbahn schließen an der Kante zur Abfahrt somit einen Winkel der Größe $\alpha=135^{\circ}$ ein.

Rechenweg anzeigen

$A_f \approx 3,95 \;\text{m}^2$

Die Gesamtgröße der zur Verfügung stehenden Werbefläche beträgt somit ca. $2\cdot A_f=7,9\;\text{m}^2.$

Für $k \lt 0$ gilt:

$\lim\limits_{x\to+\infty}g_k(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to-\infty}g_k(x)=+\infty$

Für $k \gt 0$ gilt:

$\lim\limits_{x\to+\infty}g_k(x)=+\infty$
$\lim\limits_{x\to-\infty}g_k(x)=-\infty$

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rll} g_k$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

Rechenweg anzeigen

$x = -1- \dfrac{1}{k}$

Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass jeder Graph $G_k$ genau einen Wendepunk $W_k$ besitzt, muss die hinreichende Bedingung nicht überprüft werden und es folgt, dass $x_W= -1- \frac{1}{k}$ die $x$ -Koordinate von $W_k$ ist.

Parameterwert bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} x_W &=& 0 \\[5pt] -1-\dfrac{1}{k} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] -\dfrac{1}{k} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k \\[5pt] -1 &=& k \end{array}$

Für $k=-1$ liegt $W_k$ auf der $y$ -Achse.

Lage im Koordinatenursprung zeigen

Rechenweg anzeigen

$g_{-1}(x_W) = 0$

Für $k=-1$ lauten die Koordinaten des Wendepunkts $W_k$ von $G_k$ somit $W_{-1}(0\mid 0),$ das heißt der Punkt liegt im Koordinatenursprung.

Steigung der Tangente zeigen

Mit Hilfe des Aufgabenteils 3b folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} g_{-1}$

Im Fall $k=-1$ beträgt die Steigung der Tangente an den Graphen von $G_k$ im Punkt $W_k$ also $9.$