Stochastik Prüfungsteil B

Aufgabengruppe 1

Der Marketingchef einer Handelskette plant eine Werbeaktion, bei der ein Kunde die Höhe des Rabatts bei seinem Einkauf durch zweimaliges Drehen an einem Glücksrad selbst bestimmen kann. Das Glücksrad hat zwei Sektoren, die mit den Zahlen 5 bzw. 2 beschriftet sind. Die Abbildung zeigt das Glücksrad.

Kreisdiagramm mit zwei Segmenten, beschriftet mit 5 und 2

Der Rabatt in Prozent errechnet sich als Produkt der beiden Zahlen, die der Kunde bei zweimaligem Drehen am Glücksrad erzielt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Höhe dieses Rabatts in Prozent, kann also die Werte $4$ , $10$ oder $25$ annehmen. Die Zahl $5$ wird beim Drehen des Glücksrads mit der Wahrscheinlichkeit $p$ erzielt.

a)

Ermittle mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde bei seinem Einkauf einen Rabatt von $10\,\%$ erhält. (Ergebnis: $2p - 2p^2$ )

(3P)

b)

Zeige, dass für den Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsgröße $X$ gilt:

$E(X) = 9p^2 + 12p + 4$

(3P)

c)

Die Geschäftsführung will im Mittel für einen Einkauf einen Rabatt von $16\,\%$ gewähren. Berechne für diese Vorgabe den Wert der Wahrscheinlichkeit $p$ .

(3P)

d)

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt $\frac{1}{9}$ . Bestimme, wie viele Kunden mindestens am Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\,\%$ mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.

(4P)

Aufgabengruppe 1

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Du sollst mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde einen Rabatt von 10% erhält, berechnen.

Diagramm mit Wahrscheinlichkeiten und Ergebnissen in einem Entscheidungsbaum.

Dem Baumdiagramm kannst du entnehmen, dass es zwei Pfade für einen Rabatt von 10% gibt. Multipliziere jeweils die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads und addiere dann die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade.

$\begin{array}[t]{rll} P(10\,\%)&=&p \cdot (1-p) + (1-p) \cdot p \\[5pt] &=&p - p^2 + p - p^2 \\[5pt] &=&2p - 2 p^2 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde 10% Rabatt erhält, beträgt $2p - 2 p^2$ .

b) $\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen

Ein Kunde kann entweder 4%, 10% oder 25% Rabatt erhalten. Die Zufallsvariable $X$ kann die Werte 4, 10 und 25 annehmen. Du sollst den Erwartungswert von $X$ bestimmen.

Für den Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ mit Ergebnisraum $\Omega = \left\{x_1 , \ldots, x_n \right\}$ gilt folgende Formel

$E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$

Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Ergebnisse. Die Wahrscheinlichkeit für 10% hast du bereits in Aufgabenteil a) berechnet. Nutze für die anderen Wahrscheinlichkeiten das Baumdiagramm.

$P(X=4) = (1-p) \cdot (1-p) = 1 - 2p + p^2$
$P(X=10) = 2p - 2 p^2$
$P(X=25) = p^2$

Berechne nun mit der angegebenen Formel den Erwartungswert.

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=&4 \cdot (1 - 2p + p^2) + 10 \cdot (2p - 2 p^2) + 25p^2 \\[5pt] &=&4-8p+4p^2+20p - 20p^2 + 25p^2\\[5pt] &=&9p^2 + 12p +4 \end{array}$

Der Erwartungswert ist $9p^2 + 12p +4$ .

c) $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{p}$ bestimmen

Der Geschäftsführer will, dass im Mittel 16% Rabatt gewährt werden. Du sollst den Wert für $p$ bestimmen, sodass dies erfüllt ist.

Das bedeutet, dass der erwartete Rabatt 16% betragen soll, für den gerade berechneten Erwartungswert soll also gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 16&=&E(X) \\[5pt] 16&=&9p^2 + 12p +4 \quad \scriptsize \mid\; -16\\[5pt] 0&=& 9p^2 + 12p -12 \end{array}$

Löse diese Gleichung mit Hilfe der abc-Formel, beachte dabei, dass $p$ eine Wahrscheinlichkeit ist und somit $p \in [0,1]$ gilt.

$\begin{array}[t]{rll} p_{1,2}&=&\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=&\dfrac{-12 \pm \sqrt{12^2-4\cdot 9 \cdot (-12)}}{2\cdot 9} \\[5pt] &=&\dfrac{-12 \pm \sqrt{144+432}}{18} \\[5pt] &=&\dfrac{-12 \pm \sqrt{576}}{18} \\[5pt] &=&\dfrac{-12 \pm 24}{18} \\[5pt] p_1 &=&\dfrac{-12 + 24}{18} \ = \ \dfrac{12}{18}\ = \ \dfrac{2}{3} \\[5pt] \Big(p_2 &=&\dfrac{-12 - 24}{18} \ = \ \dfrac{-36}{18} \ = \ -2\Big) \end{array}$

Damit im Mittel 16% Rabatt gewährt werden, muss die Wahrscheinlichkeit $p=\frac{2}{3}$ betragen.

d) $\blacktriangleright$ Anzahl an Kunden berechnen

Du sollst die Anzahl der Kunden bestimmen, die mindestens am Glücksrad drehen müssen, damit mit mindestens 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält. Dabei erhält ein Kunde mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{9}$ den niedrigsten Rabatt.

Das entspricht der Aussage, dass mit weniger als 1% Wahrscheinlichkeit alle Kunden einen Rabatt von 10% oder 25% erhalten. Die Wahrscheinlichkeit nicht den geringsten Rabatt zu erhalten, berechnest du über das Gegenereignis.

$1- \dfrac{1}{9} = \dfrac{8}{9}$

Mathematisch formuliert sieht die Aussage folgendermaßen aus: $\left(1- \dfrac{1}{9}\right)^n \lt 0,01$ .

Löse diese Gleichung nach $n$ auf um die gesuchte Anzahl an Kunden zu berechnen. Beachte, dass sich das Ungleichungszeichen umdreht, falls durch eine negative Zahl geteilt wird.

$\begin{array}[t]{rll} \left(1- \dfrac{1}{9}\right)^n& \lt & 0,01\\[5pt] \left(\dfrac{8}{9}\right)^n& \lt & 0,01\quad \scriptsize \mid\; \log()\\[5pt] \log\left(\left(\dfrac{8}{9}\right)^n\right)& \lt & \log(0,01) \\[5pt] n \cdot \log\left(\dfrac{8}{9}\right)& \lt & \log(0,01)\quad \scriptsize \mid\; :\log\left(\dfrac{8}{9}\right)\lt 0\\[5pt] n& > & \dfrac{\log(0,01)}{\log\left(\dfrac{8}{9}\right)} \ \approx \ 39,099 \end{array}$

Es müssen also mindestens 40 Kunden am Glücksrad drehen, damit mit 99% Wahrscheinlichkeit mindestens ein Kunde den niedrigsten Rabatt erhält.

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Entscheidungsregel bestimmen

Du sollst die Entscheidungsregel für die Hypothese II „Mindestens 15% der Kunden sind bereit, die App zu nutzen.“ auf einem Niveau von $\alpha=0,1$ bestimmen.

$H_0: \quad p \geq 0,15$

Sei die Zufallsvariable $X$ die Anzahl der Kunden aus $M = \{0; 1; \ldots; 200\}$ , die bereit sind die App zu nutzen.

Die Zufallsvariable $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden, da ein Kunde entweder bereit ist die App zu nutzen oder nicht. Es gibt also nur zwei mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments. Außerdem werden die Kunden als unabhängig angenommen. Ein Erfolg steht hier für einen Kunden, der bereit ist die App zu nutzen. Die Zufallsvariable $X$ ist also binomialverteilt mit $B_{200;0,15}$ .

Für den Ablehnungsbereich gilt demnacht: $\overline{A} = \{0;1; \ldots; k-1\}$ .

Die Wahrscheinlichkeit für weniger als $k$ Kunden, die bereit sind die App zu nutzen, soll höchstens 10% betragen.

$P(X \leq k-1)\leq 0,1$

Du kannst $k$ mit Hilfe der Tabelle zur kumulierten Binomialverteilung bestimmen. Dort findest du

$P(X \leq 23) \approx 0,0959$ .

Der größtmögliche Ablehnungsbereich ist $\overline{A}=\{0;\ldots; 23\}$ . Der zugehörige Annahmebereich lautet $A=\{24;\ldots; 200\}$ .

Bei mehr als 23 Kunden, die bereit wären die App zu nutzen, kann die Hypothese angenommen werden.

b) $\blacktriangleright$ Entscheide, ob Kosten oder Image mehr Gewicht in Hypothese II hat

Du sollst entscheiden, ob die Kostenfrage oder der Imageverlust zur Wahl der Hypothese II geführt hat.

Der Imageverlust wird als schwerwiegender erachtet, weil du durch das Signifikanzniveau beim Hypothesentest den Fehler beschränkst, die Nullhypothese fälschlicherweise abzulehnen. Das heißt in diesem Fall bei Hypothese II, dass du mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 10 % nicht in die App investierst, obwohl eigentlich der geforderte Anteil der Kunden die App nutzen würde. In diesem Fall würdest du einen Imageverlust riskieren.

Aufgabengruppe 2

Aufgabe 1

a) $\blacktriangleright$ Mengen bestimmen, die das Ereignis beschreiben

Du sollst die Mengen finden, die das Ereignis E beschreiben.

E: „Mindestens eins der Ereignisse $M$ und $S$ tritt ein.“

Die Menge II und V beschreiben das Ereignis E, da

II $M \cup S$ bedeutet es tritt $M$ , $S$ oder $M$ und $S$ ein. Also mindestens eins der beiden Ereignisse tritt ein.

V $(M \cap S)\cup (M \cap \overline{S}) \cup (\overline{M} \cap S )$ bedeutet, $M$ und $S$ oder $M$ und $\overline{S}$ oder $\overline{M}$ und $S$ treten ein.

b) $\blacktriangleright$ Entscheide, welche Wahrscheinlichkeit größer ist

Du hast die folgenden Wahrscheinlichkeiten gegeben und sollst entscheiden, welche der beiden größer ist.

$p_1 = P(\text{Mobiltelefon} \mid \text{über 65})$
$p_2 = P(\text{über 65} \mid \text{Mobiltelefon})$

Die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit lautet wie folgt:

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Für die Wahrscheinlichkeiten gilt:

$\begin{array}[t]{rll} p_1&=&P(\text{Mobiltelefon} \mid \text{über 65}) \\[5pt] &=&\dfrac{P(\text{Mobiltelefon} \cap \text{über 65})}{P(\text{über 65})}\\[10pt] p_2&=&P(\text{über 65} \mid \text{Mobiltelefon}) \\[5pt] &=&\dfrac{P(\text{Mobiltelefon} \cap \text{über 65})}{P(\text{Mobiltelefon})} \end{array}$

Da $P(\text{Mobiltelefon}) = 0,9$ und $P(\text{über 65})=0,24$ , wird bei $p_1$ durch eine kleinere Zahl dividiert. Der Zähler der Brüche ist identisch. Somit folgt, dass $p_1 > p_2$ .

c) $\blacktriangleright$ Vierfeldertafel

Du sollst eine Vierfeldertafel erstellen, sodass das Ereignis $E$ mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% eintritt.

Es gilt also:

$P(E) = 0,98$
$P(\overline{E}) = 1- P(E) = 0,02$

Das Gegenereignis zu $E$ ist „Weder $S$ noch $M$ tritt ein.“: $\overline{M} \cap \overline{S}$ .

Daraus folgt: $\overline{M} \cap \overline{S} = 0,02$

Außerdem kannst du den Kreisdiagrammen folgende Wahrscheinlichkeiten entnehmen:

$P(S) = 0,24 \quad \Rightarrow \quad P(\overline{S}) = 1-0,24 = 0,76$
$P(M) = 0,9 \quad \Rightarrow \quad P(\overline{M}) = 0,1$

Trage diese Wahrscheinlichkeiten in die Vierfeldertafel ein und vervollständige diese dann entsprechend.

	$M$	$\overline{M}$
$S$			0,24
$\overline{S}$		0,02	0,76
	0,9	0,1	1

Nutze die bereits bekannten Wahrscheinlichkeiten in der Vierfeldertafel um die noch fehlenden zu berechnen:

$P(S \cap \overline{M}) = 0,1 - 0,02 = 0,08$
$P(S \cap M) = 0,24 - 0,08 = 0,16$
$P(\overline{S} \cap M) = 0,9 - 0,16 = 0,74$

Für die vollständige Vierfeldertafel erhältst du dann

	$M$	$\overline{M}$
$S$	0,16	0,08	0,24
$\overline{S}$	0,74	0,02	0,76
	0,9	0,1	1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst nun noch die Wahrscheinlichkeit $P_S(M)$ berechnen. Nutze die Vierfeldertafel, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} P_S(M)&=&\dfrac{P(S \cap M)}{P(S)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,16}{0,24} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$

Aufgabe 2

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

In Deutschland besitzen $\frac{2}{3}$ der Senioren ein Mobiltelefon. Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass unter 30 zufällig ausgewählten Senioren mindestens 17 und höchstens 23 ein Mobiltelefon besitzen. Die Anzahl der Senioren, die ein Mobiltelefon besitzen, kann als binomialverteilt angenommen werden, da ein Senior entweder ein Mobiltelefon besitzt oder nicht. Außerdem werden die Senioren als unabhängig angenommen. Die Anzahl $X$ der Senioren ist somit binomialverteilt mit $n=30$ und $p=\frac{2}{3}$ . Die Wahrscheinlichkeiten kannst du der Tabelle für die kumulierte Binomialverteilung entnehmen.

$\begin{array}[t]{rll} P(17 \leq X \leq 23)&=& P(X \leq 23) - P(X \lt 17) \\[5pt] &=& P(X \leq 23) - P(X \leq 16) \\[5pt] &\approx& 0,91616 - 0,08977\\[5pt] &=&0,82639 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 17 und höchstens 23 Senioren ein Mobiltelefon besitzen, beträgt 82,639%.

b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Von den 30 Senioren im Publikum besitzen 24 ein Mobiltelefon. Es werden zufällig drei der Senioren ausgewählt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass genau zwei der ausgewählten Senioren ein Mobiltelefon besitzen.

Das entspricht einem Urnenmodell mit zwei Gruppen ohne Zurücklegen. Aus der Gruppe mit Mobiltelefon werden zwei ausgewählt $\binom{24}{2}$ , aus der Gruppe ohne Mobiltelefon wird einer ausgewählt $\binom{6}{1}$ und insgesamt werden aus der gesamten Menge drei ausgewählt $\binom{30}{3}$ .

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lautet demnach

$\dfrac{\binom{6}{1}\cdot \binom{24}{2}}{\binom{30}{3}}$ $= \dfrac{\frac{6!}{5!\cdot 1!}\cdot \frac{24!}{2! \cdot 22!}}{\binom{30}{3}} \approx 0,40788$

Zu 40,788 % werden genau zwei Senioren mit Mobiltelefon ausgewählt.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Verkaufspreis berechnen

Du sollst den Preis des Typ Y4 berechnen, damit die Handelskette im Mittel 97€ Gewinn beim Verkauf der Modelle Y3 und Y4 erzielt. Der erwartete Gewinn soll also 97€ betragen.

Für den Erwartungswert einer Zufallsvariable $X$ mit Ergebnisraum $\Omega = \left\{x_1 , \ldots, x_n \right\}$ gilt folgende Formel

$E(X) = \displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n} x_i \cdot P(X=x_i)$

Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Modell Y3 verkauft wird 26% beträgt. Da das Modell Y3 im Einkauf 250€ gekostet hat und nun für 199€ verkauft wird, beträgt der Gewinn -51€.

Stelle die Gleichung für den Erwartungswert auf und forme nach dem Gewinn $G$ für das Modell Y4 um.

$\begin{array}[t]{rll} 97&=&E(X)\\[5pt] 97&=&0,26 \cdot (-51) + (1-0,26) \cdot G\\[5pt] 97&=&-13,26+ 0,74G\quad \scriptsize \mid\; +13,26\\[5pt] 110,26&=&0,74G\quad \scriptsize \mid\; :0,74\\[5pt] G&=&149 \end{array}$

Der Gewinn beim Verkauf des Modells Y4 muss 149€ betragen. Somit gilt für den Verkaufspreis:

Verkaufspreis $= 300 + 149 = 449$ €