Teil A

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto \frac{\mathrm e^{2x}}{x}$ mit Definitionsbereich $D_f = \mathbb{R}\setminus \{0\}.$
Bestimme Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von $f.$

(5 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definierte Funktion $f:x\mapsto 1-\frac{1}{x^2},$ die die Nullstellen $x_1= -1$ und $x_2 = 1$ hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f,$ der symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist. Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-3$ gegeben.

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 1 funktion f

Abb. 1

Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.

(1 BE)

Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade $g$ einschließen.

(4 BE)

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $f.$

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 2

Abb. 2

Einer der folgenden Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 3

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 4

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 5

Abb. 3

(3 BE)

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$ Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.

(2 BE)

Betrachtet wird eine Schar von Funktionen $h_k$ mit $k\in \mathbb{R}^+,$ die sich nur in ihren jeweiligen Definitionsbereichen $D_k$ unterscheiden.
Es gilt $h_k: x\mapsto \cos x$ mit $D_k = [0; k].$
Abbildung 4 zeigt den Graphen der Funktion $h_7.$ Gib den größtmöglichen Wert von $k$ an, sodass die zugehörige Funktion $h_k$ umkehrbar ist. Zeichne für diesen Wert von $k$ den Graphen der Umkehrfunktion von $h_k$ in Abbildung 4 ein und berücksichtige dabei insbesondere den Schnittpunkt der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion.

Abb. 4

(3 BE)

Gib den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten und umkehrbaren Funktion $j$ an, die folgende Bedingung erfüllt: Der Graph von $j$ und der Graph der Umkehrfunktion von $j$ haben keinen gemeinsamen Punkt.

(2 BE)

(20 BE)

1. Schritt: Ableitungen bilden

Mit Hilfe der Produktregel und der Kettenregel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\( f$

Rechenweg anzeigen

$\( f$ $\cdot \left( 2x^{-3}-4x^{-2} +4x^{-1} \right)$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Rechenweg anzeigen

$x = 0,5$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

Rechenweg anzeigen

$\( f$

An der Stelle $x= 0,5$ besitzt der Graph von $f$ somit einen Tiefpunkt.

4. Schritt: Lage bestimmen

$f(0,5) = \dfrac{\mathrm e^{2\cdot 0,5}}{0,5} = 2\mathrm e$

Bei dem Extrempunkt des Graphen von $f$ handelt es sich um einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T(0,5\mid 2\mathrm e).$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -3 \\[5pt] 1-\dfrac{1}{x^2}&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -\dfrac{1}{x^2} &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-x^2\right) \\[5pt] 1&=& 4x^2 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \dfrac{1}{4} &=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm \dfrac{1}{2} &=& x_{1;2} \end{array}$

Einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, hat somit die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}.$

Aus der folgenden Hilfsabbildung wird deutlich, dass die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufgeteilt werden kann, wobei die beiden grün eingefärbten Flächen wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$ -Achse gleichgroß sind:

Mit Hilfe der bekannten Nullstellen des Graphen von $f$ und den Schnittstellen mit dem Graphen von $g$ folgt für den Inhalt der rechten grünen Fläche:

$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\dfrac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| \left[x+\dfrac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \right| \\[5pt] &=& \left\vert1+\dfrac{1}{1} - \left(0,5+\dfrac{1}{0,5} \right)\right\vert\\[5pt] &=& \vert-0,5\vert\\[5pt] &=& 0,5\;[\text{FE}] \end{array}$

Der Flächeninhalt der grauen Fläche, eines Rechtecks mit den Seitenlängen $1$ und $3,$ ist gegeben durch $A_2 = 1\cdot 3 = 3\;[\text{FE}].$ Für den gesamten Flächeninhalt folgt somit:

$A$ $= 2\cdot A_1 +A_2$ $= 2\cdot 0,5 + 3 = 4\;[\text{FE}]$

Graph $\text{I}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben, was zutrifft, da der Graph von $f$ dort Extremstellen besitzt.
Der Graph $\text{I}$ schneidet die $y$ -Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8).$ An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ somit die Steigung $-0,8$ besitzen. Anlegen einer Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ lässt auf eine Steigung von ungefähr $-0,8$ schließen.
Graph $\text{II}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Da das nicht der Fall ist, kommt Graph $\text{II}$ nicht infrage.
Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$ -Achse wie Graph $\text{I},$ schneidet die $y$ -Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben würde aber bereits nachgewiesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher ebenfalls nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.

Somit gehört Graph $\text{I}$ zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$

$F$ ist eine Stammfunktion von $f,$ somit beschreibt $f$ die Steigung des Graphen von $F.$
Da der Graph von $f$ im Intervall $[1;3]$ unterhalb der $x$ -Achse liegt und die Funktionswerte von $f$ damit negativ sind, fällt die Funktion $F$ in diesem Intervall also streng monoton.

Größtmöglichen Wert angeben

Damit eine Funktion umkehrbar ist, darf sie jeden Funktionswert nur einmal annehmen.Der Graph der Cosinusfunktion besitzt an der Stelle $x= \pi$ seinen ersten Tiefpunkt und nimmt somit danach einen Funktionswert an, den er vorher bereits hatte.
Somit ist $k=\pi$ der größtmögliche Wert von $k,$ für den die Funktion $h_k$ umkehrbar ist.

Graph der Umkehrfunktion einzeichnen

Ein mögliches Beispiel ist die Funktion $j : x \mapsto \mathrm e^x.$ Diese ist auf $\mathbb{R}$ definiert und umkehrbar. Der Graph der zugehörigen Umkehrfunktion, dem natürlichen Logarithmus, hat zudem keinen gemeinsamen Punkt mit dem Graph von $j.$