Teil B

Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der $x$ -Achse, sein Mittelpunkt $M$ im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:

I	Breite des Tunnelbodens: $b=10\,\text{m}$
II	Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: $h=5\,\text{m}$
III	Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens $6\,\text{m}$ mindestens $4\,\text{m}$ hoch.

Schematische Darstellung eines Halbkreises mit den Bezeichnungen h, M und b.

Abb. 1

Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion $p:x\mapsto -0,2x^2+5$ mit Definitionsbereich $D_p = [ -5;5]$ .

Zeige, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechne die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft.

(6 BE)

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand $d(x)$ der Graphenpunkte $P_x(x\mid p(x))$ vom Ursprung des Koordinatensystems.

Zeige, dass $d(x)=\sqrt{0,04x^4 -x^2 + 25}$ gilt.

(3 BE)

Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu $M$ minimal ist. Bestimme die $x$ -Koordinaten der Punkte $P_x$ , für die $d(x)$ minimal ist, und gib davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.

(5 BE)

Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ $k:x\mapsto 5\cdot \text{cos}(c\cdot x)$ mit $c\in\mathbb{R}$ und Definitionsbereich $D_k=[ -5;5]$ , bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

Bestimme $c$ so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechne damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels.
(zur Kontrolle: $c=\frac{\pi}{10}$ , Inhalt der Querschnittsfläche: $\frac{100}{\pi}\,\text{m}^2$ )

(5 BE)

Zeige, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit $p$ aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit $k$ erfüllt ist.

(2 BE)

Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion $f:x \mapsto \sqrt{25-x^2}$ mit Definitionsbereich $D_f= [ -5;5]$ .

Begründe, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte $M$ den Abstand $5\,\text{m}$ hat.
Zeichne den Graphen von $f$ in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: $\left(-5 \leq x\leq 9 ,\; -1\leq y\leq 13\right)$ und begründe, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist.

(5 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F:x \mapsto \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm dt$ mit dem Definitionsbereich $D_F= [ -5;5]$ .

Zeige mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass $F(5) =\dfrac{25}{4}\pi$ gilt.
Einer der Graphen $A$ , $B$ und $C$ ist der Graph von $F$ . Entscheide, welcher dies ist, und begründe deine Entscheidung, indem du erklärst, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen.

Drei grüne Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Abb. 2

(5 BE)

Berechne, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit $f$ von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht.

(2 BE)

Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-\dfrac{4}{3}x+12$ modelliert.

Zeige, dass die Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $R(4\mid f(4))$ parallel zu $g$ verläuft. Zeichne $g$ und $t$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein.

(4 BE)

Der Punkt $R$ aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand $e$ in Metern hat. Beschreibe die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von $e$ .

(3 BE)

(40 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

$\blacktriangleright$ Bedingungen überprüfen

Du sollst die Bedingungen $\text{I}$ und $\text{II}$ verifizieren. Die Bedingung $\text{I}$ beschreibt die Breite des Tunnels am Boden, also den $x$ -Abstand der Nullstellen von $p$ . Die Bedingung $\text{II}$ beschreibt hingegen die maximale Tunnelhöhe, also das Maximum von $p$ im angegebenen Definitionsbereich. Du prüfst beide Bedingungen nach einander.

1. Bedingung: Abstand der Nullstellen bestimmen

$x_{1,2}= \pm 5$

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Eine Nullstelle liegt bei $x=-5$ , die andere bei $x=5$ . Ihr Abstand beträgt also $b=5-(-5)=10,$ der Tunnelboden ist in dieser Modellierung also $10\,\text{m}$ breit.

2. Bedingung: Maximale Höhe des Tunnels bestimmen

Du sollst die maximale Höhe des Tunnels bestimmen. Gerade eben hast du bestimmt, dass die Nullstellen bei $x=\pm 5$ liegen. Da es sich beim Graphen von $p$ um eine Parabel handelt, ist der Hochpunkt des Graphen von $p$ gerade der Scheitelpunkt der Parabel und liegt damit genau zwischen den beiden Nullstellen bei $x=\frac{5+(-5)}{2}=0$ . Der maximale Funktionswert beträgt also $p(0)=5$ . Damit ist der Tunnel nach dieser Modellierung an der höchsten Stelle $5\,\text{m}$ hoch.

$\blacktriangleright$ Schnittwinkel berechnen

Der betrachtete Winkel entspricht im Modell dem Schnittwinkel $\alpha$ des Graphen von $p$ mit der $x$ -Achse im Punkt $(-5\vert 0).$ Dazu verwendest du:

$\tan \alpha = p‘(x)$

Es wird die Ableitung an der Stelle $x=5$ benötigt.

$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=& -0,2\cdot x^2+5 \\[10pt] p‘(x) &=& -0,4\cdot x \\[10pt] p‘(-5) &=& -0,4\cdot (-5) \\[5pt] &=& 2 \end{array}$

Einsetzen in die Formel liefert:

$\alpha \approx 63,43 ^{\circ}$

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In einem Winkel von ca. $63,43^\circ$ trifft die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden.

$\blacktriangleright$ Äquivalenz zeigen

Du sollst zeigen, dass der Abstand eines Punktes $P_x\, (x\vert p(x))$ der Tunnelwand zum Ursprung $d(x)=\sqrt{0,04\cdot x^4-x^2+25}$ beträgt. Den Abstand berechnetst du über den Satz des Pythagoras:

$\begin{array}{rll} c^2&=&a^2+b^2&\scriptsize \\ %%Text bitte zwischen () statt nach \mid schreiben \end{array}$

Wobei $a$ der $x$ -Koordinate und $b$ der $y$ -Koordinate entspricht. Es ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \left(d(x)\right)^2&=& ... \\[5pt] \end{array}$

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Da ein Abstand niemals negativ sein kann, kann der Abstand eines Punktes auf der Parabel $p$ zum Ursprung mit $d(x)=\sqrt{0,04\cdot x^4 -x^2 +25}$ berechnet werden.

$\blacktriangleright$ Minimalen Abstand bestimmen

Du sollst den Punkt der Tunnelwand mit minimalem Abstand zum Koordinatenursprung und den zugehörigen Abstand bestimmen. Es wird also das Minimum von $d(x)$ gesucht.

Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $\, d‘(x_E)=0$
Hinreichendes Kriterium:
- Ist $d‘‘(x_E)\gt 0$ , handelt es sich um eine Minimalstelle.
- Ist $d‘‘(x_E)\lt 0$ , handelt es sich um eine Maximalstelle.

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $d‘$ und $d‘‘$ .
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $d‘(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $d‘‘(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
Berechne die Funktionswerte von $d$ an den Extremstellen.

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

Mit der Produkt- und der Kettenregel ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=& ... \\[10pt] d‘(x)&=& ... \\[10pt] d‘‘(x)&=& ... \end{array}$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Durch Gleichsetzen von $d‘(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_{2,3}&\approx & \pm \sqrt{12,5} \end{array}$

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Zusammenfassend erhältst du $x_1=0$ , $x_{2,3}=\pm \sqrt{12,5}$ als mögliche Extremstellen.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

Durch Einsetzen in die zweite Ableitung klärt sich die Art des Extremums.

$\begin{array}[t]{rll} d‘‘(0)&=& -0,2 \lt 0 \\[5pt] d‘‘(\pm \sqrt{12,5}) &\approx& 0,46 \gt 0 \\[5pt] \end{array}$

Nach dem hinreichenden Kriterium liegt am Graphen von $d$ für $x_1=0$ ein Hochpunkt und für $x_{2,3}\approx\pm 3,54$ zwei Tiefpunkte vor.

4. Schritt: Funktionswerte berechnen

Du untersuchst nur an den Stellen $x_{2,3}$ weiter. Für das Angeben der Punkte ist die $y$ -Koordinate von Nöten.

$p(x_{2,3}) =2,5$

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5. Schritt: Abstand berechnen

$d\left(\pm\sqrt{12,5}\right) \approx 4,33$

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Der Abstand zum Koordinatenursprung ist für die beiden Punkte $P_1\left(\sqrt{12,5}\mid 2,5\right)$ und $P_2\left(-\sqrt{12,5}\mid 2,5\right)$ minimal und beträgt jeweils $4,33\,\text{m}.$

$\blacktriangleright$ Zweite Modellierung anpassen

Du sollst die Konstante $c$ der zweiten Modellierung so bestimmen, dass die Bedingung $\text{I}$ erfüllt ist. Dazu müssen die Nullstellen von $k$ einen Abstand von $10$ haben. Die Periode $p$ von $k$ muss dazu doppelt so groß, also $p = 20,$ sein.

Die Periode berechnet sich mit: $p=\frac{2\pi}{c}$ . Durch Gleichsetzen folgt:

$\begin{array}[t]{rll} p&=& 20 \\[5pt] \frac{2\pi}{c}&=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot c \\[5pt] 2\pi&=& 20c &\quad \scriptsize \mid\; :20\\[5pt] \frac{pi}{10}&=& c \end{array}$

Für $c=\frac{\pi}{10}$ ist Bedingung $\text{I}$ erfüllt.

$\blacktriangleright$ Querschnittsfläche des Tunnels bestimmen

Du sollst die Querschnittsfläche $A$ des Tunnels bestimmen. Diese kann mit einem Integral von $k(x)=5\cdot \cos \left(\frac{\pi}{10}\cdot x\right)$ zwischen den Nullstellen $x_1 = -5$ und $x_2 = 5$ berechnet werden.

$A = \frac{100}{\pi}$

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Die Querschnittsfläche ist $\frac{100}{\pi}\,\text{m}^2$ groß.

$\blacktriangleright$ Bedingung $\boldsymbol{\text{III}}$ widerlegen

Du sollst die Bedingung $\,\text{III}$ für beide Modellierungen $p$ und $k$ widerlegen.

Um die maximale Breite zu berechnen, für die der Tunnel mindestens $4\,\text{m}$ hoch ist, setze $p(x) = 4$ bzw. $k(x)=4.$

$x_{1/2} = \pm \sqrt{5} \approx \pm 2,24$

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Bei der Modellierung mit $p$ ist der größte Bereich mit einer Mindesthöhe von $4\,\text{m}$ ca. $2\cdot 2,24 = 4,48\,\text{m}$ breit. Die dritte Bedingung ist bei der Modellierung mit $p$ also nicht erfüllt.

$x \approx 2,04$

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Bei der Modellierung mit $k$ ist der größte Bereich mit einer Mindesthöhe von $4\,\text{m}$ ca. $2\cdot 2,04 = 4,08\,\text{m}$ breit. Die dritte Bedingung ist bei der Modellierung mit $k$ also ebenfalls nicht erfüllt.

$\blacktriangleright$ Fünf Meter Abstand begründen

Du sollst begründen, dass jeder Punkt der Tunnelwand bei der Modellierung mit $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ einen Abstand von fünf Metern zum Ursprung hat. Du kannst den Abstand berechnen wie in Aufgabe 1) Teilaufgabe c) oder du begründest anhand der Modellierung.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Anhand der Modellierung begründen

Die Funktion $f$ beschreibt einen Halbkreis. Ausgehend von der allgemeinen Kreisgleichung $r^2 = (x-x_M)^2 +(y-y_M)^2$ , bei der $M(x_M\mid y_M)$ der Mittelpunkt und $r$ der Radius des Kreises ist, kann aus der Gleichung von $f$ abgelesen werden, dass die Koordinaten des Mittelpunkts $M(0\mid 0)$ und der Radius $r = \sqrt{25} = 5$ betragen.
Da der Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist, haben also alle Punkte auf dem Graphen von $f$ vom Koordinatenursprung den Abstand $5$ und damit hat in der Modellierung mit $f$ jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand einen Abstand von $5\,\text{m}$ zur Bodenmitte.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Abstand berechnen

Du kannst den Abstand $d$ auch wie in Aufgabe 1 c) mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

$d= 5$

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Der Abstand eines Punktes auf dem Graphen von $f$ zum Ursprung beträgt immer $5$ und damit hat in der Modellierung mit $f$ jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand einen Abstand von $5\,\text{m}$ zur Bodenmitte.

$\blacktriangleright$ Graph von $\boldsymbol{f}$ in Koordinatensystem zeichnen

Du sollst den Graphen von $f$ in einem Koordinatensystem skizzieren. Verwende dazu einen Zirkel.

Grünes Diagramm mit einer halbkreisförmigen Kurve auf einem Gitterkoordinatensystem.

Abb. 1: Darstellung des Graphen von $f$ im Koordinatensystem

$\blacktriangleright$ Erfüllung von Bedingung $\boldsymbol{\text{III}}$ begründen

Du sollst begründen, dass für diese Modellierung die Bedingung $\text{III}$ erfüllt ist. Setze wieder gleich:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 4\\[5pt] x_1&=&-3 \\[5pt] x_2&=& 3 \\[5pt] \end{array}$

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Bei der Modellierung mit $f$ ist der größte Bereich mit einer Mindesthöhe von $4\,\text{m}$ genau $2\cdot 3 = 6$ Meter breit. Die dritte Bedingung ist also für die Modellierung mit $f$ erfüllt.

$\blacktriangleright$ Funktionswert der Integralfunktion von $\boldsymbol{f}$ begründen

Du sollst begründen, dass für die Funktion $F\,:\, \mapsto \int\limits_0^x f(t) \;\mathrm{d}x$ gilt $F(5)=\frac{25}{4}\pi.$ Dafür kannst du verwenden, dass es sich bei dem Graphen von $f$ um einen Halbkreis handelt, der symmetrisch zur $y$ -Achse liegt.

Der Funktionswert $F(5) = \displaystyle\int_{0}^{5}f(t)\;\mathrm dt$ beschreibt den Inhalt der Fläche, die für $0\leq x \leq 5$ vom Graphen von $f$ und der $x$ -Achse begrenzt wird. Bei dieser Fläche handelt es sich um einen Viertelkreis, für den mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises folgt:

$F(5)=\frac{25}{4}\pi$

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$\blacktriangleright$ Funktionsgraph zuordnen

Da $F$ eine Integralfunktion von $f$ ist, ist $f$ gleichzeitig auch die erste Ableitungsfunktion von $F.$ Das bedeutet, dass die Steigung des Graphen von $F$ von $f$ beschrieben wird.

$f$ besitzt für alle $x$ aus dem Definitionsbereich nichtnegative Funktionswerte. Der Graph von $F$ darf also in keinem Bereich fallen.
Der Graph von $B$ besitzt allerdings für $-5 \lt x \lt 0$ eine negative Steigung. Graph $B$ kann also nicht zur Funktion $F$ gehören.

$f$ besitzt die beiden Nullstellen $x_1 = -5$ und $x_2 =5.$ An diesen Stellen muss der Graph von $F$ also die Steigung null und damit eine waagerechte Tangente haben.
Graph $C$ besitzt allerdings an den Stellen $x_1 =-5$ und $x_2 =5$ horizontale Tangenten und steigt damit sehr steil. Graph $C$ kann also nicht zur Funktion $F$ gehören.

Graph $A$ muss daher der Graph von $F$ sein.

$\blacktriangleright$ Abweichung berechnen

In Aufgabe 2 a) wurde der Inhalt der Querschnittsfläche bei der Modellierung mit der Funktion $k$ berechnet: $A_k = \frac{100}{\pi}\,\text{m}^2.$

Für die Modellierung mit $f$ ist aus Aufgabe 3 b) bereits der Inhalt der halben Querschnittsfläche bekannt:

$A_f = 2\cdot \frac{25}{4}\pi \,\text{m}^2= \frac{25}{2}\pi\,\text{m}^2$

Für die Abweichung ergibt sich entsprechend:

$\dfrac{A_f - A_k}{A_k} \approx 23,37\,\%$

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Der Inhalt der Querschnittsfläche ist bei einer Modellierung mit $f$ um ca. $23,37\,\%$ größer als bei einer Modellierung mit der Funktion $k$ .

$\blacktriangleright$ Parallelität der Tangente zeigen

Du sollst die Parallelität der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ im Punkt $R\,(4\vert f(4))$ zur Gerade $g$ nachweisen. Geraden sind parallel, wenn sie die gleiche Steigung besitzen. Die Steigung der Tangente $t$ entspricht der Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $R,$ also $f‘(4).$

$f‘(4) = -\frac{4}{3}$

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Die Steigung der Tangente beträgt ebenfalls $-\frac{4}{3}$ . Die Tangente $t$ ist parallel zur Geraden $g$ .

Graphen von Funktionen in verschiedenen Farben auf einem Koordinatensystem.

Abb. 2: $f,$ $g$ und $t$

$\blacktriangleright$ Verfahren beschreiben

Du sollst beschreiben, wie der kleinste Abstand $e$ zwischen dem Punkt $R$ und der Geraden $g$ bestimmt werden kann. Die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen $R$ und $g$ ist das Lot, das von $R$ auf die Gerade $g$ gefällt wird. Die Länge dieses Lotes ergibt sich über den Abstand von $R$ zum Lotfußpunkt $R‘.$

Man kann daher wie folgt vorgehen:

Bilden einer Gleichung der Geraden $h,$ die durch $R$ senkrecht zu $g$ verläuft.
Berechnen der Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $h.$ Dabei handelt es sich um den Lotfußpunkt $R‘,$ des Lotes von $R$ auf $g.$
Berechnung des Abstands von $R$ und $R‘$ über den Satz des Pythagoras. Dabei handelt es sich um den kürzesten Abstand $e.$

Bildnachweise [nach oben]

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