Teil B

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte $A(6\mid 3\mid 3)$ , $B(3\mid 6\mid 3)$ und $C(3\mid 3\mid 6)$ das gleichseitige Dreieck $ABC$ fest.

Ermittle eine Gleichung der Ebene $E$ , in der das Dreieck $ABC$ liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: $E:x_1 + x_2 + x_3 - 12=0$ )

(4 BE)

Spiegelt man die Punkte $A,\, B$ und $C$ am Symmetriezentrum $Z(3\mid 3\mid 3)$ , so erhält man die Punkte $A‘,\, B‘$ und $C‘$ .

Beschreibe die Lage der Ebene, in der die Punkte $A,\, B$ und $Z$ liegen, im Koordinatensystem. Zeige, dass die Strecke $[CC‘]$ senkrecht auf dieser Ebene steht.

(3 BE)

Begründe, dass das Viereck $ABA‘B‘$ ein Quadrat mit der Seitenlänge $3\sqrt{2}$ ist.

(4 BE)

Der Körper $ABA‘B‘CC‘$ ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat $ABA‘B‘$ als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen $C$ bzw. $C‘$ .

Grafik eines geometrischen Körpers mit markierten Punkten und Linien.

Abb. 1

Weise nach, dass das Oktaeder das Volumen $36$ besitzt.

(2 BE)

Bestimme die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen $ABC$ und $AC‘B$ .

(4 BE)

Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Gib eine Gleichung dieser Kugel an. Berechne den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.

(3 BE)

(20 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Normalenform aufstellen

Du sollst die Normalenform der Ebene $E$ durch die drei Punkte $A\,(6\mid 3\mid 3)$ , $B\,(3\mid 6\mid 3)$ , $C\,(3\mid 3\mid 6)$ bestimmen. Die Normalenform erhältst du durch

$E:\,\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{p}\right)\circ \overrightarrow{n}=0$

Dabei bezeichnet $\overrightarrow{p}$ den Stützvektor, der der Ortsvektor eines beliebigen Punkts in der Ebene sein kann, und $\overrightarrow{n}$ einen Normalenvektor.

Der Normalenvektor kann beispielsweise durch das Kreuzprodukt zweier Vektoren gebildet werden, die in der Ebene liegen.

$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2\\a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3\\a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1}$

Dafür kannst du beispielsweise zwei Verbindungsvektoren der drei Punkte, die in der Ebene liegen sollen, verwenden:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\pmatrix{3 \\ 6 \\ 3}-\pmatrix{6 \\ 3 \\ 3} \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\3\\0} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}&=& \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=&\pmatrix{3 \\ 3 \\ 6}-\pmatrix{6 \\ 3 \\ 3} \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\0\\3} \end{array}$

$\overrightarrow{n} = 9\cdot \pmatrix{1\\1\\1}$

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Für eine Ebenengleichung kannst du auch das Vielfache des Normalenvektors verwenden. Du erhältst die Normalenform:

$E :\, x_1+x_2+x_3-12=0$

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$\blacktriangleright$ Lage der Ebene beschreiben

Du sollst die Lage der Ebene beschreiben, die die drei Punkte $A$ , $B$ und $Z$ enthält. Alle drei Punkte besitzen die gleiche $x_3$ -Koordinate $x_3 = 3$ .

Somit liegen die Punkte in einer Ebene, die zur $x_1x_2$ -Ebene parallel ist und zu ihr einen Abstand von $3$ Längeneinheiten hat.

$\blacktriangleright$ Lage der Strecke nachweisen

Du sollst nachweisen, dass die Strecke $\left[CC‘\right]$ senkrecht zur Ebene liegt, in der die drei Punkte $A,$ $B$ und $Z$ liegen. Dies ist der Fall, wenn der Vektor $\overrightarrow{CC‘}$ senkrecht zur Ebene ist. Dazu bestimmst du zuerst die Koordinaten von $C‘$ .

1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{C‘}$ bestimmen

$C‘$ entsteht durch Spiegelung von $C$ an $Z$ .

$\overrightarrow{OC‘} = \pmatrix{3\\3\\0}$

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2. Schritt: $\boldsymbol{\overrightarrow{CC‘}}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CC‘}&=& \overrightarrow{OC‘}-\overrightarrow{OC} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\3\\0}-\pmatrix{3\\3\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\-6} \end{array}$

3. Schritt: Senkrechte nachweisen

Vektoren welche senkrecht zu einer Ebene stehen sind Normalenvektoren. Da die Ebene parallel zur $x_1 x_2$ -Ebene ist, ist ein möglicher Normalenvektor $\pmatrix{0\\0\\1}.$ Es gilt folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0\\-6}&=& -6\cdot \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] \end{array}$

Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{CC‘}$ ist ein Vielfaches eines Normalenvektors der Ebene mit den Punktesn $A,$ $B$ und $Z$ und damit auch selbst ein Normalenvektor dieser Ebene. Der Vektor $\overrightarrow{CC‘}$ steht also senkrecht auf der betrachteten Ebene und damit gilt das gleiche für die Strecke $[CC‘].$

$\blacktriangleright$ Seitenlänge des Quadrats begründen

Du sollst begründen, dass es sich bei dem Viereck $ABA‘B‘$ um ein Quadrat mit Seitenlänge $3\sqrt{2}$ handelt. Bestimme zuerst die Koordinaten von $A‘$ und $B‘$ .

1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{A‘}$ und $\boldsymbol{B‘}$ bestimmen

Die Koordinaten von $A‘$ und $B‘$ bestimmst du wie die von $C‘$ .

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OA‘}&=& \pmatrix{0 \\ 3\\ 3} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OB‘}&=& \pmatrix{3 \\ 0\\ 3} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Streckenlängen bestimmen

Du bestimmst die Streckenlängen über die Beträge der jeweiligen Verbindungsvektoren.

$\left| \overrightarrow{a}\right| =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Für die zugehörigen Verbindungsvektoren folgt:

$\left|\overrightarrow{AB}\right| = 3\sqrt{2}$

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$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{BA‘}\right|&=& \left|\pmatrix{-3 \\-3 \\0 }\right| \\[5pt] &=& 3\sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{A‘B‘}\right|&=& \left|\pmatrix{3 \\-3 \\ 0}\right| \\[5pt] &=& 3\sqrt{2}\\[10pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{B‘A}\right|&=& \left|\pmatrix{3 \\ 3\\ 0}\right| \\[5pt] &=& 3\sqrt{2} \end{array}$

Die Vektoren und damit auch die zugehörigen Strecken sind alle gleich lang. Um zu zeigen, dass es sich um ein Quadrat handelt und nicht um eine Raute ist ein rechter Winkel nachzuweisen.

3. Schritt: Rechter Winkel nachweisen

Für zwei rechtwinklige Vektoren gilt:

$\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=0$

Betrachte die Vektoren ausgehend von Punkt $A$ .

$\overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{B‘A} = 0$

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Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel ist ein Quadrat, in diesem Fall mit der Seitenlänge $3\sqrt{2}$ .

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Du sollst das gegebene Volumen des Oktaeders nachweisen, das aus zwei Pyramiden mit quadratischer Grundfläche besteht. Für das Volumen einer Pyramide gilt $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h,$ wobei $G$ den Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die Höhe der Pyramide bezeichnet.

Die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche ist laut Aufgabenteil c) $3\sqrt{2}.$ Da $Z$ in der selben Ebene liegt und wegen Teilaufgabe b) ist die Höhe der Pyramide die Hälfte der Streckenlänge von $[CC‘]:$

$\begin{array}[t]{rll} h&=& \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{CC‘}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{0\\0\\-6}\right| \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Das Gesamtvolumen ergibt sich dann mit der obigen Formel:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& 2\cdot \frac{1}{3}\cdot \left(3\sqrt{2}\right)^2\cdot 3 \\[5pt] &=& 2\cdot 18 \\[5pt] &=& 36 \end{array}$

Wie gefordert berträgt das Volumen des Oktaeders $36$ .

$\blacktriangleright$ Winkel berechnen

Du sollst die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen $ABC$ und $AC‘B$ bestimmen.
Dieser kann als Nebenwinkel des Schnittwinkels der beiden Ebenen betrachtet werden, in denen die beiden Dreiecke liegen. Einen Normalenvektor der Ebene $E,$ in der das Dreieck $ABC$ liegt, hast du bereits bestimmt. Berechne einen Normalenvektor der Ebene, in der $AC‘B$ liegt wie oben über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene:

$\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{9\\9\\-9}$

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Mit der Formel für den Schnittwinkel $\phi$ zweier Ebenen folgt dann:

$\cos\varphi=\dfrac{\left|\overrightarrow{n}_1\circ\overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1\right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2\right|}$

Für die Vektoren der Aufgabenstellung ergibt sich:

$\varphi \approx 70,53^{\circ}$

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Der Winkel zwischen den beiden Seitenflächen $ABC$ und $AC‘B$ ist ca. $109,47^{\circ}$ groß.

$\blacktriangleright$ Kugelgleichung angeben

Du sollst eine Gleichung für die Kugel angeben, auf welcher alle Eckpunkte des Oktaeders liegen. Der Mittelpunkt dieser Kugel liegt in $Z$ , da die Punkte $A$ , $B$ , $A‘$ und $B‘$ alle den gleichen Abstand zu diesem haben. Der Radius ergibt sich somit beispielsweise aus der Länge des Vektors $\overrightarrow{AZ}$ .

$\begin{array}[t]{rll} \left| \overrightarrow{AZ}\right|&=& \left|\pmatrix{3\\3\\3}-\pmatrix{6\\3\\3}\right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-3\\0\\0}\right| \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Der Radius beträgt $3$ somit ergibt sich die Kugelgleichung:

$K:\, 9=...$

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$\blacktriangleright$ Volumen der Kugel und des Oktaeders vergleichen

Du sollst die Volumina der Kugel und des Oktaeders vergleichen. Das Volumen des Oktaeders beträgt $36$ . Für das Kugelvolumen gilt:

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3$

Für $r=3$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot 3^3 \\[5pt] &=& 36\pi \end{array}$

Für den Anteil des Oktaedervolumens am Volumen der Kugel folgt daher:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{V_{\text{Oktaeder}}}{V_{\text{Kugel}}}\\[5pt] =& \dfrac{36}{36\pi} \\[5pt] =&\dfrac{1}{\pi} \\[5pt] \approx& 0,3183 \\[5pt] =&31,83\,\% \end{array}$

Das Oktaedervolumen nimmt ca. $31,83\,\%$ des Kugelvolumens ein.