Teil A

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto \frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x-2}$ mit maximalem Definitionsbereich $D.$

Bestimme $D$ und gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse an.

(3 BE)

Gib einen Term der ersten Ableitungsfunktion von $f$ an.

(2 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}_0^{+}$ definierte Funktion $g: x \mapsto \sqrt{x}+1$

Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $(1 \mid g(1)).$

(3 BE)

Die Funktion $g$ ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion $g^{-1}$ von $g$ ist in $[1 ;+\infty[$ definiert. Bestimme einen Term von $g^{-1}$ .

(2 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f:x\mapsto -x^2+2 a x$ und $a \in\left] 1 ;+\infty \right[.$ Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a.$

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\dfrac{4}{3} a^3$ hat.

(2 BE)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung 1). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein. Bestimme den Wert von $a.$

Abb. 1

(3 BE)

Abbildung 2 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g,$ dessen einzige Extrempunkte $(-1 \mid 1)$ und $(0 \mid 0)$ sind, sowie den Punkt $P.$

Abb. 2

Gib die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x)=-g(x-3)$ an.

(2 BE)

Der Graph einer Stammfunktion von $g$ verläuft durch $P.$ Skizziere diesen Graphen in Abbildung 2.

(3 BE)

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Definitionsmenge $\boldsymbol{D}$ bestimmen

Da für $x = \ln(2)$ der Nenner von $\frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x-2}$ Null wird, folgt für den maximalen Definitionsbereich von $f$ somit $D = \mathbb{R}\backslash\{\ln(2)\}.$

Koordinaten des Schnittpunktes mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse angeben

$f(0)$ $= \dfrac{\mathrm e^0}{\mathrm e^0-2}$ $= \dfrac{1}{-1}$ $= -1$

Der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse hat somit die Koordinaten $S_y(0\mid -1).$

Mit der Quotientenregel folgt:

$\(f$ $= \dfrac{\mathrm e^x\cdot(\mathrm e^x-2)-\mathrm e^x\cdot\mathrm e^x}{(\mathrm e^x-2)^2}$ $= \dfrac{-2\mathrm e^x}{(\mathrm e^x-2)^2}$

Für die Steigung der Tangente $t$ mit $t: y = m\cdot x + b$ gilt:

$\(m= g$

Mit $\(g$ folgt:

$\(m = g$

Zudem gilt:

$g(1)= \sqrt{1} +1 = 2$

Einsetzen in die Tangentengleichung:

$\begin{array}[t]{rll} y &=& \dfrac{1}{2}\cdot x + b &\quad \scriptsize \mid\; (1\mid 2) \\[5pt] 2&=& \dfrac{1}{2}\cdot 1 +b &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{2}\\[5pt] \dfrac{3}{2}&=& b \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente ist somit durch $t(x) = \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ gegeben.

$\begin{array}[t]{rll} x&=&\sqrt{y}+1 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] x-1&=&\sqrt{y} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] (x-1)^2&=&y \\[5pt] \end{array}$

Ein Term von $g^{-1}$ ist somit gegeben durch $g^{-1}:x\mapsto (x-1)^2.$

$\begin{array}[t]{rll} &&\displaystyle\int_{0}^{2a}f(x)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2a}(-x^2+2ax)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \left[- \dfrac{1}{3}x^3 + ax^2\right]_0^{2a} \\[5pt] &=& \left(- \dfrac{1}{3} \cdot (2a)^3 + a \cdot (2a) ^2\right) - 0 \\[5pt] &=& - \dfrac{8}{3} \cdot a^3 + \dfrac{12}{3} \cdot a^3 \\[5pt] &=& \dfrac{4}{3}a^3 \; [\text{FE}] \end{array}$

1. Schritt: Koordinaten des Hochpunkts bestimmen

$\(f$

Notwendige Bedingung:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Auf das Überprüfen der hinreichenden Bedingung kann verzichtet werden, da es sich laut Aufgabenstellung bei dem Extremum um einen Hochpunkt handelt.

$x = a$ in $f(x)$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=&-a^2 + 2a \cdot a \\[5pt] &=& -a^2 + 2 a^2 \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ hat somit die Koordinaten $(a \mid a^2).$

2. Schritt: Flächinhalt berechnen

Da der Hochpunkt des Graphen von $f$ auf der oberen Seite des Quadrats liegt, muss die Seitenlänge des Quadrats $a^2$ betragen. Der Flächeninhalt des Quadrats ist somit $a^2 \cdot a^2 = a^4 \; [\text{FE}].$

3. Schritt: $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Gleichsetzen und nach $a$ auflösen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} a^4&=& \dfrac{4}{3}a^3&\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{4}{3}a^3 \\[5pt] a^4 -\dfrac{4}{3}a^3 &=& 0 \\[5pt] a^3\left(a- \dfrac{4}{3}\right) &=& 0 \\[5pt] a_1 &=& 0 \\[5pt] a_2 &=& \dfrac{4}{3} \end{array}$

Da $a \in \left]1; + \infty \right[$ , gilt $a = \dfrac{4}{3}.$

Der Graph von $h$ enspricht dem an der $x$ -Achse gespiegelten und um $3$ Längeneinheiten in $x$ -Richtung verschobenen Graphen von $g.$
Durch die Spiegelung an der $x$ -Achse verändert sich der Hochpunkt des Graphen von $g$ zu einem Tiefpunkt mit der $y$ -Koordinate $-1.$
Durch die anschließende Verschiebung ändert sich die $x$ -Koordinate des Tiefpunkts zu $-1+3=2.$

Der Tiefpunkt hat also die Koordinaten $(2 \mid -1).$

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