Teil B

Gegeben ist die Funktion $f : x \mapsto 1+7 \mathrm e^{-0,2x}$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}^+_0;$ die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen $G_f.$

Begründe, dass die Gerade mit der Gleichung $y=1$ waagrechte Asymptote von $G_f$ ist.
Zeige rechnerisch, dass $f$ streng monoton abnehmend ist.

(3 BE)

Für jeden Wert $s\gt 0$ legen die Punkte $(0\mid 1),$ $(s\mid 1),$ $(s\mid f(s))$ und $(0\mid f(s))$ ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $R(s)$ fest.

Zeichne dieses Rechteck für $s=5$ in die Abbildung ein.
Zeige, dass $R(s)$ für einen bestimmten Wert von $s$ maximal ist und gib diesen Wert von $s$ an.

(zur Kontrolle: $R(s) = 7s \cdot \mathrm e^{-0,2s}$ )

(7 BE)

Abb. 1

Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das von $G_f,$ der $y$ -Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen $y=1$ und $x=5$ begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu $s=5$ gehörige Rechteck ein. Bestimme den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.

(7 BE)

Die in $\mathbb{R}^+_0$ definierte Funktion $A : x \mapsto \frac{8}{f(x)}$ beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Südufer eines Sees. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Tagen und $A(x)$ der Flächeninhalt in Quadratmetern.

Bestimme $A(0)$ sowie $\lim\limits_{x \to+ \infty} A(x)$ und gib jeweils die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang an. Begründe mithilfe des Monotonieverhaltens der Funktion $f,$ dass der Flächeninhalt des Algenteppichs im Laufe der Zeit ständig zunimmt.

(5 BE)

Bestimme denjenigen Wert $x_0,$ für den $A(x_0)=4$ gilt, und interpretiere dein Ergebnis im Sachzusammenhang.

(zur Kontrolle: $x_0 \approx 9,7$ )

(4 BE)

Bestimme die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs zu Beobachtungsbeginn.

(4 BE)

Nur zu dem Zeitpunkt, der im Modell durch $x_0$ (vgl. Aufgabe 2b) beschrieben wird, nimmt die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs ihren größten Wert an. Gib eine besondere Eigenschaft des Graphen von $A$ im Punkt $(x_0\mid A(x_0))$ an, die sich daraus folgern lässt und begründe deine Angabe.

(2 BE)

Skizziere den Graphen der Funktion $A$ unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in der Abbildung 2.

Abb. 2

(3 BE)

Um die zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts eines Algenteppichs am Nordufer des Sees zu beschreiben, wird im Term $A(x)$ die im Exponenten zur Basis $\mathrm e$ enthaltene Zahl $-0,2$ durch eine kleinere Zahl ersetzt.
Vergleiche den Algenteppich am Nordufer mit dem am Südufer

hinsichtlich der durch $A(0)$ und $\lim\limits_{x\to + \infty} A(x)$ beschriebenen Eigenschaften. (vgl. Aufgabe 2a).
hinsichtlich der momentanen Änderungsrate des Flächeninhalts zu Beobachtungsbeginn (vgl. Aufgabe 2c).

Skizziere - ausgehend von diesem Vergleich - in der Abbildung 2 den Graphen einer Funktion, die eine mögliche zeitliche Entwicklung des Flächeninhalts des Algenteppichs am Nordufer beschreibt.

(5 BE)

(40 BE)

Da $\lim\limits_{x\to+\infty}7\mathrm e^{-0,2x}=0$ gilt und $f$ aus dieser Funktion durch Verschiebung um eine Längeneinheit in $y$ -Richtung entsteht, ist die Gerade mit der Gleichung $y=1$ eine waagrechte Asymptote von $G_f.$

Ableiten von $f$ liefert die Funktion $\(f$ Da die $\mathrm e$ -Funktion stets positiv ist, gilt $\(f$ für beliebiges $x.$ Somit ist $f$ streng monoton abnehmend.

Rechteck einzeichnen

$\boldsymbol{s}$ für maximalen Wert von $\boldsymbol{R(s)}$ angeben

Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt:

$\begin{array}[t]{rll} R(s)&=&(f(s)-1) \cdot (s-0) \\[5pt] &=&(1+7 \mathrm e^{-0,2s} -1) \cdot s \\[5pt] &=&7s \cdot \mathrm e^{-0,2s} \end{array}$

Für die ersten beiden Ableitungen von $R$ folgt mit der Produktregel und der Kettenregel:

Rechenweg anzeigen

$\( R$

Rechenweg anzeigen

$\( R$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Rechenweg anzeigen

$s=5$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} R$

Somit besitzt $R(s)$ ein Maximum, welches für $s=5$ angenommen wird.

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{5} (f(x)-1) \;\mathrm dx&=& \displaystyle\int_{0}^{5} (1+ 7 \mathrm e^{-0,2x}-1) \;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-35 \mathrm e^{-0,2x}\right]_0^5 \\[5pt] & \approx& 22,12\;[\text{FE}] \\[5pt] \end{array}$

Mit $R(5)= 7 \cdot 5 \cdot \mathrm e^{-0,2 \cdot 5}$ $\approx 12,88$ folgt, dass der prozentuale Anteil des Flächeninhalts des Rechtecks am Flächeninhalt der von $G_f, y=1,$ der $y$ -Achse und $x=5$ eingeschlossenen Fläche sich wie folgt ergibt:

$\dfrac{12,88}{22,12} \approx 0,5823 = 58,23\,\%$

$\begin{array}[t]{rll} A(0)&=&\dfrac{8}{f(0)} \\[5pt] &=&\dfrac{8}{1+ 7 \mathrm e^{-0,2\cdot0}} \\[5pt] &=&\dfrac{8}{8} \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Da $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm e^{-0,2x}=0$ gilt, folgt:

$\lim\limits_{x\to+\infty} A(x) = \dfrac{8}{1+7 \cdot 0} =8$

Nach Aufgabenteil a) gilt, dass $f(x)$ streng monoton fällt. Da $f(x)$ im Nenner von $A(x)$ steht und der Zähler konstant ist, wächst $A(x)$ somit streng monoton, das heißt der Algenteppich nimmt im Laufe der Zeit stetig zu.

Rechenweg anzeigen

$x_0 \approx 9,73$

Ungefähr $9,73$ Tage nach Beobachtungsbeginn hat der Algenteppich eine Größe von $4 \; \text{m}^2$ erreicht.

$\(A$ $= \dfrac{11,2 \mathrm e^{-0,2x}}{(1+7 \mathrm e^{-0,2x})^2}$

Die momentane Änderungsrate des Flächeninhalts des Algenteppichs zu Beobachtungsbeginn ergibt somit zu $\(A$

Da die momentane Änderungsrate durch die erste Ableitung von $A(x)$ beschrieben wird und an der Stelle $x_0$ eine Hochstelle besitzt, besitzt der Graph von $A$ im Punkt mit den Koordinaten $(x_0\mid A(x_0))$ einen Wendepunkt.

Algenteppiche vergleichen

Die Funktion die den Algenteppich am Nordufer beschreibt, hat die Form $A_b:x\mapsto \dfrac{8}{1+ 7\mathrm e^{bx}}$ mit $b\lt -0,2.$

Es gilt $\mathrm e^{-0,2\cdot0}=1=\mathrm e^{b\cdot0},$ sowie $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm e^{bx} = 0,$ da $b\lt-0,2$ ist und somit ebenfalls negativ. Somit folgt sowohl $A_b(0)=A(0),$ als auch $\lim\limits_{x\to+\infty} A_b(x)=\lim\limits_{x\to+\infty} A(x).$
Mit der gleichen Rechnung wie in Aufgabenteil 2c) folgt $\(A_b$ Es gilt somit $\(A_b$ Da $b\lt-0,2$ ist und somit $-b\gt0,2$ gilt, folgt $\frac{56}{64}\cdot(-b)\gt\frac{56}{64}\cdot0,12\approx0,18$ und somit $\(A_b$

Möglichen Graphen skizzieren

Für z.B. $b=-0,5$ ergibt sich folgender Graph von $A_b:$