Teil B

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.

An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f(x)$ $= x \cdot(8-5 x)$ $\cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$ $=-\dfrac{5}{16} x^4$ $+3 x^3$ $-9 x^2+8 x$

beschrieben werden. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ für $0 \leq x \leq 4.$

Abb. 1

Für die erste Ableitungsfunktion von $f$ gilt $\( f$ $=\left(5 x^2-16 x+8\right)$ $\cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right).$

Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von $f,$ dass es keine weiteren solcher Zeitpunkte gibt.

(3 BE)

Es gilt $f(2)\lt 0.$ Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.

(1 BE)

Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt.

(5 BE)

Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründe deine Angabe.

(2 BE)

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)$ $=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2$ $\cdot(4-x)^3$ $=-\dfrac{1}{16} x^5$ $+\dfrac{3}{4} x^4$ $-3 x^3+4 x^2$ von Bedeutung.

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Bestätige rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

(4 BE)

Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimme für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.

(3 BE)

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 2 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Abb. 2

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markiere diesen Zeitpunkt in der Abbildung 2, begründe deine Markierung und veranschauliche deine Begründung in der Abbildung 2.

(3 BE)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x)=(x-3)^k+1$ und $k \in \{1;2;3;\ldots\}.$

Gib in Abhängigkeit von $k$ das Verhalten von $h_k$ für $x \rightarrow-\infty$ an und begründe deine Angabe.

(3 BE)

Ermittle die Koordinaten der beiden Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

(3 BE)

Die erste Ableitungsfunktion von $h_k$ wird mit $\(h_k$ bezeichnet. Beurteile die folgende Aussage:

Es gibt genau einen Wert von $k$ , für den der Graph von $\(h_k$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

(6 BE)

Die Graphen von $h_k$ und $\(h_k$ werden in der Abbildung 3 für $k=4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt, in der Abbildung 4 für $k=5$ beispielhaft für ungerade Werte von $k.$

Abb. 3

Abb. 4

Für $k \geq 4$ werden die Punkte $P\left(4 \mid h_k(4)\right),$ $\(Q\left(4 \mid h_k$ $R\left(2 \mid h_k(2)\right)$ und $\(S\left(2 \mid h_k$ betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.
Begründe, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeige, dass die folgende Aussage richtig ist:
Für jeden geraden Wert von $k$ mit $k \geq 4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k+1$ überein.

(7 BE)

(40 BE)

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Aus $f(x)=0$ folgt:

$x_1=0,$ $x_2=1,6$ und $x_3=4$

Dies entspricht den Zeitpunkten 06:00 Uhr, 07:36 Uhr und 10:00 Uhr.

Der Funktionsterm von $f$ besteht aus vier Linearfaktoren, von denen zwei übereinstimmen. Damit kann $f$ maximal drei Nullstellen besitzen und es gibt daher nur die oben genannten drei Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

Um $08:00\;\text{Uhr}$ nimmt die Staulänge ab.

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Nach dem Satz des Nullprodukts ist diese Gleichung erfüllt, wenn $1-\dfrac{x}{4}=0$ oder $5 x^2-16 x+8=0$ gilt. Ersteres ist für $x_1=4$ erfüllt. Weiterhin gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 5 x^2-16 x+8&=& 0 \end{array}$

Die $abc$ -Formel liefert:

$\begin{array}[t]{rll} x_{2;3}&=&\dfrac{16\pm\sqrt{(-16)^2-160}}{10} \\[5pt] x_{2;3}&=&\dfrac{16\pm\sqrt{96}}{10} \\[5pt] x_2&\approx& 2,58 \\[5pt] x_3&\approx& 0,62 \end{array}$

2. Schritt: Stelle mit der stärksten Zunahme bestimmen

Der Abbildung 1 lässt sich entnehmen, dass $x_3\approx 0,62$ die Stelle mit der stärksten Zunahme ist.

$x_{3}\cdot 60$ $\approx 0,62\cdot 60$ $= 37,2\;[\text{min}]$

Die Staulänge nimmt um ca. $06:37\;\text{Uhr}$ am stärksten zu.

Der Stau ist um 07:36 Uhr am längsten.

Die Länge des Staus nimmt genau dann zu, wenn $f(x) \gt 0.$
Dies ist zwischen der ersten und zweiten Nullstelle der Fall. Bis 07:36 Uhr nimmt die Staulänge daher zu und ab 07:36 Uhr bis 10:00 Uhr nimmt sie dann wieder ab.

Aussage begründen

Die Funktion $f$ modelliert die Änderungsrate der Staulänge im Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Die Staulänge wird also durch die Stammfunktion von $f$ beschrieben, die für $x=0$ den Wert null annimmt.

$\(\begin{array}[t]{rll} s$

Zudem gilt $s(0)$ $=\left(\dfrac{0}{4}\right)^2$ $\cdot (4-0)^3$ $= 0.$

Somit kann die Staulänge zu jedem Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Auflösung des Staus

Vier Stunden nach Entstehung des Staus ist es 10:00 Uhr, daraus folgt:

$s(4)$ $=\left(\dfrac{4}{4}\right)^2$ $\cdot (4-4)^3$ $= 1$ $\cdot 0$ $= 0 \;\text{[km]}$

Zunahme der Staulänge berechnen

$s(2)-s(0,5)\approx 2\;[\text{km}] - 0,7\;[\text{km}]$ $= 1,3 \;[\text{km}]$

Die Länge des Staus hat zwischen 06:30 Uhr und 08:00 Uhr damit um ca. $1,3\;[\text{km}]$ zugenommen.

Durchschnittliche Änderungsrate bestimmen

$\frac{1,3\;\text{km}}{1,5\;\text{h}}$ $\approx 0,9\frac{\text{km}}{\text{h}}.$

Die Länge des Staus wird durch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ im Intervall $[0;b]$ mit der $x$ -Achse einschließt beschrieben. Ist die Flächenbilanz der Flächen, die der Graph mit der $x$ -Achse für $1,5\leq x\leq a$ oberhalb der $x$ -Achse und $a\leq x \leq b$ unterhalb der $x$ -Achse einschließt, gleichgroß, so entspricht $b$ dem gesuchten Zeitpunkt.

Für alle Werte von $k$ ist der Term von $h_k$ jeweils ein Polynom, wobei $x^k$ der Summand mit dem größten Exponenten ist. Somit gilt $\lim\limits_{x\to-\infty} h_k(x)=-\infty$ wenn $k$ ungerade ist und $\lim\limits_{x\to-\infty} h_k(x)=\infty$ wenn $k$ gerade ist.

Damit ein Punkt auf allen Graphen der Schar liegt, muss Einsetzen des $x$ -Wertes in die Funktionsgleichung von $h_k(x)$ unabhängig von dem Wert von $k$ denselben $y$ -Wert ergeben. Insbesondere muss damit der Wert von $(x-3)^k$ für alle $k$ derselbe sein. Da $0^k=0$ und $1^k=1$ für alle $k$ gilt, und die Graphen der Schar laut Aufgabenstellung genau zwei Punkte gemeinsam haben, folgt für deren $x$ -Werte:

$\begin{array}[t]{rll} x-3&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] x&=&3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x-3&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] x&=&4 \end{array}$

Einsetzen der $x$ -Werte in die Funktionsgleichung der Schar liefert $h_k(3)$ $= 0^k+1$ $= 1$ und $h_k(4)$ $= 1^k+1$ $= 2,$ sodass die beiden gemeinsamen Punkte die Koordinaten $P_1(3\mid 1)$ und $P_2(4\mid 2)$ besitzen.

$\(h_k{ }$ $= k\cdot(x-3)^{k-1}$

Eine Tangente ist immer eine Gerade, die zugehörige Funktion also maximal vom Grad $1.$ Da $\(h_k{ }$ durch das Ableiten vom Grad $k-1$ ist, kommen nur $k=1$ und $k=2$ infrage.

Für $k=1$ handelt es sich bei dem Graphen von $h_k$ allerdings um eine Gerade, die keine Tangente besitzen kann. Also bleibt nur $k=2$ zu überprüfen.

1. Schritt: Funktionswerte von $h_2$ und $\(h_2{ }$ vergleichen

Rechenweg anzeigen

$x=4$

2. Schritt: Steigungen vergleichen

Die Steigung von $\(h_2$ lässt sich zu $m=2$ aus der Funktionsgleichung ablesen.

Außerdem ergibt sich die Steigung des Graphen von $h_2$ an der Stelle $x=4$ zu:

$\(h_2$

An der Stelle $x=4$ besitzen die Graphen von $h_2$ und $\(h_2$ also einen gemeinsamen Punkt mit identischer Steigung.

Damit ist die Aussage aus der Aufgabenstellung korrekt.

Trapezform begründen

Die Punkte $P$ und $Q,$ sowie die Punkte $R$ und $S$ haben jeweils übereinstimmende $x$ -Koordinaten. Damit sind die Seiten $\overline{PQ}$ und $\overline{RS}$ parallel.

Aussage zeigen

Die Höhe der Trapeze beträgt in jedem Fall $h=4-2 = 2.$

Bei geradem $k$ folgt für die Flächeninhalte der Trapeze damit:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} A_{k}&=&2k\;[\text{FE}] \\[5pt] A_{k+1}&=&2k\;[\text{FE}] \end{array}$

Die Aussage aus der Aufgabenstellung ist somit richtig.

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