Teil A
1
Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0“ beschriftet, einer mit „1“ und einer mit „2“ ; die beiden anderen Sektoren sind mit „9“ beschriftet.
a)
Das Glücksrad wird viermal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen 
und 
in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.
(2 BE)
b)
Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 
beträgt.
(3 BE)
2
Die Zufallsgröße 
kann ausschließlich die Werte 
und 
annehmen. Bekannt sind 
und 
sowie der Erwartungswert 
Bestimme mithilfe eines Ansatzes für den Erwartungswert die Wahrscheinlichkeiten 
und 
(3 BE)
3
Gegeben ist eine Bernoullikette mit der Länge 
und der Trefferwahrscheinlihckeit 
Erkläre, dass für alle 
die Beziehung 
gilt.
(2 BE)
(10 BE)
1
a)
Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
p &=& \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{5}\\[5pt]
&=& \dfrac{2}{625} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b19ff27f3a6c7fc1aed5a5b44df5cf0e22531051399ab77ef731dd177aff1eda?color=5a5a5a)
b)
Die Summe der beiden erzielten Zahlen beträgt nur dann mindestens 
wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine und eine 
oder um eine und eine handelt. Mit den Pfadregeln folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
2
Da die Summe der vier Wahrscheinlichkeiten 
ergeben muss, folgt weiter:
Einsetzen in die obere Gleichung liefert für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
P(X=1) &=& 1,6-4\cdot0,3 \\[5pt]
&=& 0,4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bb98d35bf3bbb5efecafd204ccf5e940562fae45847da8a6c7b7edac55624b5c?color=5a5a5a)
Somit ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten 
und 
3
Bei Bernoulliversuchen gibt es nur zwei mögliche Ereignisse die auftreten können, wobei 
und 
die Wahrscheinlichkeiten für diese beschreiben.
Die angegebene Wahrscheinlichkeit
beschreibt somit, dass bei Versuchen genau 
mal das Ereignis mit Wahrscheinlichkeit eintritt, wobei 
die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass bei Versuchen genau 
mal das andere Ereignis eintritt.
Da es nur zwei mögliche Ausgänge der einzelnen Bernoulliexperimente gibt, gilt somit
Die angegebene Wahrscheinlichkeit
Da es nur zwei mögliche Ausgänge der einzelnen Bernoulliexperimente gibt, gilt somit