Teil B

Ein Großhändler bietet Samenkörner für Salatgurken in zwei Qualitätsstufen an. Ein Samenkorn der höheren Qualität A keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%,$ eines der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von $70\,\%.$
Ein Anbaubetrieb kauft Samenkörner beider Qualitätsstufen, $65\,\%$ aller gekauften Samenkörner sind von der Qualität A.

In einem Gedankenexperiment werden die eingekauften Samenkörner zusammengeschüttet und gemischt. Bestimme mithilfe eines beschrifteten Baumdiagramms

$\alpha)$

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn keimt;

$\beta)$

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn, das nach der Saat keimt, von der Qualität B ist.

(5 BE)

Der Anbaubetrieb sät $200$ Samenkörner der Qualität B. Die Anzahl keimender Samenkörner wird durch eine binomial verteilte Zufallsgröße beschrieben. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl keimender Samenkörner um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(4 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang die Bedeutung des Terms $1-P(X\geq 275),$ wobei $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern $n=300$ und $p =0,95$ bezeichnet.

(2 BE)

Keimt ein Samenkorn, so wächst daraus eine Pflanze heran, die aufgrund schädlicher Einflüsse jedoch in manchen Fällen keine Gurken trägt.
Bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität A entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von $85\,\%$ eine fruchttragende Pflanze, bei einem gekeimten Samenkorn der Qualität B mit einer Wahrscheinlichkeit von $75\,\%.$ Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass - unabhängig von der Qualität der Samenkörner - von jeder fruchttragenden Pflanze gleich viele Gurken geerntet werden können.
Ein Samenkorn der Qualität A kostet $17$ Cent, eines der Qualität B $12$ Cent. Entscheide durch Rechnung, ob es für einen Anbaubetrieb finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität A zu beschränken, oder ob es finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner der Qualität B zu beschränken, wenn er alle Gurken zum selben Preis verkauft.

(5 BE)

Der Großhändler behauptet, dass sich die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B durch eine veränderte Aufbereitung des Saatguts auf mehr als $70\,\%$ erhöht hat. Deshalb soll die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorn der Qualität B ist höchstens $70\,\%.$ “ auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden. Dazu werden $100$ der verändert aufbereiteten Samenkörner der Qualität B zufällig ausgewählt und gesät. Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

(4 BE)

(20 BE)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten sollen mithilfe eines beschrifteten Baumdiagramms bestimmt werden. Zeichne also ein Baumdiagramm und verwende anschließend die Pfadregeln, um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Für die zweite Wahrscheinlichkeit kannst du den Satz von Bayes verwenden:

$P_B(A)=\dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$

1. Schritt: Baumdiagramm zeichnen

Es handelt sich um ein zweistufiges Zufallsexperiment. Alle notwendigen Wahrscheinlichkeiten sind in der Aufgabenstellung gegeben. Bezeichne das Ereignis, dass ein Samenkorn keimt, mit $K$ , dass es nicht keimt mit $\overline{K}.$

Diagramm mit Wahrscheinlichkeiten und Entscheidungsbaum für die Optionen A und B.

Abb. 1: Baumdiagramm

2. Schritt: Wahrscheinlichkeiten berechnen

$\alpha)$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorm keimt. Im Baumdiagramm gehören dazu zwei Pfade:

$P(K)= 86,25\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Samenkorn keimt, beträgt $86,25\,\%.$

$\beta)$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes keimendes Samenkorn von der Qualität B ist, also $P_K(B).$ Verwende den Satz von Bayes und das Baumdiagramm.

$P_K(B) \approx 28,41\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes keimendes Samenkorn von der Qualität B ist, beträgt ca. $28,41\,\%.$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Die Anzahl keimender Samenkörnern unter $200$ Samenkörnern der Qualität B soll nun durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschrieben werden. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Anzahl um höchstens eine Standardabweichung $\sigma$ vom Erwartungswert $\mu$ von $X$ abweicht.
Hierfür kannst du die $\sigma$ -Regeln für binomialverteilte Zufallsgrößen anwenden. Beachte, dass du dazu zunächst die Bedingung $\sigma \gt 3$ überprüfen musst.

Berechne dazu die Standardabweichung $\sigma$ mit folgender Formel:

$\sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)}$

Für $X$ gilt $n= 200$ und $p = 0,7.$

$\begin{array}[t]{rll} \sigma_X &=& \sqrt{200\cdot 0,7\cdot 0,3} \\[5pt] &=& \sqrt{42} \gt 3 \\[5pt] \end{array}$

Die $\sigma$ -Regeln können also angewendet werden. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $X$ einen Wert annimmt, der höchstens um eine Standardabweichung $\sigma$ von ihrem Erwartungswert $\mu$ abweicht. Die entsprechende Regel lautet:

Mit $\sigma \gt 3$ gilt für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X:$

$P(\mu-1\cdot \sigma \leq X \leq \mu +1\cdot \sigma)$ $\approx 0,683$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl keimender Samenkörner um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht, beträgt nach den $\sigma$ -Regeln ca. $68,3\,\%.$

$\blacktriangleright$ Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang angeben

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n=300$ und $p =0,95.$ Du sollst die Bedeutung des folgenden Terms im Sachzusammenhang beschreiben:

$1- P(x\geq 275)$

Vergleiche dazu die Wahrscheinlichkeit $p$ mit den dir bekannten Wahrscheinlichkeiten und bestimme so zunächst was $X$ im Sachzusammenhang beschreibt. Darüber kannst du dann auch den Term deuten.

Die Wahrscheinlichkeit $p=0,95$ entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Samenkorn der Qualität A keimt. $X$ beschreibt also die Anzahl der Samenkörner, die in einer Stichprobe von $300$ Samenkörnern der Qualität A keimen.

Den Term kannst du noch umformen:

$\begin{array}[t]{rll} &1- P(X\geq 275)\\[5pt] =& P(X \leq 274) \end{array}$

Der Term beschreibt also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in einer Stichprobe von $300$ zufällig ausgewählten Samenkörnern der Qualität A höchstens $274$ Samenkörner befinden, die keimen.

$\blacktriangleright$ Entscheidung durch Rechnung treffen

Du sollst entscheiden, ob es finanziell günstiger ist, sich auf Samenkörner einer Qualitätsstufe zu beschränken. Vergleiche also den Ertrag beider Qualitätsstufen bei gleichem finanziellen Einsatz.
Berechne also die erwartete Anzahl fruchttragender Pflanzen pro $1\,€$ , der in Samenkörner der jeweiligen Qualitätsstufe investiert wird.
Berechne dazu die jeweilige Wahrscheinlichkeit dafür, dass aus Samenkörnern der einzelnen Qualitätsstufen fruchttragende Pflanzen entstehen und die Anzahl der Samenkörner, die pro investiertem Euro gekauft werden können.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ keimt ein Samenkorn der Qualität A, aus einem solchen gekeimten Samenkorn entsteht mit einer Wahrscheinlichkeit von $85\,\%$ eine fruchttragende Pflanze.
Bezeichne das Ereignis, dass eine fruchttragende Pflanze entsteht mit $F$ .

$\begin{array}[t]{rll} & P_A(F)\\[5pt] =& P_A(K)\cdot P_{A\cap K}(F) \\[5pt] =& 0,95\cdot 0,85 \\[5pt] =& 0,8075\\[5pt] =& 80,75\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $80,75\,\%$ entsteht aus einem Samenkorn der Qualität A eine fruchttragende Pflanze. Pro Samenkorn müssen $17$ Cent gezahlt werden. Mit einem Euro können also im Schnitt $\frac{100}{17}$ Samenkörner gekauft werden, von denen $80,75\,\%$ zu einer fruchttragenden Pflanze werden:

$\begin{array}[t]{rll} & E(A)\\[5pt] =& \frac{100}{17}\cdot 0,8075 \\[5pt] =& 4,75 \end{array}$

Mit einem Euro, der in Samenkörner der Qualität A investiert wird, können im Schnitt $4,75$ fruchttragende Pflanzen angebaut werden. Führe die gleiche Rechnung für B durch:

$\begin{array}[t]{rll} &P_B(F)\\[5pt] =& P_B(K)\cdot P_{B\cap K}(F) \\[5pt] =& 0,7\cdot 0,75 \\[5pt] =& 0,525 \\[5pt] =& 52,5\,\% \end{array}$

Mit einem Euro können im Schnitt $\frac{100}{12}$ Samenkörner der Qualität B gekauft werden.

$\begin{array}[t]{rll} E(B)&=& \frac{100}{12}\cdot 0,525 \\[5pt] &=& 4,375 \end{array}$

Pro Euro der investiert wird, können mit Samenkörnern der Qualität A im Schnitt $4,75$ fruchttragende Pflanzen generiert werden. Bei Samenkörnern der Qualität B liegt dieser Wert bei $4,375.$ Für einen Anbaubetrieb ist es also finanziell günstiger, sich auf die Samenkörner der Qualität A zu beschränken, als auf die der Qualität B.

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel bestimmen

Getestet wird die Nullhypothese „Die Wahrscheinlichkeit für das Keimen eines Samenkorns der Qualität B ist höchstens $70\,\%.$ “
Dazu werden $100$ Samenkörner der Qualität B untersucht. Gesucht ist eine Entscheidungsregel, also der größte Wert $k$ , bei dem man beim angegebenen Signifikanzniveau die Nullhypothese noch bestätigen kann.

Betrachte also die Zufallsgröße $X_p,$ die die Anzahl der keimenden Samenkörner in der Stichprobe von $100$ Körnern der Qualität B beschreibt. Dann kann diese aus gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt mit den Parametern $n= 100$ und $p$ angenommen werden.
Die Nullhypothese lautet:

$H_0: \; p \leq 0,7$

Das Signifikanzniveau $\alpha = 5\,\%$ gibt an, dass die Nullhypothese höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von $5\,\%$ fälschlicherweise abgelehnt werden darf.
Stelle mit dieser Angabe eine Ungleichung in Abhängigkeit von $k$ auf, die du nach $k$ lösen kannst.

$k$ soll der größte Werte sein, für den die Nullhypothese noch angenommen wird. Sie wird abgelehnt, wenn mehr als $k$ keimende Samenkörner in der Stichprobe gefunden werden.
Ist $X_p$ also entsprechend der Nullhypothese mit $p=0,7$ verteilt, soll mit dem Signifikanzniveau folgende Ungleichung gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_p \gt k )&\leq& 0,05 \\[5pt] 1- P(X_p\leq k)&\leq&0,05 \\[5pt] P(X_p\leq k)&\geq&0,95 \\[5pt] \end{array}$

Du kannst nun den Befehl für die inverse Binomialverteilung deines CAS verwenden. Diesen findest du im Statistik-Menü unter:

Calc $\to$ Inverse Verteilung $\to$ Inverse Binomialverteilung

Gibst du dort die Parameter ein, erhältst du $k =77.$

Das kleinste $k,$ das die Ungleichung erfüllt, ist $k =77.$

Eingabefelder für statistische Berechnungen mit Schaltflächen für Navigation.

Abb. 2: Eingabe der Werte

Eingabefelder und Schaltflächen für eine statistische Berechnung.

Abb. 3: Ergebnis

Die Entscheidungsregel ergibt sich also wie folgt:

Werden in der Stichprobe mehr als $77$ keimende Körner gefunden, kann die Nullhypothese abgelehnt werden und man kann davon ausgehen, dass die neue Methode zur Aufbereitung tatsächlich die Wahrscheinlichkeit zum Keimen erhöht.

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