Teil B

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0\mid 0\mid 1)$ , $B(2\mid 6\mid 1)$ , $C(-4\mid 8\mid 5)$ und $D(-6\mid 2\mid 5)$ gegeben. Sie liegen in einer Ebene $E$ und bilden ein Viereck $ABCD,$ dessen Diagonalen sich im Punkt $M$ schneiden.

Begründe, dass die Gerade $AB$ parallel zur $x_1x_2$ -Ebene verläuft.

(1 BE)

Weise nach, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist. Bestimme die Koordinaten von $M.$

[Teilergebnis: $M(-2\mid 4\mid 3)$ ]

(4 BE)

Ermittle eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform.

[Mögliches Ergebnis: $E:\; 3x_1-x_2 +5x_3 -5 = 0$ ]

(2 BE)

Ein Solarmodul wird an einem Metallrohr befestigt, das senkrecht zum horizontalen Erdboden steht. Das Solarmodul wird modellhaft durch das Rechteck $ABCD$ dargestellt. Das Metallrohr lässt sich durch eine Strecke, der Befestigungspunkt am Solarmodul durch den Punkt $M$ beschreiben (vgl. Abbildung). Der horizontale Erdboden liegt im Modell in der $x_1x_2$ -Ebene des Koordinatensystems; eine Längeneinheit entspricht $0,8\,\text{m}$ in der Realität.

Illustration eines Parallelogramms mit den Punkten A, B, C, D und dem Punkt M in der Mitte.

Abb. 1

Ein Sechstel des Metallrohrs steckt im Erdreich. Bestimme die Länge des Metallrohrs.

(2 BE)

Um einen möglichst großen Energieertrag zu erzielen, sollte die Größe des Neigungswinkels $\phi$ des Solarmoduls gegenüber der Horizontalen zwischen $30^{\circ}$ und $36^{\circ}$ liegen. Prüfe, ob diese Bedingung erfüllt ist.

(2 BE)

Auf das Solarmodul fällt Sonnenlicht, das im Modell durch parallele Geraden dargestellt wird, die senkrecht zur Ebene $E$ verlaufen. Das Solarmodul erzeugt auf der horizontalen Fläche einen rechteckigen Schatten.
Zeige unter Verwendung einer geeigneten beschrifteten Skizze, dass der Flächeninhalt des Schattens mithilfe des Terms $\left| \overrightarrow{AB}\right|\cdot \dfrac{\left| \overrightarrow{AD}\right|}{\cos \phi} \cdot (0,8\,\text{m})^2$ berechnet werden kann.

(5 BE)

Um die Sonneneinstrahlung im Laufe des Tages möglichst effektiv zur Energiegewinnung nutzen zu können, lässt sich das Metallrohr mit dem Solarmodul um die Längsachse des Rohrs drehen. Die Größe des Neigungswinkels $\phi$ gegenüber der Horizontalen bleibt dabei unverändert.
Betrachtet wird der Eckpunkt des Solarmoduls, der im Modell durch den Punkt $A$ dargestellt wird. Berechne den Radius des Kreises, auf dem sich dieser Eckpunkt des Solarmoduls bei der Drehung des Metallrohrs bewegt, auf Zentimeter genau.

(4 BE)

(20 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Parallelität begründen

Du sollst begründen, dass die Gerade $AB$ parallel zur $x_1x_2$ -Ebene ist. Bilde dazu einen Richtungsvektor der Geraden. Das kann beispielsweise der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ sein.

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{2\\6\\0}$

Die $x_3$ -Koordinate des Richtungsvektors ist null. Alle Punkte auf der Gerade besitzen also die gleiche $x_3$ -Koordinate. Also liegt die Gerade parallel zur $x_1x_2$ -Ebene.

$\blacktriangleright$ Rechteck nachweisen

Du sollst nachweisen, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist. Zeige dazu, dass die nebeneinander liegenden Seiten senkrecht zueinander stehen. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der zugehörigen Verbindungsvektoren Null ergibt.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BC}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{CD}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{CD}\circ \overrightarrow{DA}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{DA}&=& 0 \\[10pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Alle Paare nebeneinander liegender Seiten des Vierecks $ABCD$ schließen also einen rechten Winkel ein. Daher handelt es sich um ein Rechteck.

$\blacktriangleright$ Koordinaten ermitteln

Gesucht sind die Koordinaten des Schnittpunkts $M$ der Diagonalen von $ABCD.$ Da es sich bei $ABCD$ um ein Rechteck handelt, halbieren sich die Diagonalen gegenseitig. $M$ ist also der Mittelpunkt der Strecken $[AC]$ und $[BD].$ Den Ortsvektor des Mittelpunkts einer Strecke $[AB]$ kannst du mit folgender Formel berechnen:

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} \right)$

Setze also ein:

$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{OM}\\[5pt] =& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] =& \pmatrix{-2\\4\\3} \\[5pt] \end{array}$

Die Koordinaten des Punktes $M$ lauten $M(-2\mid 4\mid 3).$

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Normalenform ermitteln

Gesucht ist eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform:

$E:$
$n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 -d$
$= 0$

$\overrightarrow{n}$ ist dabei ein Normalenvektor von $E$ , der mit dem Kreuzprodukt zweier Vektoren bestimmt werden kann, die in der Ebene liegen. Wähle dazu beispielsweise zwei verschiedene Verbindungsvektoren der Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ . Der Parameter $d$ kann im Anschluss durch eine Punktprobe bestimmt werden.

1. Schritt: Normalenvektor bestimmen

Verwende beispielsweise die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ . Das Kreuzprodukt kannst du mit dem crossP-Befehl deines CAs berechnen. Den Befehl für einen Vektor findest du unter:

keyboard $\to$ Math2

$\overrightarrow{n}_1 = 8\cdot \pmatrix{3\\-1\\5}$

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Mathematische Berechnung mit Vektoren und Kreuzprodukt in einer Softwareanwendung.

Abb. 1: Kreuzprodukt mit dem CAS

Du kannst sowohl die gekürzte Form, als auch den ursprünglich berechneten Normalenvektor verwenden.

Setze nun den Normalenvektor gemeinsam mit den Koordinaten des vierten Punkts $D$ in die Ebenengleichung ein, um $d$ zu berechnen:

$5 = d$

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Eine mögliche Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform lautet $E: \;3x_1-x_2+5x_3 -5 = 0.$

[Hinweis: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten. Deine Lösung ist richtig, wenn die Ebenengleichung durch Multiplikation mit einem Faktor in die Musterlösung umgeformt werden kann.]

$\blacktriangleright$ Länge des Metallrohrs berechnen

Das Metallrohr steht senkrecht zum horizontalen Boden und steckt zu einem Sechstel im Erdreich. Der Befestigungspunkt am Solarmodul lässt sich im Modell durch den Punkt $M$ darstellen, der Erdboden durch die $x_1x_2$ -Ebene.
Die Länge des Metallrohrteils, der nicht im Erdreich steckt, entspricht also dem Abstand vom Punkt $M$ zur $x_1x_2$ -Ebene. Bestimme diesen und rechne ihn anschließend mit dem Maßstab auf die Länge in der Realität und zum Schluss auf die gesamte Länge des Metallrohrs um.

Die Koordinaten des Punkts $M$ hast du bereits berechnet $M(-2\mid 4\mid 3).$ Der Abstand zur $x_1x_2$ -Ebene entspricht der $x_3$ -Koordinate. Der Punkt $M$ ist $3$ Längeneinheiten von der $x_1x_2$ -Ebene entfernt.
Der Teil des Metallrohrs, der nicht im Erdreich steckt, besitzt folgende Länge $l_a$ :

$l_a = 0,8\,\text{m}\cdot 3 = 2,4\,\text{m}$

Dies entspricht laut Aufgabenstellung fünf Sechsteln der Gesamtlänge $l$ des Rohrs:

$l = l_a \cdot \frac{6}{5} =2,4\,\text{m} \cdot \frac{6}{5} = 2,88\,\text{m}$

Das Metallrohr ist $2,88\,\text{m}$ lang.

$\blacktriangleright$ Bedingung prüfen

Der Neigungswinkel des Solarmoduls gegenüber der Horizontalen soll eine Größe zwischen $30^{\circ}$ und $36^{\circ}$ besitzen. Das Solarmodul wird im Modell durch das Viereck $ABCD$ dargestellt, das in der Ebene $E$ liegt. Die Horizontale wird durch die $x_1x_2$ -Ebene beschrieben. Der betrachtete Winkel $\phi$ entspricht also dem Schnittwinkel von $E$ mit der $x_1x_2$ -Ebene.
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{n}_1$ und $\overrightarrow{n}_2$ kannst du mit folgender Formel berechnen:

$\cos(\alpha)= \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}$

Einen Normalenvektor von $E$ hast du bereits bestimmt, beispielsweise $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{3\\-1\\5}$ . Ein möglicher Normalenvektor der $x_1x_2$ -Ebene ist $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Die Vektorbeträge kannst du mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen.

$\phi\approx 32,31^{\circ}$

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Mathematische Software mit Berechnungen und Vektoren auf einem Bildschirm.

Abb. 2: Vekotrbetrag mit dem CAS berechnen

Das Solarmodul ist gegenüber der Horizontalen um ca. $32,31^{\circ}$ geneigt. Die Bedingung ist daher erfüllt.

$\blacktriangleright$ Formel für den Flächeninhalt zeigen

Überlege dir, wie du den Flächeninhalt des Schattens berechnen kannst und leite so den Term her. Die Sonnenstrahlen fallen senkrecht auf das Solarmodul. Dadurch handelt es sich bei dem Schatten ebenfalls um ein Rechteck, das von den Schattenpunkten $A‘$ , $B‘$ , $C‘$ und $D‘$ gebildet wird.
Du weißt bereits aus Aufgabenteil a), dass die Gerade $AB$ parallel zur Horizontalen verläuft. Die Seitenlänge $\left|[AB] \right|$ bleibt daher auch im Schatten erhalten: $\left|[A‘B‘] \right| = \left|[AB]\right|.$
Zeichne eine Skizze, bei der der Blick seitlich auf das Solarmodul und die Horizontale fällt und überlege dir, wie die zweite Seitenlänge $\left|[A‘D‘] \right|$ berechnet werden kann.

Diagramm eines Solarmoduls mit Sonnenstrahlen und horizontaler Ebene.

Abb. 3: Skizze

Gesucht ist nun die Länge der Strecke $[A‘D‘].$ Diese entspricht auch der Länge der Strecke $[AS].$ Das Dreieck $ADS$ besitzt einen rechten Winkel bei $D.$ Die Größe des Winkels $\phi$ ist bereits bekannt. Die Strecke $[AD]$ ist die Ankathete zu $\phi$ im Dreieck $ADS.$
Gesucht ist die Länge der Hypotenuse $[AS]$ . Diese kann mit dem Kosinus berechnet werden:

$\left|[AS] \right| = \dfrac{ \left|[AD] \right|}{\cos(\phi)}$

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Bei beiden Seitenlängen des Rechtecks $A‘B‘C‘D‘$ muss der Maßstab beachtet werden. Eine Längeneinheit im Modell entspricht $0,8\,\text{m}$ in der Realität. Zudem kannst du die Seitenlängen durch die Beträge der entsprechenden Verbindungsvektoren darstellen. Der Flächeninhalt des Schattens ergibt sich damit zu:

$A_{\text{Schatten}} = ...$

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$\blacktriangleright$ Radius berechnen

Das Solarmodul kann um das Metallrohr gedreht werden, sodass der Neigungswinkel $\phi$ erhalten bleibt. Gesucht ist der Radius des Kreises, auf dem sich der Eckpunkt des Solarmoduls bewegt, der im Modell durch $A$ dargestellt wird.

Betrachte dazu nebenstehende Skizze. Bestimme die Koordinaten von $M‘$ und anschließend den Abstand von $A$ zu $M‘$ über den Betrag des Verbindungsvektors.

Der Punkt $M‘$ ist ein Lotfußpunkt von $M$ und hat daher die gleichen $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten. Aufgrund des rechten Winkels besitzt er zudem die gleiche $x_3$ -Koordinate wie $A$ . Die Koordinaten lauten daher $M‘(-2\mid 4 \mid 1).$

Diagramm mit Punkten A, M und M' sowie einem Winkel, der eine Beziehung zwischen den Punkten darstellt.

Abb. 4: Skizze

Beachte auch hier wieder den Maßstab des Modells.

$r \approx 3,58\,\text{m}$

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Der Radius des Kreises, auf dem sich der Eckpunkt des Solarmoduls bewegt, beträgt auf Zentimeter genau gerundet $3,58\,\text{m}.$

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