Teil B

In einer Gemeinde gibt es 6250 Haushalte, von denen 2250 über einen schnellen Internetanschluss verfügen. Zwei Drittel der Haushalte, die über einen schnellen Internetanschluss verfügen, besitzen auch ein Abonnement eines Streamingdiensts. $46 \,\%$ aller Haushalte verfügen weder über einen schnellen Internetanschluss noch besitzen sie ein Abonnement eines Streamingdiensts.
Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

A: "Ein zufällig ausgewählter Haushalt verfügt über einen schnellen Internetanschluss."
B: "Ein zufällig ausgewählter Haushalt besitzt ein Abonnement eines Streamingdiensts."

Stelle zu der beschriebenen Situation eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel auf und überprüfe, ob die Ereignisse $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.

(5 BE)

Ein Telekommunikationsunternehmen möchte neue Kunden gewinnen. Dazu schickt es an zufällig ausgewählte Haushalte Werbematerial. Im Folgenden soll davon ausgegangen werden, dass die angeschriebenen Haushalte unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils $20 \,\%$ noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $10$ angeschriebenen Haushalten

mindestens zwei noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen.
genau acht bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen.

(4 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term $0,2 ^{10} +(1- 0,2)^{10}$ angegeben wird.

(2 BE)

Ermittle, wie viele Haushalte das Unternehmen mindestens anschreiben müsste, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\,\%$ wenigstens ein angeschriebener Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, einen solchen einrichten lassen würde.
Gehe dabei davon aus, dass sich jeder hundertste angeschriebene Haushalt, der noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügt, dafür entscheidet, einen solchen einrichten zu lassen.

(4 BE)

Die Zufallsgröße $Y$ kann die Werte $0$ , $1$ , $2$ , $3$ und $4$ annehmen. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ mit $a,b \in [0;1].$

k	0	1	2	3	4
P (Y=k)	a	b	$\dfrac{3}{8}$	b	a

Beschreibe, woran man unmittelbar erkennen kann, dass der Erwartungswert von $Y$ gleich $2$ ist.

(2 BE)

Die Varianz von $Y$ ist gleich $\dfrac{11}{8}.$

Bestimme die Werte von $a$ und $b$ .

(4 BE)

Die Zufallsgröße $Z$ , die für eine Laplace-Münze die Anzahl des Auftretens von "Zahl" bei viermaligem Werfen beschreibt, hat ebenfalls den Erwartungswert $2$ und es gilt analog $P(Z=2)=\dfrac{3}{8}$ .
Berechne die Varianz von $Z$ , vergleiche diese mit der Varianz von $Y$ und beschreibe davon ausgehend einen qualitativen Unterschied der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Z$ und $Y.$

(2 BE)

Begründe, dass die folgende Aussage falsch ist:

Es gibt keine binomialverteilte Zufallsgröße, deren Varianz und Standardabweichung gleich sind.

(2 BE)

(25 BE)

	$A$	$\overline{A}$	Gesamt
$B$	0,24	0,18	0,42
$\overline{B}$	0,12	0,46	0,58
Gesamt	0,36	0,64	1

Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn $P(A \cap B)= P(A) \cdot P(B)$

$P(A \cap B)= 0,24$

$P(A) \cdot P(B)= 0,36 \cdot 0,42 \approx 0,15$

Die Ereignisse sind stochastisch abhängig.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die zufällige Anzahl der Haushalte mit schnellem Internetanschluss, die sich unter 10 zufällig angeschriebenen Haushalten befinden. $X$ kann als binomialverteilt angenommen werden mit $n=10$ und $p=0,8$ .
Die Wahrscheinlichkeit, dass unter $n=10$ zufällig ausgewählten Haushalten mindestens $k=2$ noch nicht über einen schnellen Internetanschluss verfügen, beträgt:

$1-P(X\leq 8)$ $=1-F(10; 0,8; 8)$ $=1-0,3758= 0,6242$ .

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $n=10$ zufällig ausgewählten Haushalten genau $k=8$ Haushalte bereits über einen schnellen Internetanschluss verfügen, beträgt

$P(X=8)= \pmatrix{10\\8} \cdot 0,8^8 \cdot 0,2^2$ $\approx 0,3020$ .

Die Wahrscheinlichkeit $0,2^{10} + 0,8^{10}$ gibt an, dass von 10 Haushalten alle Haushalte dieselbe Angabe machen, dass sie über eine schnelle bzw. langsame Internetverbindung verfügen.

Die Zufallsgröße $X_n$ beschreibt die zufällige Anzahl der Haushalte die sich einen schnelleren Internetanschluss einrichten lassen würden, wobei die Stichprobe aus $n$ Haushalten mit langsamem Internetanschluss besteht. $X_n$ kann als binomialverteilt angenommen werden mit unbekanntem $n$ und $p=0,01 \cdot 0,2 = 0,002$ .

Herauszufinden ist die Anzahl $n$ der Haushalte, die angeschrieben werden müssen, um mit mindestens 99%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einen Internetanschluss einzurichten.

$\begin{array}[t]{rll} P(X_n \geq 1 )&\gt& 0,99&\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 1-(1-0,002)^n&\gt& 0,99&\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -(0,998)^n&\gt&-0,01 &\quad \scriptsize \mid\; :(-1)\\[5pt] 0,998^n &\lt& 0,01&\quad \scriptsize \\[5pt] n&\gt& \log_{0,998}(0,01) \quad \scriptsize \\[5pt] n&\gt& 2300,3 \end{array}$

Es müssen mindestens 2301 Haushalte angeschrieben werden, um mit einer mindestens 99%-igen Wahrscheinlichkeit mindestens einen Internetanschluss einzurichten.

Die Werte aus der Tabelle sind zum Wert $k=2$ symmetrisch. Der Erwartungswert hat die höchste Wahrscheinlichkeit. Es kann keinen Wert für $a$ und $b$ geben, der größer als $\dfrac{3}{8}$ ist.
Deshalb ist der Erwartungswert 2.

Den Erwartungswert berechnest du mit der Formel für den Erwartungswert. Setze also ein:

$\begin{array}[t]{rll} 0 \cdot a +b+2 \cdot \dfrac{3}{8} +3b +4a&=&2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 4(a+b) + \dfrac{3}{4}&=&2 &\quad \scriptsize \mid\;-\dfrac{3}{4} \\[5pt] 4(a+b) &=& \dfrac{5}{4}&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] a+b &=&\dfrac{5}{16} &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&\dfrac{5}{16} -b \end{array}$

Die Varianz berechnest du mit

$(0-2)^2 \cdot a +(1-2)^2 \cdot b + (2-2)^2 \cdot \dfrac{3}{8} + (3-2)^2 \cdot b + (4-2)^2 \cdot a = \dfrac{11}{8}$ .

Vereinfachst du noch, kommst du auf $8a +2b = \dfrac{11}{8}$ .
Setze $a$ ein, um $b$ zu berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} 8 \cdot \left(\dfrac{5}{16} -b \right) +2b&=&\dfrac{11}{8} &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{5}{2} -8b+2b &=& \dfrac{11}{8}&\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{5}{2} \\[5pt] 6b&=&\dfrac{9}{8} &\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] b&=& \dfrac{3}{16} \end{array}$

Die Werte lauten $a=\dfrac{5}{16}- \dfrac{3}{16}=\dfrac{1}{8}$ und $b= \dfrac{3}{16}$ .

Die Varianz von Z berechnest du mit $V(Z)= n \cdot p \cdot (1-p)= 4 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 1$ .

Die Varianz von Z ist größer als die Varianz von Y. Die Werte die die Zufallsgröße Z annimmt, liegen im Schnitt näher am Erwartungswert als bei Y.

Standardabweichung $\sigma$ und Varianz $v$ hängen so zusammen: $\sigma^2 = v$ und $\sigma = \sqrt{v}$ .

Nimmt also $v$ den Wert 1 an, so ist $\sigma$ auch 1 und somit können Standardabweichung und Varianz denselben Wert annehmen.

Für $n=4$ und $p=0,5$ ist $v=1$ und somit auch $\sigma =1$ . Damit ist die Aussage widerlegt.