Teil B

In den letzten Jahren hat der Onlinehandel stark zugenommen. Dies zeigt sich auch in den Versandzentren der Paketdienstleister. Im Folgenden werden nur die im Zusammenhang mit dem Onlinehandel verschickten Pakete in einem dieser Versandzentren betrachtet. Ein Fünftel dieser Pakete sind Retouren, d.h. Pakete, die zurückgeschickte Waren enthalten.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter 200 zufällig ausgewählten Paketen mehr als ein Fünftel und weniger als ein Viertel Retouren sind.

(3 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses mit dem Term $1 - \displaystyle\sum\limits_{i=0}^8\pmatrix{30 \\ i} \cdot 0,2^i \cdot 0,8^{30-i}$ berechnet werden kann, und gib dieses Ereignis an.

(3 BE)

Ermittle, wie viele Pakete mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens eine Retoure ist, größer als $90\,\%$ ist.

(4 BE)

$49\,\%$ der Pakete enthalten Kleidung. Von den Paketen, bei denen es sich um Retouren handelt, enthalten $91\,\%$ Kleidung.

Es wird ein Paket zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$R:$

„Bei dem Paket handelt es sich um eine Retoure.“

$K:$

„Das Paket enthält Kleidung.“

Stelle den beschriebenen Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. Bestimme für den Fall, dass das ausgewählte Paket keine Retoure ist, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Paket Kleidung enthält.

(5 BE)

Aus einer Transportkiste mit 25 Paketen, unter denen sechs Retouren sind, werden nacheinander zehn Pakete zufällig entnommen und an eine Prüfstelle weitergeleitet.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ersten beiden Pakete Retouren sind.

(2 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei oder drei Retouren entnommen werden.

(4 BE)

Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße $X,$ die nur die Werte $1, 2, 3, 4$ und $5$ annehmen kann.

$\color{#fff}{k}$	$\color{#fff}{P(X=k)}$
$1$	$p_1$
$2$	$p_2$
$3$	$p_3$
$4$	$0,2$
$5$	$0,15$

Die Wahrscheinlichkeiten $P(X = 4)$ und $P(X = 5)$ sowie der Erwartungswert und die Varianz von $X$ sind bekannt. Aus diesen Informationen ergibt sich das folgende Gleichungssystem, mit dem die fehlenden Wahrscheinlichkeiten $p_1, p_2$ und $p_3$ berechnet werden können.

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0,65&=& p_1 + p_2 + p_3 \\ \text{II}\quad&1,45&=& p_1 + 2p_2 + 3p_3 \\ \text{III}\quad&0,6&=& 4p_1 + p_2 \\ \end{array}$

Ermittle, ohne das Gleichungssystem zu lösen, welche Werte für den Erwartungswert und die Varianz von $X$ beim Aufstellen des Gleichungssystems verwendet worden sind.

(4 BE)

(25 BE)

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Die Zufallsvariable $X,$ die die Anzahl der Pakete, die Retouren sind, angibt, ist binomialverteilt mit den Parametern $n=200$ und $p=\frac{1}{5}=0,2.$ Da $\frac{1}{4}\cdot200=50$ und $\frac{1}{5}\cdot200=40$ gilt, folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit somit:

$P(40\lt X\lt50) \approx 40,85\,\%$

Rechenweg anzeigen

Zufallsexperiment beschreiben

Es werden $30$ Pakete der im Zusammenhang mit dem Onlinehandel verschickten Pakete zufällig ausgewählt und die Anzahl der Retouren unter ihnen untersucht.

Ereignis angeben

Mindestens $9$ der $30$ Pakete sind Retouren.

Die Zufallsvariable $X_n,$ die die Anzahl der Pakete, die Retouren sind, angibt, ist binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,2.$ Für den gesuchten Wert von $n$ folgt:

Rechnung anzeigen

$n&\gt&10,32$

Es müssen somit mindestens 11 Pakete ausgewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens eine Retoure ist, größer als $90\,\%$ ist.

Aus der Aufgabenstellung ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten $P(K)=0,49$ und $P_R(K)=0,91.$ Für $P(R\cap K)$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} P(R\cap K)&=&P_R(K)\cdot P(R) \\[5pt] &=&0,91\cdot0,2 \\[5pt] &=&0,182 \end{array}$

Damit ergibt sich folgende Vierfeldertafel:

	$\color{#ffffff}{R}$	$\color{#ffffff}{\overline{R}}$
$\color{#ffffff}{K}$	$0,182$	$0,308$	$0,49$
$\color{#ffffff}{\overline{K}}$	$0,018$	$0,492$	$0,51$
	$0,2$	$0,8$	$1$

Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paket, das keine Retoure ist, Kleidung enthält, folgt mit Hilfe der Vierfeldertafel:

$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{R}}(K)&=&\dfrac{P\left(\overline{R}\cap K\right)}{P\left(\overline{R}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,308}{0,8} \\[5pt] &\approx&0,385 \\[5pt] &=&38,5\,\% \end{array}$

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ des beschriebenen Ereignisses folgt:

$p=\dfrac{6}{25}\cdot\dfrac{5}{24}=0,05=5\,\%$

Für die Wahrscheinlichkeit für zwei entnommene Retouren gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X = 2)&=&\dfrac{\pmatrix{6\\2} \cdot \pmatrix{19\\8}}{\pmatrix{25\\10}} \\[5pt] &\approx&0,3468 \\[5pt] &=&34,68\,\% \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit für drei entnommene Retouren gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X = 3)&=&\dfrac{\pmatrix{6\\3} \cdot \pmatrix{19\\7}}{\pmatrix{25\\10}} \\[5pt] &\approx& 0,3083 \\[5pt] &=&30,83\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei oder drei Retouren entnommen werden, beträgt somit $34,68\,\% + 30,83\,\% = 65,51\,\%.$

Mit der Summenformel für den Erwartungswert $E(X)$ der Zufallsvariable $X$ und der zweiten Gleichung des Gleichungssystems folgt:

Rechenweg anzeigen

$E(X)=3$

Für die Varianz $\text{Var}(X)$ folgt, zusammen mit der dritten Gleichung des Gleichungssystems:

Rechenweg anzeigen

$\text{Var}(X)=1,4$

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