Geometrie Prüfungsteil B

Aufgabengruppe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte $A(6\mid 3\mid 3)$ , $B(3\mid 6\mid 3)$ und $C(3\mid 3\mid 6)$ das gleichseitige Dreieck $ABC$ fest.

Ermittle eine Gleichung der Ebene $E$ , in der das Dreieck $ABC$ liegt, in Normalenform.

(mögliches Ergebnis: $E:x_1 + x_2 + x_3 - 12=0$ )

(3P)

Spiegelt man die Punkte $A,\, B$ und $C$ am Symmetriezentrum $Z(3\mid 3\mid 3)$ , so erhält man die Punkte $A‘,\, B‘$ und $C‘$ .

Beschreibe die Lage der Ebene, in der die Punkte $A,\, B$ und $Z$ liegen, im Koordinatensystem. Zeige, dass die Strecke $[CC‘]$ senkrecht auf dieser Ebene steht.

(3P)

Begründe, dass das Viereck $ABA‘B‘$ ein Quadrat mit der Seitenlänge $3\sqrt{2}$ ist.

(4P)

Berechne den Abstand des Punkts $Z$ von der Ebene $E$ .

(2P)

Der Körper $ABA‘B‘CC‘$ ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat $ABA‘B‘$ als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen $C$ bzw. $C‘$ .

Grafik eines geometrischen Körpers mit markierten Punkten und Linien.

Abb. 1

Weise nach, dass das Oktaeder das Volumen $36$ besitzt.

(2P)

Bestimme die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen $ABC$ und $AC‘B$ .

(3P)

Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Gib eine Gleichung dieser Kugel an.
Berechne den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.

(3P)

(20P)

Aufgabengruppe 2

Für die Fernsehübertragung eines Fußballspiels wird über dem Spielfeld eine bewegliche Kamera installiert. Ein Seilzugsystem, das an vier Masten befestigt wird, hält die Kamera in der gewünschten Position. Seilwinden, welche die Seile koordiniert verkürzen und verlängern, ermöglichen eine Bewegung der Kamera.
In der Abbildung ist das horizontale Spielfeld modellhaft als Rechteck in der $x_1x_2$ -Ebene eines kartesischen Koordinatensystems dargestellt. Die Punkte $W_1, W_2 , W_3$ und $W_4$ beschreiben die Positionen der vier Seilwinden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\,\text{m}$ in der Realität, d.h. alle vier Seilwinden sind in einer Höhe von $30\,\text{m}$ angebracht.

Diagramm eines Spielfeldes mit verschiedenen Punkten und Linien in einem 3D-Koordinatensystem.

Abb.2

Der Punkt $A(45\mid 60\mid 0)$ beschreibt die Lage des Anstoßpunkts auf dem Spielfeld. Die Kamera befindet sich zunächst in einer Höhe von $25\,\text{m}$ vertikal über dem Anstoßpunkt. Um den Anstoß zu filmen, wird die Kamera um $19\,\text{m}$ vertikal abgesenkt. In der Abbildung ist die ursprüngliche Kameraposition durch den Punkt $K_0$ , die abgesenkte Position durch den Punkt $K_1$ dargestellt.

Berechne die Seillänge, die von jeder der vier Seilwinden abgerollt werden muss, um dieses Absenken zu ermöglichen, wenn man davon ausgeht, dass die Seile geradlinig verlaufen.

(4P)

Berechne die Größe des Winkels, den das Seilstück, das im Modell durch die Strecke $[W_1K_1]$ beschrieben wird, mit der Horizontalen einschließt.

(2P)

Kurze Zeit später legt sich ein Torhüter den Ball für einen Abstoß bereit. Der Abstoß soll von der Kamera aufgenommen werden. Durch das gleichzeitige Verlängern beziehungsweise Verkürzen der vier Seile wird die Kamera entlang einer geraden Bahn zu einem Zielpunkt bewegt, der in einer Höhe von $10\,\text{m}$ über dem Spielfeld liegt. Im Modell wird der Zielpunkt durch den Punkt $K_2$ beschrieben, die Bewegung der Kamera erfolgt vom Punkt $K_1$ entlang der Geraden $g$ mit der Gleichung $g:\overrightarrow{X}= \overrightarrow{K_1} +\lambda \cdot \pmatrix{3 \\ 20 \\ 2}, \lambda\in\mathbb{R},$ zum Punkt $K_2$ .

Bestimme die Koordinaten von $K_2$ .

(Ergebnis: $K_2(51\mid 100\mid 10)$ )

(3P)

Im Zielpunkt ist die Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert. Um die Position des Balls anzuvisieren, die im Modell durch den Punkt $B(40\mid 105\mid 0)$ beschrieben wird, muss die Kamera gedreht werden. Berechne die Größe des erforderlichen Drehwinkels.

(3P)

Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt $H(50\mid 70\mid 15)$ beschrieben.

Ermittle eine Gleichung der durch die Punkte $W_1, W_2$ und $K_2$ festgelegten Ebene $E$ in Normalenform und weise nach, dass $H$ unterhalb von $E$ liegt.

(Mögliches Teilergebnis: $E:x_2+5x_3-150=0$ )

(7P)

Mache plausibel, dass folgende allgemeine Schlussfolgerung falsch ist: „Liegen der Startpunkt und der anvisierte höchste Punkt einer Flugbahn des Balls im Modell unterhalb der Ebene $E$ , so kann der Ball entlang seiner Bahn die Seile, die durch $[W_1K_2]$ und $[W_2K_2]$ beschrieben werden, nicht berühren.“

(2P)

(20P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

Aufgabengruppe 1

$\blacktriangleright$ Normalenform aufstellen

Du sollst die Normalenform der Ebene $E$ durch die drei Punkte $A\,(6\mid 3\mid 3)$ , $B\,(3\mid 6\mid 3)$ , $C\,(3\mid 3\mid 6)$ bestimmen. Die Normalenform erhältst du durch

$E:\,(\vec x-\vec p)\cdot \vec n=0$

Dabei bezeichnet $\vec p$ den Stützvektor und $\vec n$ den Normalenvektor, welcher senkrecht auf den zwei Spannvektoren steht.

Benutze $A$ als Ausgangspunkt der Ebene und als Spannvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .

1. Schritt: Spannvektoren berechnen

Die Spannvektoren entsprechen dem Vektor zwischen $A$ und $B$ bzw. $A$ und $C$ .

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \vec B-\vec A \\[5pt] &=&\pmatrix{3 \\ 6 \\ 3}-\pmatrix{6 \\ 3 \\ 3} \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\3\\0} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}&=& \vec C-\vec A \\[5pt] &=&\pmatrix{3 \\ 3 \\ 6}-\pmatrix{6 \\ 3 \\ 3} \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\0\\3} \end{array}$

2. Schritt: Normalenvektor berechnen

Mit dem Kreuzprodukt kannst du den Normalenvektor bestimmen, den Befehl findest du unter:

Menu $\rightarrow$ Matrix und Vektor $\rightarrow$ Vektor $\rightarrow$ Kreuzprodukt

Mathematische Darstellung eines Kreuzprodukts mit Vektoren und Ergebnissen.

Abb. 1: Kreuzprodukt mit dem nspire berechnen

Du erhältst das Kreuzprodukt $\vec n =9\cdot \pmatrix{1 & 1 & 1}^\mathrm{T}$ . Für eine Ebene kannst du auch ein Vielfaches des Normalenvektors verwenden. Dies ermöglicht es dir Ebenengleichungen zu vereinfachen. Für die Normalenform erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} E : & 1\cdot x_1+1\cdot x_2+1\cdot x_3=d & \\[5pt] \end{array}$

Die Konstante $d$ bestimmst du durch Einsetzen eines Punktes, welcher sicher in der Ebene liegt. Dazu verwendest du den Stützpunkt $A$ .

$\begin{array}[t]{rll} d&=& 6+3+3 \\[5pt] &=& 12 \end{array}$

Du erhältst die Normalenform der Ebene mit:

$\begin{array}[t]{rll} E : & 1\cdot x_1+1\cdot x_2+1\cdot x_3=12 & \\[5pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lage der Ebene beschreiben

Du sollst die Lage der Ebene durch die drei Punkte $A$ , $B$ und $Z$ beschreiben. Aller drei Punkte besitzen die gleiche $x_3$ -Koordinate.

Somit liegen die Punkte in einer mit dem Abstand $3$ zur $x_1 x_2$ -Ebene parallelen Ebene.

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{\overrightarrow{CC‘}}$ senkrecht zur Ebene nachweisen

Du sollst nachweisen, dass die Strecke bzw. der Vektor $\overrightarrow{CC‘}$ senkrecht zur Ebene ist. Dazu bestimmst du zuerst die Koordinaten von $C‘$ .

1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{C‘}$ bestimmen

$C‘$ entsteht durch Spiegelung von $C$ an $Z$ .

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{C‘}&=& 2\cdot \overrightarrow{CZ}+\overrightarrow{C} \\[5pt] &=& 2\cdot \left( \overrightarrow{Z}-\overrightarrow{C} \right)+\overrightarrow{C} \\[5pt] &=& 2\cdot \left( \pmatrix{3\\3\\3}-\pmatrix{3\\3\\6}\right)+\pmatrix{3\\3\\6} \\[5pt] &=& 2\cdot \pmatrix{0\\0\\-3}+\pmatrix{3\\3\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\3\\0} \end{array}$

2. Schritt: $\boldsymbol{\overrightarrow{CC‘}}$ bestimmen

Desweiteren wird der Vektor $\overrightarrow{CC‘}$ benötigt.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CC‘}&=& \overrightarrow{C‘}-\overrightarrow{C} \\[5pt] &=& \pmatrix{3\\3\\0}-\pmatrix{3\\3\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\-6} \end{array}$

3. Schritt: Senkrecht nachweisen

Vektoren welche senkrecht zu einer Ebene stehen sind Vielfache des Normalenvektors. Da die Ebene parallel zur $x_1 x_2$ -Ebene ist, ist ihr Normalenvektor $\vec e_3$ . Es muss somit ein $\lambda$ geben, dass gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\0\\-6}&=& \lambda\cdot \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] \lambda&=& -6 \end{array}$

Da ein $\lambda$ existiert, steht $\overrightarrow{CC‘}$ senkrecht auf der Ebene.

$\blacktriangleright$ Seitenlänge des Quadrats begründen

Du sollst begründen, dass es sich bei dem Viereck $ABA‘B‘$ um ein Quadrat mit Seitenlänge $3\sqrt{2}$ handelt. Bestimme zuerst die Koordinaten von $A‘$ und $B‘$ .

1. Schritt: Koordinaten von $\boldsymbol{A‘}$ und $\boldsymbol{B‘}$ bestimmen

Die Koordinaten von $A‘$ und $B‘$ bestimmst du analog wie $C‘$ .

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{A‘}&=& \pmatrix{0 \\ 3\\ 3} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{B‘}&=& \pmatrix{3 \\ 0\\ 3} \\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Streckenlängen bestimmen

Du bestimmst die Streckenlänge oder die Norm zwischen den Punkten mit dem Befehl norm:

Menu $\rightarrow$ Matrix und Vektor $\rightarrow$ Normen $\rightarrow$ Norm

Die Vektoren zwischen den Punkten ermittelst du wie zuvor.

Drei mathematische Ausdrücke zur Norm eines Vektors mit Ergebnissen in einer strukturierten Darstellung.

Abb. 2: Betrag bzw. Norm eines Vektors berechnen

Alle vier Längen sind $3\sqrt{2}$ lang. Um zu zeigen, dass es sich um ein Quadrat handelt und nicht um ein Parallelogramm ist ein Rechterwinkel nachzuweisen.

3. Schritt: Rechtewinkel nachweisen

Für zwei rechtwinklige Vektoren gilt, dass das Skalarprodukt $0$ ist, du berechnest es mit dem Befehl Skalarprodukt:

Menu $\rightarrow$ Matrix und Vektor $\rightarrow$ Vektor $\rightarrow$ Skalarprodukt

Betrachte die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ , ausgehen von Punkt $A$ .

Mathematische Darstellung einer Matrix mit dem Label

Abb. 3: Skalarprodukt berechnen

Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten und einem rechten Winkel ist ein Quadrat, in diesem Fall mit der Seitenlänge $3\sqrt{2}$ .

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen

Du sollst das gegebene Volumen des Oktaeders nachweisen. Ein Oktaeder besteht aus zwei quadratischen Pyramiden, für deren Volumen $V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$ gilt, wobei $G$ den Flächeninhalt der Grundfläche und $h$ die Höhe der Pyramide bezeichnet.

Die Höhe der Pyramide entspricht dem $x_3$ -Abstand zwischen $Z$ und $C$ bzw. $C‘$ oder der Hälfte des Abstandes zwischen $C$ und $C‘$ .

$\begin{array}[t]{rll} V&=& 2\cdot \frac{1}{3}\cdot \left(3\sqrt{2}\right)^2\cdot 3 \\[5pt] &=& 2\cdot 18 \\[5pt] &=& 36 \end{array}$

Wie gefordert berträgt das Volumen der Pyramide $36$ .

$\blacktriangleright$ Winkel berechnen

Du sollst den Winkel zwischen den Seitenflächen $ABC$ und $AC‘B$ bestimmen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Mit dem Schnittwinkel zweier Geraden lösen

Den Schnittwinkel der beiden Seitenflächen kannst du auf die Schnittwinkel zweier Geraden bestimmen. Als Geraden wählst du die Verbindung zwischen $C$ bzw. $C‘$ und dem Mittelpunkt $M$ der Strecke $A$ und $B$ .

1. Schritt: Mittelpunkt berechnen

Den Mittelpunkt erhältst du, wenn du zu $\overrightarrow{A}$ die Hälfte der Strecke $\overrightarrow{AB}$ addierst.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{M}&=& \overrightarrow{A}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AB} \\[5pt] &=& \pmatrix{4,5 \\4,5 \\3 } \end{array}$

Somit liegt der Mittelpunkt der Strecke bei $M\,(4,5\mid 4,5\mid 3)$ .

2. Schritt: Vektoren $\boldsymbol{\overrightarrow{MC}}$ und $\boldsymbol{\overrightarrow{MC‘}}$ bestimmen

Die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{MC}$ und $\overrightarrow{MC‘}$ bestimmst du wie zuvor $\overrightarrow{AB},\cdots$ .

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MC}&=& \pmatrix{-1,5\\-1,5\\3} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{MC‘}&=& \pmatrix{-1,5\\-1,5\\-3} \\[5pt] \end{array}$

3. Schritt: Schnittwinkel berechnen

Mit dem Winkelsatz kannst du aus diesen zwei Vektoren den Schnittwinkel bestimmen.

$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\vert \vec a\vert \cdot \vert \vec b\vert}$

Für die Vektoren der Aufgabenstellung ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \cos\varphi&=& -\frac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \arccos \\[5pt] \varphi &=& \arccos \left(-\frac{1}{3}\right) \\[5pt] &\approx & 109,47 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Mit dem Schnittwinkel zweier Ebenen lösen

Du kannst den Schnittwinkel über den Schnitt zweier Ebenen bestimmen. Dafür benötigst du allerdings die beiden Normalenvektoren. Dazu wählst du $C$ bzw. $C‘$ als Stützvektor.

$\begin{array}[t]{rll} \vec n_1&=& \left( \overrightarrow{A}-\overrightarrow{C} \right)\times\left( \overrightarrow{B}-\overrightarrow{C} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{9\\9\\9} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \vec n_2&=& \left( \overrightarrow{A}-\overrightarrow{C‘} \right)\times\left( \overrightarrow{B}-\overrightarrow{C‘} \right) \\[5pt] &=& \pmatrix{-9\\-9\\9} \end{array}$

Mit dem Winkelsatz und diesen zwei Vektoren kannst du den Schnittwinkel der Ebene bestimmen.

$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot \vec b}{\vert \vec a\vert \cdot \vert \vec b\vert}$

Für die Vektoren der Aufgabenstellung ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \cos\varphi&=& -\frac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}s \\[5pt] \varphi &=& \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)\\[5pt] &\approx & 109,47^{\circ} \end{array}$

$\blacktriangleright$ Kugelgleichung angeben

Du sollst eine Gleichung für die Kugel angeben, auf welcher alle Eckpunkte des Oktaeders liegen. Der Mittelpunkt dieser Kugel liegt in $Z$ , da die Punkte $A$ , $B$ , $A‘$ und $B‘$ alle den gleichen Abstand zu diesem haben. Der Radius ergibt sich somit aus der Länge des Vektors $\overrightarrow{AZ}$ .

$\begin{array}[t]{rll} \vert \overrightarrow{AZ}\vert&=& \left|\pmatrix{3\\3\\3}-\pmatrix{6\\3\\3}\right| \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Der Radius beträgt $3$ somit ergibt sich die Kugelgleichung:

$\begin{array}[t]{rll} r^2&=& (x-3)^2+(y-3)^2+(z-3)^2 \\[5pt] \end{array}$

Dies Gleichung beschreibt die Kugel, auf welcher alle Eckpunkte und Spitzen des Oktaeders liegen.

$\blacktriangleright$ Volumen der Kugel und des Oktaeders vergleichen

Du sollst die Volumina der Kugel und des Oktaeders vergleichen. Das Volumen des Oktaeders beträgt $36$ . Für das Kugelvolumen gilt:

$V=\frac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3$

Für $r=3$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{4}{3}\cdot\pi\cdot 3^3\\[5pt] &=& 36\pi \end{array}$

Das Volumen der Kugel ist etwas mehr als dreimal so groß wie das des Oktaeders. Oder anders: Der Oktaeder nimmt $\frac{1}{\pi}\approx 31,83\%$ des Kugelvolumens ein.

Aufgabengruppe 2

$\blacktriangleright$ Benötigte Seillänge berechnen

Du sollst die benötigte Seillänge an den vier Masten zum Ablassen der Kamera berechnen. Betrachte hierzu den Längenunterschied der Strecken $\overrightarrow{W_1 K_0}$ und $\overrightarrow{W_1 K_1}$ .

Die benötigten Koordinaten von $K_O$ und $K_1$ erhältst du aus der Aufgabenstellung.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{K_0}&=& \overrightarrow{A}+25\cdot e_3 \\[5pt] &=& \pmatrix{45\\60\\25} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{K_1}&=& \overrightarrow{K_0}-19\cdot e_3 \\[5pt] &=&\pmatrix{45\\60\\6} \end{array}$

Die Länge ergibt sich aus dem Betrag bzw. der Norm, deren Befehl findest du unter:

menu $\rightarrow$ Matrix und Vektor $\rightarrow$ Normen $\rightarrow$ Norm

Für die Vektoren ergibt sich der Abstand zu $W_1$ :

Mathematische Darstellung von Normen in Form von Matrizen und Wurzeln.

Abb. 4: Länge eines Vektors mit dem norm-Befehl bestimmen

Die benötigte Seillänge $l$ pro Mast ergibt sich aus der Differenz dieser beiden Abstände:

$\begin{array}[t]{rll} l&=& 3\cdot \sqrt{689} - 5\cdot \sqrt{689} \\[5pt] &\approx & 3,58 \end{array}$

Pro Mast werden $3,58\,$ m Seillänge benötigt.

$\blacktriangleright$ Winkel gegen die Horizontale berechnen

Du sollst den Winkel des Seils, welches durch $W_1 K_1$ beschrieben wird, zur Horizontalen berechnen. Die Horizontale entspricht einer $x_3$ -Koordinate von $0$ .

$\begin{array}[t]{rll} \cos\varphi&=& \frac{\pmatrix{45\\60\\-24}\cdot \pmatrix{45\\60\\0}}{\left|\pmatrix{45\\60\\0}\right|\cdot\left|\pmatrix{45\\60\\-24}\right|} \\[5pt] \varphi&\approx& 17,74^\circ \end{array}$

Das Seil und die Horizontale schließen einen Winkel von $17,74^\circ$ ein.

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{K_2}$ ermitteln

Du sollst die Koordinaten von $K_2$ bestimmen. $K_2$ liegt auf der Geraden $g$ mit $\vec x = \overrightarrow{K_1}+\lambda \pmatrix{3 & 20 & 2}^\mathrm{T}$ . Desweiteren ist bekannt, dass die $x_3$ Koordinate von $K_2$ $10$ ist. Du erhältst drei Gleichungen aus den drei Komponenten, du löst sie mit:

menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Gleichungssystem lösen $\rightarrow$ Gleichungssystem lösen

Mathematische Gleichungen mit Lösungen für x und y, dargestellt in einem System von Gleichungen.

Abb. 5: Lineares Gleichungssystem lösen

Die Koordinaten von $K_2$ sind $(51 \mid 100 \mid 10)$ .

$\blacktriangleright$ Drehwinkel zum Ball berechnen

Du sollst berechnen, um welchen Drehwinkel die Kamera gedreht werden muss, damit sie den Ball auf $B\,(40\mid 105\mid 0)$ anvisiert.

Betrachte dieses Problem zwei dimensional.

Der Abstand in $x_1$ -Richutng beträgt $51-40=11$ , der Abstand in $x_2$ -Richtung beträgt $105-100=5$ . Zusammen beträgt der Abstand $d$ in der $x_1 x_2$ -Ebene:

$\begin{array}[t]{rll} d&=& \sqrt{11^2+5^2} \\[5pt] &=& \sqrt{146} \\[5pt] &\approx & 12,08 \end{array}$

Auf $12,08\,$ m ist ein Höhenunterschied von $h=10\,$ m zu überwinden. Mit der Trigonometrie ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \tan\varphi&=& \frac{d}{h} &\quad \scriptsize \mid\; \arctan\\[5pt] \varphi&=& \arctan\left(\frac{12,08}{10}\right) \\[5pt] &\approx & 50,38^\circ \end{array}$

Es ist eine Drehung um $50,38^\circ$ notwendig.

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung ermitteln

Du sollst eine Ebenengleichung für die Ebene durch die drei Punkte $W_1$ , $W_2$ und $K_2$ ermitteln. Wähle $W_1$ als Stützpunkt. Für die Koordinatenform benötigst du den Normalenvektor, welchen du aus dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren $\overrightarrow{W_1 W_2}$ und $\overrightarrow{W_1 K_2}$ erhältst. Den notwendigen Befehl findest du unter:

menu $\rightarrow$ Matrix und Vektor $\rightarrow$ Vaktor $\rightarrow$ Kreuzprodukt

Mathematische Darstellung einer Kreuzproduktberechnung mit Matrizen.

Abb. 6: Kreuzprodukt aus den zwei Spannvektoren bestimmen

Für die Normalenform einer Ebene kannst du ein Vielfaches des Normalenvektors verwenden. Du teilst somit jede Komponente des errechneten Vektors durch $1.800$ . Die Ebene ist somit von folgender Form:

$\begin{array}[t]{rll} d&=& 1\cdot x_2+5\cdot x_3 \\[5pt] \end{array}$

Um die Konstante $d$ zu ermitteln, setzt du den Stützpunkt $W_1$ ein.

$\begin{array}[t]{rll} d&=& 5\cdot 30 \\[5pt] &=& 150 \end{array}$

Die Gleichung mit $d=150$ bschriebt die Ebene durch die geforderten Punkte.

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{H}$ liegt unterhalb der Ebene nachweisen

Du sollst nachweisen, dass $H$ unterhalb der Ebene liegt. Dazu setzt du die $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten in die Ebenengleichung ein und berechnest $x_3$ .

$\begin{array}[t]{rll} 150 &=& 70+5\cdot x_3 &\quad \scriptsize \mid\; -70 \\[5pt] 80&=& 5\cdot x_3 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] x_3&=& 16 \end{array}$

Die $x_3$ -Koordinate des Punktes in der Ebene mit $x_1=50$ und $x_2=70$ beträgt $16$ . Die $x_3$ -Koordinate von $H$ beträgt allerdings nur $15$ , somit liegt $H$ unterhalb der Ebene.

$\blacktriangleright$ Schlussfolgerung falsifizieren

Du sollst plausible machen, dass im Allgemeinen die Aussage falsch ist, dass wenn der höchste Punkt der Flugbahn eines Balles unterhalb von $E$ liegt er die Seile nicht berühren kann. Dazu betrachtest du eine Schuss welcher bei $W_1$ in Richtung $K_2$ abgestoßen wird.

Sein höchster Punkt liegt beispielsweise bei $(25,5 \mid 50 \mid 20)$ und somit unterhalb der Eben, aber durch seine Parabel-Flugbahn landet er gleich daraufhin im Seil.

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Aufgabengruppe 1

$\blacktriangleright$ Normalenform aufstellen

Du sollst die Normalenform der Ebene $E$ durch die drei Punkte $A\,(6\mid 3\mid 3)$ , $B\,(3\mid 6\mid 3)$ , $C\,(3\mid 3\mid 6)$ bestimmen. Die Normalenform erhältst du durch

$E:\,(\vec x-\vec p)\cdot \vec n=0$

Dabei bezeichnet $\vec p$ den Stützvektor und $\vec n$ den Normalenvektor, welcher senkrecht auf den zwei Spannvektoren steht.

Benutze $A$ als Ausgangspunkt der Ebene und als Spannvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ .

1. Schritt: Spannvektoren berechnen

Die Spannvektoren entsprechen dem Vektor zwischen $A$ und $B$ bzw. $A$ und $C$ .

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \vec B-\vec A \\[5pt] &=&\pmatrix{3 \\ 6 \\ 3}-\pmatrix{6 \\ 3 \\ 3} \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\3\\0} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AC}&=& \vec C-\vec A \\[5pt] &=&\pmatrix{3 \\ 3 \\ 6}-\pmatrix{6 \\ 3 \\ 3} \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\0\\3} \end{array}$

2. Schritt: Normalenvektor berechnen

Mit dem Kreuzprodukt kannst du den Normalenvektor bestimmen, dazu verwendest du den Befehl crossP, du findest ihn unter:

Interactive $\rightarrow$ Vector $\rightarrow$ crossP

Abb. 1: Kreuzprodukt mit dem Classpad berechnen