b)  Berechne im Modell die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, sowie die zugehörige Steigung dieses Abschnitts in Prozent.

c)  Das Lot von auf schneidet im Punkt . Im Modell stellt den Punkt der Achterbahn dar, in dem der gerade Abschnitt endet und die Kurve beginnt. Bestimme die Koordinaten von und berechne den Kurvenradius im Modell.
(Teilergebnis:

d)  Das Ende der Rechtskurve wird im Koordinatensystem durch den Punkt beschrieben. Begründe, dass für den Ortsvektor des Punkts gilt: .

e)  Ein Wagen der Achterbahn durchfährt den Abschnitt, der im Modell durch die Strecke und den Viertelkreis von nach dargestellt wird, mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von . Berechne die Zeit, die der Wagen dafür benötigt, auf Zehntelsekunden genau, wenn eine Längeneinheit im Koordinatensystem in der Realität entspricht.

a)  Bestimme die Koordinaten des Punkts . Ermittle eine Gleichung der Ebene , in der das Rechteck liegt, in Normalenform.
(mögliches Teilergebnis: )

b)  Die Grundplatte ist gegenüber der Horizontalen um den Winkel geneigt. Damit man mit der Sonnenuhr die Uhrzeit korrekt bestimmen kann, muss für den Breitengrad des Aufstellungsorts der Sonnenuhr gelten. Bestimme, für welchen Breitengrad die Sonnenuhr gebaut wurde.

c)  Der Polstab wird im Modell durch die Strecke mit dargestellt. Zeige, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht, und berechne die Länge des Polstabs auf Zentimeter genau.

d)  Weise nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.

e)  Begründe, dass der betrachtete Zeitpunkt vor 12 Uhr liegt.

f)  Im Verlauf des Vormittags überstreicht der Schatten des Polstabs auf der Grundplatte in gleichen Zeiten gleich große Winkel. Bestimme die Uhrzeit auf Minuten genau, zu der der Schatten des Polstabs im Modell durch den Punkt verläuft.

a)   Besondere Lage der Gerade im Koordinatensystem Die Ebene hat folgende Gleichung Du sollst die besondere Lage dieser Ebene im Koordinatensystem beschreiben. Der Normalenvektor der Ebene hat die Koordinate , das bedeutet, dass der Normalenvektor senkrecht auf der -Achse steht. Das absolute Glied der Ebenengleichung ist nicht null. Somit ist die Ebene parallel zur -Achse.   Zeige, dass die Ebene die Gerade enthält In der Aufgabenstellung ist außerdem der Punkt und die Gerade gegeben Du sollst nun zeigen, dass die Gerade in liegt. Bestimme dafür zunächst die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf und setze diese dann in die Ebenengleichung ein. Die Punkte auf der Gerade haben folgende Form . Setze die Koordinaten in die Gleichung von ein. Damit die Gerade in der Ebene liegt, müssen all ihre Punkte in der Ebene liegen. Somit liegen alle Punkte der Gerade in der Ebene. Die Ebene enthält die Gerade .   Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Deine Aufgabe ist es, den Schnittpunkt der Ebene mit der - und der -Achse zu berechnen. 1. Schritt: -Achse Für den Schnittpunkt mit der -Achse gilt . Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse nach auf. Der Schnittpunkt mit der -Achse lautet dann . 2. Schritt: -Achse Für den Schnittpunkt mit der -Achse gilt . Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse nach auf. Der Schnittpunkt mit der -Achse lautet dann .   Ebene und Gerade zeichnen Du sollst nun noch die Ebene und die Gerade in ein kartesisches Koordinatensystem einzeichnen. Zeichne zunächst die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und den Punkt ein. Dann kannst du die Ebene und die Gerade mithilfe der Punkte einzeichnen. Hier wird noch einmal deutlich, dass die Ebene parallel zur -Achse verläuft.

b)   Winkel berechnen In diesen Aufgabenteil ist die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, gesucht. Den Winkel zwischen einer Ebene mit Normalenvektor und einem Vektor berechnest du mit folgender Formel Für die Ebene, die die Horizontale beschreibt, gilt . Ein möglicher Normalenvektor lautet somit Der Vektor, der die Richtung der Achterbahn beschreibt, lautet Setze die Vektoren in die Formel ein und berechne den Winkel. Die Achterbahn steigt in einem Winkel von 30° an.   Steigung in Prozent Jetzt sollst du noch die zugehörige Steigung in Prozent berechnen. Beachte dafür, dass eine Steigung von 1 (also 100%) ein Winkel von 45° entsprechen. Den Winkel hast du gerade berechnet, er beträgt 30°, also kannst du die Steigung in Prozent mit dem Dreisatz berechnen. Die Steigung beträgt 66,67%.

c)   Lotfußpunkt von auf bestimmen Das Lot von auf schneidet die Gerade im Punkt , du sollst die Koordinaten dieses Punktes bestimmen. Dafür kannst du in zwei Schritten vorgehen:

1. Stelle eine Hilfsebene auf, die senkrecht auf der Gerade steht und durch den Punkt verläuft.
2. Berechne den Schnittpunkt der Ebene und der Gerade , das ist gerade der Lotfußpunkt .

1. Schritt: Hilfsebene aufstellen Die allgemeine Koordinatengleichung einer Ebene lautet: Da die Hilfsebene senkrecht auf stehen soll, sind die Koordinaten des Richtungsvektors von die Koeffizienten der Koordinatengleichung von : Die Ebene soll den Punkt enthalten. Um zu bestimmen, setzt du die Koordinaten von in ein. Die Gleichung der Hilfsebene lautet dann 2. Schritt: Lotfußpunkt berechnen Um den Lotfußpunkt zu bestimmen, berechnest du den Schnittpunkt von und . Nutze dafür die allgemeine Form der Punkte auf und setze diese in die Gleichung von ein und löse nach auf. Die Punkte auf der Gerade haben folgende Form . Setze nun in die Geradengleichung von ein, um die Koordinaten von zu berechnen. Die Koordinaten des Punkt lauten .   Kurvenradius berechnen Als nächstes sollst du den Kurvenradius berechnen. Der gesuchte Radius entspricht gerade dem Abstand des Mittelpunkts vom Lotfußpunkt . Diesen berechnest du mit dem Betrag des Vektors . Der Kurvenradius beträgt 2.

d)   Begründe die Entstehung des Ortsvektors von Das Ende der Rechtskurve ist im Koordinatensystem der Punkt . Du sollst begründen warum für den Ortsvektor gilt. Mache dir dafür am besten eine Skizze. Die Verbindungsstrecke steht senkrecht auf der Gerade und vom Punkt geht ein viertel Kreis ab und endet im Punkt . Ein viertel Kreis hat einen Innenwinkel von 90°, das bedeutet, dass die Strecke parallel zur Gerade verläuft, um von zu zu gelangen musst du also in Richtung gehen. Der Abstand zwischen und ist der Radius vom Kreis mit Radius , diesen hast du bereits berechnet . Außerdem gilt: . Das entspricht gerade dem Radius. Somit gilt für den Ortsvektor von : .

e)   Zeit, die der Wagen benötigt, berechnen Auf der Achterbahn fährt ein Wagen mit 15 m/s die Strecke von nach und den Kreisbogen nach . Du sollst die Zeit berechnen, die der Wagen für die Strecke benötigt. Berechne zunächst die Länge der Strecke und anschließend die Länge des Kreisbogens mit der Formel für den Umfang von einem Kreis (). Der Kreisbogen ist ein Viertel des Kreises, somit berechnet sich seine Länge durch . Für die gesamte Strecke, die der Wagen zurücklegt, erhältst du somit . Da im Koordinatensystem 1 Einheit 10 m entspricht, sind das 51,4159 m. Die benötigte Zeit für eine Strecke mit Geschwindigkeit berechnest du mit folgender Formel: Somit erhältst du Der Wagen benötigt für die Strecke 3,43 Sekunden.

a)   Bestimme die Koordinaten von Die rechteckige Grundplatte einer Sonnenuhr hat die Punkte , und den Mittelpunkt . Du sollst die Koordinaten des Punkt bestimmen. Um den Ortsvektor von zu bestimmen, kannst du die Vektorsumme vom Ortsvektor von und zwei mal die Strecke von nach verwenden. Da der Mittelpunkt der Strecke ist, gilt . Die Koordinaten von Punkt lauten .   Ebenengleichung in Normalenform aufstellen Die quadratische Grundplatte der Sonnenuhr liegt in der Ebene . Du sollst die Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform aufstellen. Gehe dafür folgendermaßen vor:

1. Stelle die Parametergleichung der Ebene auf.
2. Wandle die Parametergleichung der Ebene in die Koordinatenform um.
3. Bestimme einen Normalenvektor der Ebene.
4. Stelle die Normalengleichung der Ebene auf.

1. Schritt: Parametergleichung aufstellen Stelle eine Parametergleichung der Ebene mithilfe der Punkte , und auf. Dabei ist der Aufpunkt und und die Richtungsvektoren. 2. Schritt: Koordinatengleichung aufstellen Die gerade bestimmte Parameterform wandelst du jetzt in die Koordinatenform um, indem du dir die Gleichungen für , und aufschreibst, dann mit zwei der Gleichungen und bestimmst und diese in die dritte Gleichung einsetzt. Aus der 3. Gleichung folgt . Setze dieses Ergebnis in die erste Gleichung ein. Die Koordinatengleichung der Ebene lautet somit . 3. Schritt: Normalenvektor bestimmen Einen Normalenvektor der Ebene kannst du aus der Koordinatengleichung ablesen: 4. Schritt: Normalengleichung aufstellen Um die Normalengleichung der Ebene aufstellen zu können, benötigst du einen Aufpunkt, du kannst beispielsweise verwenden, und den gerade bestimmten Normalenvektor. Die Normalengleichung lautet dann :

b)   Winkel berechnen In diesen Aufgabenteil ist gefragt, für welchen Breitengrad die Sonnenuhr gebaut wurde. Dabei gilt für den Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen und den Breitengrad: Bestimme also den Neigungswinkel um dann den Breitengrad berechnen zu können. Den Winkel zwischen zwei Ebenen mit Normalenvektoren und berechnest du mit folgender Formel Für die Ebene, die die Horizontale beschreibt, gilt . Ein möglicher Normalenvektor lautet somit Den Normalenvektor der Ebene hast du bereits in Aufagbenteil a) berechnet: Setze die Vektoren in die Formel ein und berechne den Winkel. Der Neigungswinkel hat 38,66°. Für den Breitengrad gilt somit: Die Sonnenuhr wurde für den 51. Breitengrad gebaut.

c)   Zeige, dass Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht. Der Polstab wird durch die Strecke beschrieben, mit . Du sollst zeigen, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht. Dafür musst du zeigen, dass das Skalarprodukt zwischen dem Vektor und einem Vektor in der Ebene, beispielsweise gleich null ist. Stelle die Vektoren auf und berechne das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt ist null, somit steht der Polstab senkrecht auf der Grundplatte.   Länge des Polstabs berechnen berechnen Du sollst nun die Länge des Polstabs berechnen. Diese kannst du mithilfe des Betrags des Vektors berechnen. Da eine Einheit im Koordinatensystem 10 cm entspricht, hat der Polstab eine Länge von 32 cm.

d)   Zeige, dass der Schatten des Polstabs außerhalb der Grundplatte liegt Das Sonnenlicht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Sonnenuhr fällt, wird durch beschrieben. Du sollst zeigen, dass der Schatten des Polstabs außerhalb der Grundplatte liegt. Dafür stellst du die Gerade durch die Spitze des Polstabs mit Richtungsvektor auf und berechnest den Schnittpunkt mit der Ebene . 1. Schritt: Geradengleichung aufstellen Als Aufpunkt für die Gerade kannst du den Punkt nehmen, der Richtungsvektor ist , somit lautet die Geradengleichung: 2. Schritt: Schnittpunkt berechnen Die Punkte auf der Gerade haben folgende Form Setze die Koordinaten in die Koordinatengleichung der Ebene ein und berechne . Setze nun in die Geradengleichung ein um den Schnittpunkt zu erhalten: Der Schattenpunkt der Spitze lautet . Du sollst nun noch begründen, warum dieser Punkt außerhalb der Grundfläche liegt. Damit der Schatten der Spitze innerhalb der Grundfläche liegt, muss der Abstand zum Mittelpunkt kleiner sein, als die Strecke vom Mittelpunkt zu einem der Eckpunkte. Berechne also die Strecke und die Strecke . , Der Abstand des Schattenpunkts zum Mittelpunkt ist somit größer. Das hat zur Folge, dass der Schatten der Spitze außerhalb der Grundfläche liegt.

e)   Begründe, warum Zeitpunkt in d) vor 12 Uhr Du sollst begründen, warum der Zeitpunkt vor 12 Uhr liegt. Betrachtest du die Punkte und , so fällt auf, dass eine negative -Koordinate und eine positive -Koordinate hat. Betrachtest du den Punkt , so stellst du fest, dass dieser eine positive -Koordinate hat. Der Zeitpunkt 12 Uhr liegt in der Mitte der Strecke , somit hat er eine -Koordinate von null. Damit folgt, dass vor 12 Uhr liegt.

f)   Uhrzeit bestimmen Du sollst den Zeitpunkt bestimmen, in dem der Schatten durch den Punkt verläuft. Um 6 Uhr fällt der Schatten durch den Mittelpunkt der Strecke und um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Strecke . Das bedeutet, dass der Schatten sich innerhalb von 6 Stunden um 90° gedreht hat. Der Schatten bewegt sich gleichmäßig, berechne also zunächst die Strecke, die der Schatten innerhalb der 6 Stunden zurücklegt und berechne dann den Anteil der Strecke bis zum Punkt . Diesen Anteil kannst du dann in eine Uhrzeit umrechnen. Die Strecke, die der Schatten zwischen 6 Uhr und 12 Uhr zurücklegt ist die Länge der Strecke vom Mittelpunkt der Strecke zum Punkt plus die Länge der Strecke vom Punkt zum Mittelpunkt der Strecke . Berechne zunächst die Koordinaten der Mittelpunkte der beiden Strecken: Du benötigst nun die Längen der Strecken und . Stelle die zugehörigen Vektoren auf, um anschließend deren Länge zu berechnen. Die Längen dieser Strecken kannst du mit deinem CAS berechnen. Die Länge der Strecke, die der Schatten zurücklegt ist also . Berechne den Anteil der Strecke von der Gesamtstrecke. Diesen Anteil musst du jetzt noch in Stunden umrechnen. Insgesamt vergehen 6 Stunden, von nach vergehen also Stunden. In Punkt ist es 6 Uhr, der gesuchte Zeitpunkt ist somit . Es gilt: . Der Schatten verläuft um 8 Uhr und 40 Minuten durch den Punkt .

a)   Besondere Lage der Gerade im Koordinatensystem Die Ebene hat folgende Gleichung Du sollst die besondere Lage dieser Ebene im Koordinatensystem beschreiben. Der Normalenvektor der Ebene hat die Koordinate , das bedeutet, dass der Normalenvektor senkrecht auf der -Achse steht. Das absolute Glied der Ebenengleichung ist nicht null. Somit ist die Ebene parallel zur -Achse.   Zeige, dass die Ebene die Gerade enthält In der Aufgabenstellung ist außerdem der Punkt und die Gerade gegeben Du sollst nun zeigen, dass die Gerade in liegt. Bestimme dafür zunächst die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf und setze diese dann in die Ebenengleichung ein. Die Punkte auf der Gerade haben folgende Form . Setze die Koordinaten in die Gleichung von ein. Damit die Gerade in der Ebene liegt, müssen all ihre Punkte in der Ebene liegen. Somit liegen alle Punkte der Gerade in der Ebene. Die Ebene enthält die Gerade .   Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Deine Aufgabe ist es, den Schnittpunkt der Ebene mit der - und der -Achse zu berechnen. 1. Schritt: -Achse Für den Schnittpunkt mit der -Achse gilt . Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse nach auf. Der Schnittpunkt mit der -Achse lautet dann . 2. Schritt: -Achse Für den Schnittpunkt mit der -Achse gilt . Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse nach auf. Der Schnittpunkt mit der -Achse lautet dann .   Ebene und Gerade zeichnen Du sollst nun noch die Ebene und die Gerade in ein kartesisches Koordinatensystem einzeichnen. Zeichne zunächst die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und den Punkt ein. Dann kannst du die Ebene und die Gerade mithilfe der Punkte einzeichnen. Hier wird noch einmal deutlich, dass die Ebene parallel zur -Achse verläuft.

b)   Winkel berechnen In diesen Aufgabenteil ist die Größe des Winkels, unter dem dieser Abschnitt der Achterbahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, gesucht. Den Winkel zwischen einer Ebene mit Normalenvektor und einem Vektor berechnest du mit folgender Formel Für die Ebene, die die Horizontale beschreibt, gilt . Ein möglicher Normalenvektor lautet somit Der Vektor, der die Richtung der Achterbahn beschreibt, lautet Setze die Vektoren in die Formel ein und berechne den Winkel. Die Achterbahn steigt in einem Winkel von 30° an.   Steigung in Prozent Jetzt sollst du noch die zugehörige Steigung in Prozent berechnen. Beachte dafür, dass eine Steigung von 1 (also 100%) ein Winkel von 45° entsprechen. Den Winkel hast du gerade berechnet, er beträgt 30°, also kannst du die Steigung in Prozent mit dem Dreisatz berechnen. Die Steigung beträgt 66,67%.

c)   Lotfußpunkt von auf bestimmen Das Lot von auf schneidet die Gerade im Punkt , du sollst die Koordinaten dieses Punktes bestimmen. Dafür kannst du in zwei Schritten vorgehen:

1. Stelle eine Hilfsebene auf, die senkrecht auf der Gerade steht und durch den Punkt verläuft.
2. Berechne den Schnittpunkt der Ebene und der Gerade , das ist gerade der Lotfußpunkt .

1. Schritt: Hilfsebene aufstellen Die allgemeine Koordinatengleichung einer Ebene lautet: Da die Hilfsebene senkrecht auf stehen soll, sind die Koordinaten des Richtungsvektors von die Koeffizienten der Koordinatengleichung von : Die Ebene soll den Punkt enthalten. Um zu bestimmen, setzt du die Koordinaten von in ein. Die Gleichung der Hilfsebene lautet dann 2. Schritt: Lotfußpunkt berechnen Um den Lotfußpunkt zu bestimmen, berechnest du den Schnittpunkt von und . Nutze dafür die allgemeine Form der Punkte auf und setze diese in die Gleichung von ein und löse nach auf. Die Punkte auf der Gerade haben folgende Form . Setze nun in die Geradengleichung von ein, um die Koordinaten von zu berechnen. Die Koordinaten des Punkt lauten .   Kurvenradius berechnen Als nächstes sollst du den Kurvenradius berechnen. Der gesuchte Radius entspricht gerade dem Abstand des Mittelpunkts vom Lotfußpunkt . Diesen berechnest du mit dem Betrag des Vektors . Der Kurvenradius beträgt 2.

d)   Begründe die Entstehung des Ortsvektors von Das Ende der Rechtskurve ist im Koordinatensystem der Punkt . Du sollst begründen warum für den Ortsvektor gilt. Mache dir dafür am besten eine Skizze. Die Verbindungsstrecke steht senkrecht auf der Gerade und vom Punkt geht ein viertel Kreis ab und endet im Punkt . Ein viertel Kreis hat einen Innenwinkel von 90°, das bedeutet, dass die Strecke parallel zur Gerade verläuft, um von zu zu gelangen musst du also in Richtung gehen. Der Abstand zwischen und ist der Radius vom Kreis mit Radius , diesen hast du bereits berechnet . Außerdem gilt: . Das entspricht gerade dem Radius. Somit gilt für den Ortsvektor von : .

e)   Zeit, die der Wagen benötigt, berechnen Auf der Achterbahn fährt ein Wagen mit 15 m/s die Strecke von nach und den Kreisbogen nach . Du sollst die Zeit berechnen, die der Wagen für die Strecke benötigt. Berechne zunächst die Länge der Strecke und anschließend die Länge des Kreisbogens mit der Formel für den Umfang von einem Kreis (). Der Kreisbogen ist ein Viertel des Kreises, somit berechnet sich seine Länge durch . Für die gesamte Strecke, die der Wagen zurücklegt, erhältst du somit . Da im Koordinatensystem 1 Einheit 10 m entspricht, sind das 51,4159 m. Die benötigte Zeit für eine Strecke mit Geschwindigkeit berechnest du mit folgender Formel: Somit erhältst du Der Wagen benötigt für die Strecke 3,43 Sekunden.

a)   Bestimme die Koordinaten von Die rechteckige Grundplatte einer Sonnenuhr hat die Punkte , und den Mittelpunkt . Du sollst die Koordinaten des Punkt bestimmen. Um den Ortsvektor von zu bestimmen, kannst du die Vektorsumme vom Ortsvektor von und zwei mal die Strecke von nach verwenden. Da der Mittelpunkt der Strecke ist, gilt . Die Koordinaten von Punkt lauten .   Ebenengleichung in Normalenform aufstellen Die quadratische Grundplatte der Sonnenuhr liegt in der Ebene . Du sollst die Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform aufstellen. Gehe dafür folgendermaßen vor:

1. Stelle die Parametergleichung der Ebene auf.
2. Wandle die Parametergleichung der Ebene in die Koordinatenform um.
3. Bestimme einen Normalenvektor der Ebene.
4. Stelle die Normalengleichung der Ebene auf.

1. Schritt: Parametergleichung aufstellen Stelle eine Parametergleichung der Ebene mithilfe der Punkte , und auf. Dabei ist der Aufpunkt und und die Richtungsvektoren. 2. Schritt: Koordinatengleichung aufstellen Die gerade bestimmte Parameterform wandelst du jetzt in die Koordinatenform um, indem du dir die Gleichungen für , und aufschreibst, dann mit zwei der Gleichungen und bestimmst und diese in die dritte Gleichung einsetzt. Aus der 3. Gleichung folgt . Setze dieses Ergebnis in die erste Gleichung ein. Die Koordinatengleichung der Ebene lautet somit . 3. Schritt: Normalenvektor bestimmen Einen Normalenvektor der Ebene kannst du aus der Koordinatengleichung ablesen: 4. Schritt: Normalengleichung aufstellen Um die Normalengleichung der Ebene aufstellen zu können, benötigst du einen Aufpunkt, du kannst beispielsweise verwenden, und den gerade bestimmten Normalenvektor. Die Normalengleichung lautet dann :

b)   Winkel berechnen In diesen Aufgabenteil ist gefragt, für welchen Breitengrad die Sonnenuhr gebaut wurde. Dabei gilt für den Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen und den Breitengrad: Bestimme also den Neigungswinkel um dann den Breitengrad berechnen zu können. Den Winkel zwischen zwei Ebenen mit Normalenvektoren und berechnest du mit folgender Formel Für die Ebene, die die Horizontale beschreibt, gilt . Ein möglicher Normalenvektor lautet somit Den Normalenvektor der Ebene hast du bereits in Aufagbenteil a) berechnet: Setze die Vektoren in die Formel ein und berechne den Winkel. Der Neigungswinkel hat 38,66°. Für den Breitengrad gilt somit: Die Sonnenuhr wurde für den 51. Breitengrad gebaut.

c)   Zeige, dass Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht. Der Polstab wird durch die Strecke beschrieben, mit . Du sollst zeigen, dass der Polstab senkrecht auf der Grundplatte steht. Dafür musst du zeigen, dass das Skalarprodukt zwischen dem Vektor und einem Vektor in der Ebene, beispielsweise gleich null ist. Stelle die Vektoren auf und berechne das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt ist null, somit steht der Polstab senkrecht auf der Grundplatte.   Länge des Polstabs berechnen berechnen Du sollst nun die Länge des Polstabs berechnen. Diese kannst du mithilfe des Betrags des Vektors berechnen. Da eine Einheit im Koordinatensystem 10 cm entspricht, hat der Polstab eine Länge von 32 cm.

d)   Zeige, dass der Schatten des Polstabs außerhalb der Grundplatte liegt Das Sonnenlicht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Sonnenuhr fällt, wird durch beschrieben. Du sollst zeigen, dass der Schatten des Polstabs außerhalb der Grundplatte liegt. Dafür stellst du die Gerade durch die Spitze des Polstabs mit Richtungsvektor auf und berechnest den Schnittpunkt mit der Ebene . 1. Schritt: Geradengleichung aufstellen Als Aufpunkt für die Gerade kannst du den Punkt nehmen, der Richtungsvektor ist , somit lautet die Geradengleichung: 2. Schritt: Schnittpunkt berechnen Die Punkte auf der Gerade haben folgende Form Setze die Koordinaten in die Koordinatengleichung der Ebene ein und berechne . Setze nun in die Geradengleichung ein um den Schnittpunkt zu erhalten: Der Schattenpunkt der Spitze lautet . Du sollst nun noch begründen, warum dieser Punkt außerhalb der Grundfläche liegt. Damit der Schatten der Spitze innerhalb der Grundfläche liegt, muss der Abstand zum Mittelpunkt kleiner sein, als die Strecke vom Mittelpunkt zu einem der Eckpunkte. Berechne also die Strecke und die Strecke . , Der Abstand des Schattenpunkts zum Mittelpunkt ist somit größer. Das hat zur Folge, dass der Schatten der Spitze außerhalb der Grundfläche liegt.

e)   Begründe, warum Zeitpunkt in d) vor 12 Uhr Du sollst begründen, warum der Zeitpunkt vor 12 Uhr liegt. Betrachtest du die Punkte und , so fällt auf, dass eine negative -Koordinate und eine positive -Koordinate hat. Betrachtest du den Punkt , so stellst du fest, dass dieser eine positive -Koordinate hat. Der Zeitpunkt 12 Uhr liegt in der Mitte der Strecke , somit hat er eine -Koordinate von null. Damit folgt, dass vor 12 Uhr liegt.

f)   Uhrzeit bestimmen Du sollst den Zeitpunkt bestimmen, in dem der Schatten durch den Punkt verläuft. Um 6 Uhr fällt der Schatten durch den Mittelpunkt der Strecke und um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Strecke . Das bedeutet, dass der Schatten sich innerhalb von 6 Stunden um 90° gedreht hat. Der Schatten bewegt sich gleichmäßig, berechne also zunächst die Strecke, die der Schatten innerhalb der 6 Stunden zurücklegt und berechne dann den Anteil der Strecke bis zum Punkt . Diesen Anteil kannst du dann in eine Uhrzeit umrechnen. Die Strecke, die der Schatten zwischen 6 Uhr und 12 Uhr zurücklegt ist die Länge der Strecke vom Mittelpunkt der Strecke zum Punkt plus die Länge der Strecke vom Punkt zum Mittelpunkt der Strecke . Berechne zunächst die Koordinaten der Mittelpunkte der beiden Strecken: Du benötigst nun die Längen der Strecken und . Stelle die zugehörigen Vektoren auf, um anschließend deren Länge zu berechnen. Die Längen dieser Strecken kannst du mit deinem CAS berechnen. Die Länge der Strecke, die der Schatten zurücklegt ist also . Berechne den Anteil der Strecke von der Gesamtstrecke. Diesen Anteil musst du jetzt noch in Stunden umrechnen. Insgesamt vergehen 6 Stunden, von nach vergehen also Stunden. In Punkt ist es 6 Uhr, der gesuchte Zeitpunkt ist somit . Es gilt: . Der Schatten verläuft um 8 Uhr und 40 Minuten durch den Punkt .