Teil B

Gegeben sind die Punkte $A(8 \mid 0 \mid 6),$ $B(7 \mid 1 \mid 6)$ und $S(0 \mid 0 \mid 10),$ die in der Ebene $E$ liegen.

Berechne die Länge der Strecke $[AB]$ und gib die besondere Lage dieser Strecke im Koordinatensystem an.

(zur Kontrolle: $\overline{AB} = \sqrt{2}$ )

(2 BE)

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $E : x_1 + x_2 + 2x_3 - 20 = 0$ )

(3 BE)

Betrachtet werden die Schar der Geraden $g_k : \overrightarrow{X} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 10} + \lambda \cdot \pmatrix{1 + k \\ 1 - k \\ -1}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$ und $k \in \mathbb{R}$ sowie der Punkt $C(9 \mid 1 \mid 5).$

Begründe, dass jede Gerade der Schar in $E$ liegt, und bestimme denjenigen Wert $k,$ für den der Punkt $C$ auf $g_k$ liegt.

(zur Kontrolle: $k = 0,8$ )

(3 BE)

Begründe, dass keine Gerade der Schar parallel zu einer der Koordinatenachsen ist.

(2 BE)

Begründe, dass die Größe des Schnittwinkels von $g_k$ und der $x_1x_2$ -Ebene weniger als $30^\circ$ beträgt, wenn $2k^2 \gt 1$ gilt.

(5 BE)

Eine Skifahrerin fährt einen Hang hinab. Dieser wird modellhaft durch ein Flächenstück beschrieben, das in der Ebene $E$ liegt. Die Startposition der Abfahrt entspricht dem Punkt $S.$ Auf dem Hang befindet sich ein Tor, dessen Begrenzungsstangen im Modell an den Punkten $A$ und $B$ stehen. Von ihrer Startposition fährt die Skifahrerin zunächst entlang einer geraden Fahrlinie bis zu einer Stelle unterhalb des Tors, die dem Punkt $C$ entspricht (vgl. Abbildung).

Die gerade Fahrlinie liegt dabei im Modell auf der Gerade $g_{0,8} : \overrightarrow{X} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 10} + \lambda \cdot \pmatrix{1,8 \\ 0,2 \\ -1}.$ Die $x_1x_2$ -Ebene beschreibt die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $5$ Metern in der Realität.

Gib mit Hilfe des Ergebnisses aus Aufgabe a die Breite des Tors auf Meter genau an. Begründe mit Hilfe der Aussage aus Aufgabe e, dass die gerade Fahrlinie der Skifahrerin um weniger als $30^\circ$ gegenüber der Horizontalen geneigt ist.

(3 BE)

Begründe rechnerisch, dass die Skifahrerin das Tor tatsächlich durchquert.

(4 BE)

An der Stelle, die im Modell dem Punkt $C$ entspricht, wird die Fahrlinie der Skifahrerin ohne Knick durch eine kreisbogenförmige Kurve fortgesetzt. Während der Fahrt entlang dieser Kurve erreicht die Skifahrerin eine Stelle, die dem Punkt $D(18 \mid -2 \mid 2)$ entspricht.

Der Kreisbogen, der diese Kurve beschreibt, ist Teil eines Kreises mit Mittelpunkt $M(m_1 \mid m_2 \mid m_3).$ Die Koordinaten von $M$ können mit folgendem Gleichungssystem ermittelt werden.

Gleichungssystem anzeigen

Erläutere die geometrischen Überlegungen, die den Gleichungen $\text{I},\text{II}$ und $\text{III}$ zugrunde liegen.

(3 BE)

(25 BE)

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Länge der Strecke berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&=&\sqrt{(7 - 8)^2 + (1 - 0)^2 + (6 - 6)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{2} \end{array}$

Besondere Lage angeben

Die Strecke $[AB]$ verläuft parallel zur $x_1x_2$ -Ebene, da die $x_3$ -Koordinaten der Punkte $A$ und $B$ übereinstimmen.

Mit Hilfe des Kreuzprodukts des CAS folgt für einen Normalenvektor der Ebene $E:$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AS} \\[5pt] &=&\pmatrix{7-8 \\ 1-0 \\ 6-6} \times \pmatrix{0-8 \\ 0-0 \\ 10-6} \\[5pt] &=&\pmatrix{4 \\ 4 \\ 8} \end{array}$

Mit dem skalierten Normalenvektor $\frac{1}{4}\cdot\overrightarrow{n}$ folgt somit:

$E:x_1 + x_2 + 2x_3-d= 0$

Einsetzen der Koordinaten $A(8 \mid 0 \mid 6)$ in diese Gleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 8 + 0 + 2\cdot 6-d&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+d \\[5pt] 20&=&d \end{array}$

Lage der Schar begründen

Für das Skalarprodukt des Richtungsvektors von $g_k$ mit dem Normalenvektor der Ebene $E$ gilt:

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{1+k \\ 1-k \\ -1}\circ\pmatrix{1 \\ 1 \\ 2} = 0$

Die beiden Vektoren stehen somit unabhängig von $k$ senkrecht aufeinander. Da außerdem $\overrightarrow{S}$ der Stützvektor der Geradenschar ist, liegt jede Gerade der Schar in der Ebene $E.$

Wert von $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Gleichsetzen des Ortsvektors von $C$ mit der Geradengleichung von $g_k$ liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&9&=& \lambda\cdot(1+k) \\ \text{II}\quad&1&=&\lambda\cdot(1-k) \\ \text{III}\quad&5&=&10-\lambda\\ \end{array}$

Lösen des Gleichungssystems mit dem CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda&=&5 \\[5pt] k&=&0,8 \end{array}$

Die Geraden der Schar $g_k$ haben alle den Richtungsvektor $v_k=\left(\begin{array}{c}1+k \\ 1-k \\ -1\end{array}\right).$ Dieser Vektor hat immer mindestens zwei von Null verschiedene Komponenten, egal welchen Wert $k$ annimmt.

Damit kann der Richtungsvektor nie ein Vielfaches eines der Einheitsvektoren $\pmatrix{1\\0\\0}, \pmatrix{0\\1\\0}$ oder $\pmatrix{0\\0\\1}$ sein.

Da der Richtungsvektor für kein $k$ parallel zu einer Koordinatenachse ist, ist auch keine Gerade der Schar parallel zu einer Koordinatenachse.

Ein Normalenvektor der $x_1x_2$ -Ebene ist wie folgt gegeben:

$\overrightarrow{n_{x_1x_2}} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1}$

Für den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Geraden $g_k$ und der $x_1x_2$ -Ebene gilt somit folgende Gleichung:

Rechenweg anzeigen

$\sin(\alpha) = \dfrac{1}{\sqrt{2k^2+3}}$

Für $2k^2 = 1$ ergibt sich $\sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2},$ das heißt für $2k^2 \gt 1$ gilt $\sin(\alpha)\lt\frac{1}{2}.$ Da $\sin^{-1}$ streng monoton steigend ist, folgt somit, wenn $2k^2\gt1$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&\lt&\dfrac{1}{2} \\[5pt] \alpha&\lt&\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right) \\[5pt] \alpha&\lt&30^\circ \end{array}$

Breite des Tors angeben

$5\,\text{m} \cdot \sqrt{2} \approx 7\;\text{m}$

Neigung der Fahrlinie begründen

Aus Aufgabenteil e) folgt, dass $\alpha \lt 30^\circ$ genau dann gilt, wenn $2k^2\gt 1.$

Für $k=0,8$ ergibt sich:

$2\cdot(0,8)^2=1,28\gt1$

Die Fahrlinie der Skifahrerin, die durch $g_{0,8}$ beschrieben wird, ist also um weniger als $30^\circ$ gegenüber der $x_1x_2$ -Ebene, die die Horizontale beschreibt, geneigt.

Die Strecke $[AB],$ die das Tor darstellt, wird für $0\leq\mu\leq1$ durch folgenden Term beschrieben:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{A}+\mu\cdot\overrightarrow{AB}&=&\pmatrix{8 \\ 0 \\ 6}+\mu\cdot\pmatrix{-1 \\ 1 \\ 0} \end{array}$

Gleichsetzen mit der Geradengleichung von $g_{0,8}$ liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&8-\mu&=&1,8\lambda \\ \text{II}\quad&\mu&=&0,2\lambda \\ \text{III}\quad&6&=&10-\lambda \\ \end{array}$

Lösen des Gleichungssystems mit dem CAS liefert:

$\begin{array}[t]{rll} \lambda&=&4 \\[5pt] \mu&=&0,8 \end{array}$

Da $0\leq0,8\leq1$ gilt und die Werte für $\mu$ und $\lambda$ alle drei Gleichungen erfüllen, durchquert die Skifahrerin das Tor tatsächlich.

Gleichung $\text{I}$ sagt aus, dass der Mittelpunkt $M$ in der Ebene $E$ liegt, die die Abfahrt beschreibt, da er die in Aufgabenteil b bestimmte Ebenengleichung erfüllt.

Gleichung $\text{II}$ gibt an, dass der Vektor $\overrightarrow{CM}$ senkrecht zu dem Richtungsvektor der Geraden $g_{0,8}$ steht. Dies ist der Fall, da die gerade Fahrlinie im Punkt $C$ ohne Knick in die Kreisbahn übergeht.

Die Gleichung $\text{III}$ drückt aus, dass die Abstände von $M$ zu den Punkten $C$ und $D$ gleich sind. Dies ist der Fall, da beide Punkte auf dem kreisförmigen Abschnitt der Fahrlinie liegen.

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