Analysis Prüfungsteil B

Aufgabengruppe 1

Die Abbildung zeigt modellhaft die Profillinie einer Skisprunganlage, die aus der Sprungschanze und dem Aufsprunghang besteht. Das kartesische Koordinatensystem ist so gewählt, dass die $x$ -Achse die Horizontale beschreibt und der Koordinatenursprung mit dem Ende der Anlaufspur, dem sogenannten Absprungpunkt, zusammenfällt; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei einem Meter in der Realität.

Diagramm einer Sprungschanze mit Achsen, Punkten und Beschriftungen zur Darstellung von Sprungparametern.

Abb. 1

Der höchste Punkt der Anlaufspur wird durch den Punkt $S(-94\mid 51)$ dargestellt. Die Anlaufspur verläuft im Modell zwischen den Punkten $S$ und $P$ entlang einer Geraden, die gegenüber der $x$ -Achse um $-35°$ geneigt ist.

Bestimme eine Gleichung der Geraden durch $S$ und $P$ . Runde im Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

(3P)

Die Punkte $S$ und $P$ liegen in der Realität $50\,\text{m}$ voneinander entfernt.
Berechne die Koordinaten von $P$ auf eine Nachkommastelle genau.

(4P)

Der Aufsprunghang beginnt im Modell im Punkt $D$ , der sich vertikal unterhalb des Absprungpunkts befindet. Die Profillinie des Aufsprunghangs lässt sich im Bereich $[0;160]$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion

$h : x \mapsto 3,36 \cdot 10^{-5} x^3$ $- 0,00827x^2 - 0,0455x - 3,38$

beschreiben.

Gib die Höhe des Absprungpunkts über dem Beginn des Aufsprunghangs sowie die Steigung des Aufsprunghangs in seinem Beginn an.

(2P)

Derjenige Punkt, in dem die Profillinie im unteren Bereich des Aufsprunghangs einen Neigungswinkel von $-32\,°$ gegenüber der Horizontalen aufweist, wird als Hillsize-Punkt bezeichnet (vgl. Abbildung). Die Größe einer Skisprunganlage wird durch die Länge der Strecke zwischen dem Absprungpunkt und dem Hillsize-Punkt festgelegt und als Hillsize bezeichnet.
Bestimme auf der Grundlage des Modells die Hillsize auf Meter genau und berechne deren prozentuale Abweichung von der tatsächlichen Hillsize dieser Skisprunganlage, die $132\,\text{m}$ beträgt.

(8P)

Zur Beschreibung der Flugkurve eines Skispringers wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s : x \mapsto -4,2\cdot 10^{-3} x^2 - 0,1x$ verwendet. Dabei ist die Sprungweite die Länge der Profillinie des Aufsprunghangs zwischen dem Punkt $D$ und dem Punkt $L$ , der den Landepunkt des Skispringers auf dem Aufsprunghang beschreibt.

Bestimme die Koordinaten des Punkts $L$ auf eine Nachkommastelle genau.

(Teilergebnis: $x$ -Koordinate des Punktes $L:114,6$ )

(2P)

Die als Kurvenlänge $l$ bezeichnete Länge des Graphen der Funktion $h$ zwischen den Punkten $(a\mid h(a))$ und $(b\mid h(b))$ mit $a\lt b$ kann mithilfe der Formel $l=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+[h‘(x)]^2]}\;\mathrm dx$ berechnet werden.

Hinweis: Führe die Berechnungen in den Aufgaben 3b und 3c mit dem CAS jeweils näherungsweise durch!

Bestimme die Sprungweite des Skispringers; berücksichtige dabei, dass beim Skispringen Sprungweiten nur auf halbe Meter genau angegeben werden.

(Ergebnis: $132,5\,\text{m}$ )

(3P)

Der $K$ -Punkt (kritischer Punkt) der hier betrachteten Skisprunganlage liegt so auf der Profillinie, dass die Kurvenlänge zwischen ihm und dem Beginn des Aufsprunghangs, die sogenannte $K$ -Punkt-Weite, $120\,\text{m}$ beträgt.

Ermittle die Koordinaten des $K$ -Punkts auf eine Nachkommastelle genau.

(4P)

Für einen Sprung auf den $K$ -Punkt einer Skisprunganlage bekommt ein Springer $60$ Weitenpunkte. Für jeden halben Meter, den er kürzer bzw. weiter springt, werden Weitenpunkte gemäß nachstehender Tabelle subtrahiert bzw. addiert. Bestimme die Gesamtzahl der Weitenpunkte für den betrachteten Sprung.

$K$ -Punkt-Weite der Sprunganlage in Metern	Weitenpunkte pro halbem Meter
70-79	1,1
80-99	1,0
100-169	0,9
ab 170	0,6

(3P)

Die Landung ist für den Springer umso schwieriger, je größer der Winkel zwischen Aufsprunghang und Flugkurve im Landepunkt ist. Berechne die Größe dieses Winkels für den betrachteten Sprung.

(4P)

Formuliere im Sachzusammenhang eine Aufgabenstellung, die mit folgendem Lösungsweg gelöst werden kann.

$d(x)=s(x)-h(x)$
$d‘(x)=0 ⇒ x_1\approx 7,4;\; x_2\approx 73,4$
$d(x_1)\approx 3,2;\; d(x_2)\approx 8,0$
$⇒$ Der gesuchte Wert beträgt etwa $8,0\, \text{m}$ .

(3P)

Zur Beschreibung der Flugkurve eines zweiten Skispringers wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $t$ verwendet. Dabei gilt

$t(0)=0,\; t‘(0)=-0,087\;$ und $\, t(105)=h(105)$ .

Entscheide jeweils, welcher der beiden Skispringer unter einem betragsmäßig größeren Winkel gegenüber der Horizontalen abspringt und welcher die größere Sprungweite erzielt. Begründe deine Entscheidungen.

(4P)

(40P)

Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die Funktion $f:x \mapsto \dfrac{x}{x+3}$ mit maximalem Definitionsbereich $D_f$ .
Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

Gib $D_f$ , den Wertebereich $W_f$ von $f$ sowie die Gleichungen aller Asymptoten von $G_f$ an.

(4P)

Der Graph der Funktion $g$ geht aus $G_f$ durch eine Verschiebung hervor und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Gib eine Gleichung von $g$ an.

(2P)

Die Funktion $f$ ist umkehrbar. Beschreibe, wie man den Term der Umkehrfunktion von $f$ bestimmen kann, und gib Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion von $f$ an.

(3P)

Der Graph der Funktion $f$ und der Graph der Umkehrfunktion von $f$ schneiden sich im Koordinatenursprung. Bestimme die Größe des Winkels, den die beiden Graphen im Koordinatenursprung einschließen.

(4P)

Die Punkte $O(0\mid 0)$ und $A(a\mid 1)$ mit $a\in\mathbb{R}^+$ sind Eckpunkte eines Rechtecks, dessen Seiten parallel zur $x-$ Achse bzw. zur $y-$ Achse sind. Das Rechteck wird von $G_f$ in zwei Teilflächen gleichen Inhalts zerlegt. Bestimme einen Näherungswert für $a$ auf zwei Dezimalen genau.

(4P)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k:x \mapsto \dfrac{x^2}{x^2 + k^2}$ mit $k\in\mathbb{R}^+$ .

Begründe ausschließlich anhand des Funktionsterms $f_k(x)$ , ohne Verwendung von Ableitungen, dass alle Funktionen $f_k$ an der Stelle $x= 0$ ein Minimum besitzen.

(2P)

Weise nach, dass alle Wendepunkte der Graphen der Schar $f_k$ auf einer Parallelen zur $x-$ Achse liegen.

(4P)

In dieser Aufgabe ist $k=4$ . Für jedes $p\in\mathbb{R}^+$ legen die Punkte $O(0\mid 0)$ , $P_p(p\mid f_4(p))$ und $Q_p(p\mid 1)$ das Dreieck $OP_pQ_p$ fest. Bestimme dessen Flächeninhalt $A_p$ in Abhängigkeit von $p$ und ermittle anschließend denjenigen Wert von $p$ , für den der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks maximal ist.

(Teilergebnis: $A_p=\dfrac{8p}{p^2 + 16}$ )

(5P)

Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w:x\mapsto 13,5\cdot\mathrm{sin}\left(\dfrac{\pi}{50}\cdot x\right)$ .

Zeichne den Graphen der Funktion $w$ im Intervall $[-25;175]$ in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.

(2P)

Gib an, wie der Graph der Funktion $w$ schrittweise aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $s : x \mapsto \mathrm{sin}(x)$ hervorgeht.

(2P)

Ein quaderförmiges Aluminiumblech besitzt eine quadratische Grundfläche der Seitenlänge $1\,\text{m}$ und eine Dicke von $2,0\,\text{mm}$ Es wird in einer Maschine zu einem Wellblechelement mit unverändertem Volumen umgeformt (vgl. Abbildung 2).

Wellblech mit gewellter Struktur, silberne Oberfläche, perspektivische Ansicht.

Abb. 2

Von oben betrachtet deckt das Wellblechelement weiterhin ein Quadrat der Seitenlänge $1\,\text{m}$ ab, seine mittlere Dicke ist folglich geringer als $2,0\,\text{mm}$ . Die Profillinie des Wellblechelements (vgl. Abbildung 3) kann durch ein Teilstück des Graphen von $w$ beschrieben werden; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei $1\,\text{mm}$ in der Realität.

Technische Zeichnung mit Abmessungen von 27 mm und 100 mm, sowie einer Dicke. Wellenförmiges Muster dargestellt.

Abb. 3

Bestimme die mittlere Dicke des Wellblechelements auf Zehntelmillimeter genau. Verwende dabei, dass für die Länge $l$ des Funktionsgraphen der Funktion $w$ zwischen den Punkten $(a\mid w(a))$ und $(b\mid w(b))$ mit $a\lt b$ gilt: $l=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+[w‘(x)]^2}\;\mathrm dx$ .

(4P)

Das Wellblechelement wird auf einer ebenen Dachfläche so angebracht, dass es unmittelbar aufliegt. Der dabei entstehende Hohlraum wird ausgeschäumt. Bestimme das Volumen, das der Schaum einnimmt; vernachlässige dabei die Dicke des Wellblechelements.

(4P)

(40P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

[3]

Aufgabengruppe 1

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Du sollst die Gleichung einer Geraden durch die Punkte $S\;(-94\,\vert\,51)$ und $P$ bestimmen. Das Problem hierbei liegt darin, dass dir die Koordinaten des Punktes $P$ nicht bekannt sind. Allerdings kannst du mit dem angegebenen Winkel von $-35^\circ$ und dem Winkelsatz $\tan\varphi=m$ auf die Steigung der Geraden schließen.

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \tan( -35^\circ) \\[5pt] &\approx& -0,7 \end{array}$

Die Steigung beträgt $-0,7$ somit kannst du eine Geradengleichung durch Verschiebung aufstellen.

$\begin{array}[t]{rll} y=&=& -0,7\cdot (x+94)+51 \\[5pt] &=& -0,7\cdot x-14,8 \end{array}$

Diese Grade läuft durch die Punkte $S$ und $P$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{P}$ bestimmen

Du sollst die Koordinaten des Punktes $P$ auf eine Nachkommastelle genau bestimmen. Du kennst die Geradengleichung und den Abstand der beiden Punkte. Mit dem Pythagoras kannst du ein Gleichungssystem aufstellen:

$\begin{array}[t]{rll} 50^2&=& (-94-x)^2+(51-y)^2 \\[5pt] y&=& -0,7\cdot x-14,8 \end{array}$

Das Gleichungssystem löst du mit dem Befehl:

Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Gleichungssystem lösen $\rightarrow$ Gleichungssystem lösen

Mathematische Gleichung mit Variablen und Lösungswerten x und y.

Abb. 1: Gleichungssystem lösen mit dem nspire

Es handelt sich um ein Gleichungssystem mit quadratischen Termen und du erhältst deshalb zwei Lösungen. Da $P$ weiter rechts liegt als $S$ erhältst du $P\;(-53,04\,\vert\,22,33)$ .

$\blacktriangleright$ Höhe des Absprungpunktes bestimmen

Du sollst den Höhenunterschied zwischen der Absprungkante und dem Beginn des Aufsprunghangs bestimmen. Die Absprungkante liegt im Koordinatenursprung $(0\,\vert\, 0)$ , der Aufsprunghang beginnt im Punkt $D\,(0\,\vert\, h(0))$ .

Das einzige dir Unbekannte ist die $y$ -Koordinate von $D$ , welche du mit $h$ berechnest:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& \quad ... \\[5pt] h(0)&=& \quad ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der gesuchte Abstand $\Delta$ berechnest du aus der Differenz der $y$ -Koordinaten:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta &=& 0-h(0) \\[5pt] &=& 3,38 \end{array}$

Der Abstand zwischen Absprungkante und Aufsprunghang beträgt $3,38\,$ m.

$\blacktriangleright$ Hillsize und Abweichung zum Soll berechnen

Du sollst die Hillsize, das Maß für die Größe einer Skisprunganlage, berechnen. Du weißt, dass die Hillsize die Länge der Strecke zwischen dem Absprungpunkt und dem Hillsize-Punkt, welcher auf $h$ liegt, ist. Zuerst bestimmst du dementsprechend die Koordinaten des Hillsize-Punktes, dessen Steigung $-32^\circ$ beträgt. Dazu verwendest du den Winkelsatz:

$\tan\varphi = f‘(x)$

1. Schritt: Stelle des Hillsize-Punktes bestimmen

Du suchst die Stelle $x_H$ für welche gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h‘(x_H)&=& \tan(-32^\circ) \\[5pt] \end{array}$

Diese Gleichung löst du mit:

Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Löse

Mathematische Funktionen und Gleichungen zur Ableitung und Lösung von Werten.

Abb. 2: Gleichung lösen mit dem nspire

Du erhältst erneut zwei Lösungen, wobei du nur $x_H=113,40$ beachtest.

2. Schritt: Hillsize-Punkt bestimmen

Aus der $x$ -Koordinate bestimmst du den Hillsizepunkt $H\,(113,40\,\vert\, h(113,40))$ .

$\begin{array}[t]{rll} h(113,40)&=& \quad ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $H$ ergeben sich die Koordinaten $(113,40\,\vert\, -65,89)$ .

3. Schritt: Abstand zum Absprungpunkt bestimmen

Jetzt ist es möglich den Abstand, also die Hillsize $HS$ , zum Absprungpunkt $(0\,\vert\, 0)$ zu bestimmen. Dazu verwendest du den Satz des Pythagoras.

$\begin{array}[t]{rll} HS^2 &=& \quad ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Es ergibt sich eine Hillsize von $131\,$ m.

4. Schritt: Abweichung bestimmen

Du sollst die prozentuale Abweichung $\delta$ zur tatsächlichen Hillsize von $132\,$ m bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} \delta&=& \frac{131-132}{132} \\[5pt] &\approx & -7,58\cdot 10^{-3} = -0,758\% \end{array}$

Die Abweichung zur tatsächlichen Hillsize beträgt weniger $1\%$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{L}$ bestimmen

Du sollst die Koordinaten des Punktes $L$ bestimmen, welcher den Landepunkt eines Springers mit der Flugbahn $s(x)=-4,2\cdot 10^{-3}\cdot x^2-0,1\cdot x$ beschreibt. Du bestimmst somit den Schnittpunkt $x_L$ von $s$ und $h$ . Dazu verwendest du erneut den solve Befehl.

Mathematische Funktionen und deren Lösung in einem Textformat.

Abb. 3: Gleichung lösen mit dem nspire

Es ergibt sich $x_L=114,6$ . Als zweites fehlt die $y$ -Koordinate. Dazu kannst du sowohl die Funktion $s$ als auch $h$ verwenden.

$\begin{array}[t]{rll} s(114,6)&\approx& -66,6 \\[5pt] \end{array}$

Zusammen ergibt sich für den Punkt $L\,(114,6\,\vert\, -66,6)$ .

$\blacktriangleright$ Sprungweite bestimmen

Du sollst mit einem Kurvenlängenintegral die Sprungweite des Springers bestimmen. Dazu verwendest du:

$l=\int\limits_a^b\sqrt{1+\left[h‘(x)\right]^2}\;\mathrm{d}x$

Der Springer ist von $x=0$ bis zu einer $x$ -Koordinate von $114,6$ gesprungen. Mit diesen Integralgrenzen ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} l&=& \int\limits_{0}^{114,6}\sqrt{1+\left[h‘(x)\right]^2}\;\mathrm{d}x \\[5pt] &\approx& 132,44 \end{array}$

Sprungweiten werden immer auf halbe Meter auf- bzw. abgerundet, somit ist der Springer $132,5\,$ m gesprungen.

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{K}$ bestimmen

Du sollst die Koordinaten von $K$ bestimmen. $K$ liegt so auf $h$ , dass die Kurvenlänge $120\,$ m beträgt. Du erhältst eine Gleichung mit variabler oberer Integralgrenze, welche du erneut mit dem solve Befehl löst:

$\begin{array}[t]{rll} 120&=& \int\limits_0^x\sqrt{1+\left[h‘(t)\right]^2}\;\mathrm{d}t \\[5pt] x&\approx& 104,16 \end{array}$

Die $x$ -Koordinate von $K$ ist $104,2$ . Die $y$ -Koordinate erhältst du mit $h$ .

$\begin{array}[t]{rll} h(104,2) &\approx & -59,9 \\[5pt] \end{array}$

Zusammen lässt sich $K$ schreiben mit $K\,(104,2\,\vert\,-59,9)$ .

$\blacktriangleright$ Weitenpunkte bestimmen

Du sollst die Punktzahl $p$ für einen Sprung mit einer Sprungweite von $132,5\,$ m bestimmen. Aus der Tabelle entnimmst du alle relevanten Punktzahlen. Es ist zu beachten, dass ein Springer Punkte nur für Weiten über $120\,$ m erhält. Da die K-Punkt-Weite $120\,$ m beträgt, erhält ein Springer $0,9$ Punkte für jeden halben Meter zusätzlich zu den $60$ Punkte für einen Sprung zum K-Punkt:

$\begin{array}[t]{rll} p&=& (132,5-120)\cdot 2\cdot 0,9+60 \\[5pt] &=& 82,5 \end{array}$

Der Springer erhält $82,5$ Punkte.

$\blacktriangleright$ Auftreffwinkel berechnen

Du sollst den Landewinkel des Springers berechnen, welcher dem Winkel zwischen den Graphen von $h$ und $s$ in $L$ entspricht. Du kannst erneut den Winkelsatz auf beide Graphen anwenden und die Differenz der Winkel betrachten oder du verwendest die transformierte Formel aus einer Formelsammlung.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Differenz der Winkel

Du verwendest für beide Graphen den Winkelsatz und bestimmst so deren Neigung zu einer Horizontalen:

$\begin{array}[t]{rll} \tan\varphi&=& h‘(114,6) &\quad \scriptsize \mid\; \arctan \\[5pt] \varphi&=& \arctan (h‘(114,6)) \\[5pt] &\approx & -31,68^\circ \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan\theta&=& s‘(114,6) &\quad \scriptsize \mid\; \arctan \\[5pt] \theta&=& \arctan (s‘(114,6)) \\[5pt] &\approx & -46,74^\circ \end{array}$

Der Unterschied entspricht dem Landewinkel $\gamma$ :

$\begin{array}[t]{rll} \gamma&=& -46,74^\circ-(-31,68^\circ) \\[5pt] &=& -15,06^\circ \end{array}$

Der Springer landet mit einem Winkel von $-15,06^\circ$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Angepasste Formel

Verwendest du den Angepassten Winkelsatz ergitb sich:

$\begin{array}[t]{rll} \tan\gamma&=& \frac{s‘(114,6)-h‘(114,6)}{1+s‘(114,6)\cdot h‘(114,6)} &\quad \scriptsize \mid\; \arctan \\[5pt] \gamma&\approx& \arctan (-0,27) \\[5pt] &\approx& 15,11^\circ \end{array}$

Der Springer landet mit einem Winkel von $-15,11^\circ$ .

$\blacktriangleright$ Sachzusammenhang formulieren

Du sollst den Sachzusammenhang zu einem Gleichungssystem formulieren. Du betrachtest dazu die drei Gleichungen getrennt.

1. Schritt: $\boldsymbol{d(x)=s(x)-h(x)}$

$d(x)=s(x)-h(x)$ beschreibt den Abstand des Springers zum Hang als Funktion seiner Entfernung zum Absprungpunkt.

2. Schritt: $\boldsymbol{d‘(x)=0}$

Die Ableitung von $d$ wird $0$ gesetzt. Die Funktion $d$ also auf Extremstellen untersucht. Es ergebn sich die Stellen $x_1=7,4$ und $x_2=73,4$ .

3. Schritt: $\boldsymbol{d(x_1)\approx 3,2}$ und $\boldsymbol{d(x_2)\approx 8,0}$

Abschließend werden die Funktionswerte an den Extremstellen berechnet. An der Stelle $x_2$ beträgt dieser etwa $8\,$ m. Der gesuchte Wert entspricht dem Maximalen Abstand des Springers zum Hang. Eine Untersuchung auf die Art des Extrempunktes ist nicht nötig, da dieser offenkundig ein Hochpunkt sein muss, da $d(114,6)=0$ gelten muss und es nur zwei Extremstellen gibt.

$\blacktriangleright$ Zweite Flugbahn analysieren

Du sollst Aussagen zu einer zweiten Flugbahn treffen. Dir sind drei Bedingungen gegeben:

$t(0)=0\,$ : Springer springt am Absprungpunkt ab
$t‘(0)=-0,087\,$ : Daraus lässt sich der Winkel im Absprung berechnen
$t(105)=h(105)\,$ : Der Springer landet bei $x=105$

Du sollst entscheiden, welcher Springer weiter springt und welcher unter dem einem größeren Winkel zu Horizontalen abspringt.

1. Schritt: Sprungweite entscheiden

Zuerst entscheidest du, welcher Springer weiter springt. Der zweite Springer landet bereits bei $x=105$ , während der erste Springer weiter bis zu $x=114,6$ springt.

2. Schritt: Absprungwinkel entscheiden

Mit dem Winkelsatz berechnest du erneut, diesmal für beide Springer, die Winkel zur Horizontalen:

Erster Springer

$\begin{array}[t]{rll} \varphi&=& \arctan (s‘(0)) \\[5pt] &\approx& -5,71^\circ \end{array}$

Zweiter Springer

$\begin{array}[t]{rll} \theta&=& \arctan (t‘(0) ) \\[5pt] &\approx& -4,97^\circ \end{array}$

Ebenfalls der erste Springer springt unter dem größeren Winkel ab.

Aufgabengruppe 2

$\blacktriangleright$ Definitions- und Wertebereich sowie Asymptoten angeben

Du sollst Definitionsbereich $D_f$ , Wertebereich $W_f$ und die Asymptoten der Funktion $f\,:\,x\mapsto\frac{x}{x+3}$ angeben.

1. Schritt: Definitionsbereich $\boldsymbol{D_f}$

Die Definitionsmenge $D_f$ einer gebrochen rationalen Funktion ergitb sich aus dem Nenner. Ausgehend von $\mathbb{R}$ müssen alle Definitionslücken entfernt werden.

Eine Definitionslücke liegt vor, wenn der Nenner $0$ ergibt.

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& x+3 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] x&=& -3 \end{array}$

$x=-3$ ist die einzige Definitionslücke. Somit ist die Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ .

2. Schritt: Wertebereich $\boldsymbol{D_f}$

Als nächstes bestimmst du den Wertebereich, dazu betrachtest du $\lim_\limits{x\nearrow -3} f(x)$ und $\lim_\limits{x\searrow -3} f(x)$ .

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\nearrow -3} f(x)&=+\infty& \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\searrow -3} f(x)&=& -\infty \\[5pt] \end{array}$

Somit nimmt $f$ alle möglichen Werte an und es gilt $W_f=\mathbb{R}$ .

3. Schritt: Asymptoten angeben

Eine senkrechte Asymptote hast du bereits mit der Definitionslücke bestimmt. Es gilt $x=-3$ .

Für die waagerechte Asympotet betrachtest du den Grenzwert $x\to\pm\infty$ :

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x)&=& 1 \\[5pt] \end{array}$

Zusammen existieren die beiden Asympoten $x=-3$ und $y=1$ .

$\blacktriangleright$ Gleichung angeben

Du sollst eine Gleichung für eine Funktion $g$ angeben, deren Graphen durch Verschiebung aus $G_f$ entsteht und welcher punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Durch eine Verschiebung um drei nach rechts ergibt sich ein Graph mit der Funktion $\frac{x}{x}$ . Dieser ist punktsymmetrisch zu $(0\,\vert\, 1)$ . Damit er dies zum Urspung ist wird er desweiteren um eins nach unten Verschoben es ergibt sich der Graph $\frac{x}{x}-1\overset{x\neq 0}{=}0$ .

$\blacktriangleright$ Umkehrfunktion beschreiben

Du sollst beschreiben, wie man aus der Funktionsvorschrift von $f$ die Umkehrfunktion bestimmen kann. Der Graph der Umkehrfunktion entsteht aus der Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden. Dies entspricht einem Vertauschen von $x$ und $y$ .

Die Funktionsvorschrift wird also aus dem Vertauschen von $x$ und $y$ und Auflösen nach $y$ bestimmt. Da die Umkehrfunktion aus der Vertauschen von $x$ und $y$ entsteht, tauschen sich auch Werte- und Definitionsbereich, sodass $D_g=W_f$ und $W_g=D_f$ gilt.

$\blacktriangleright$ Winkel im Koordinatenursprung berechnen

Da die Inverse der Gespiegelten an der ersten Winkelhalbierenden entspricht, ist der Schnittwinkel das Doppelte des Winkels zwischen der Funktion und der Winkelhalbierenden, welche du mit dem Winkelsatz berechnen kannst:

$\tan\varphi=f‘(x)$

Du benötigst die Ableitung von $f$ , welche du mit folgendem Befehl berechnest:

Menu $\rightarrow$ Analysis $\rightarrow$ Ableitung

Mathematische Gleichungen zur Definition und Ableitung von Funktionen.

Abb. 4: Ableitung bestimmen

Mit dem Winkelsatz berechnest du den Winkel der Funktion zur $x$ -Achse. Der Winkel der Winkelhalbierenden beträgt $45^\circ$ .

$\begin{array}[t]{rll} \tan\varphi&=& f‘(0) &\quad \scriptsize \mid\; \arctan \\[5pt] \varphi&=& \arctan (f‘(0)) \\[5pt] &\approx & 18,43^\circ \end{array}$

Der Winkel der Funktion zur $x$ -Achse beträgt $18,43^\circ$ . Somit beträgt der Winkel $\theta$ zwischen Funktion und Umkehrfunktion:

$\begin{array}[t]{rll} \theta&=& 2\cdot (45^\circ-18,43^\circ) \\[5pt] &=& 53,14^\circ \end{array}$

$f$ schneidet $g$ in einem Winkel von $53,14^\circ$ .

$\blacktriangleright$ Seitenlänge bestimmen

Du sollst einen Seitenlänge des Rechtecks bestimmen, welches durch $G_f$ halbiert wird. Du suchst also eine Grenze für die Integrale, welchen den Flächeninhalt passend beschreiben. Verwende hierzu das Integral zwischen der Gerade $y=1$ und $f$ sowie das Integral für Flächen unterhalb einer Funktion.

Es ergibt sich die Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} \int\limits_0^a 1-f(x)\;\mathrm{d}x&=& \int\limits_0^a f(x)\;\mathrm{d}x \\[5pt] \end{array}$

Dieses Integral löst du mit dem solve Befehl:

Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Löse

Mathematische Gleichung zur Lösung eines Integrals mit verschiedenen Werten für a.

Abb. 5: Gleichung lösen mit dem nspire

Du erhältst drei Lösungen, wobei allerdings nur $a=7,54$ Sinn im Rahmen der Aufgabenstellung ergibt.

$\blacktriangleright$ Minimum begründen

Du sollst begründen, dass jede Funktion $f_k$ für $x=0$ ein Minimum besitzt, ohne dass du dabei die Ableitung verwendest. Betrachte dazu am besten die Nullstellenbedingung einer gebrochen rationalen Funktion.

Eine gebrochen rationale Funktion ist nur genau dann $0$ wenn der Zähler $0$ ist. Im Falle von $x^2$ also nur für $x=0$ . Da es sich bei $x^2$ um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, liegt für $x=0$ ein Minimum vor. Diese Argumentation ist unabhängig von $k$ und da $k\in\mathbb{R}^+$ ist, ist der Nenner immer positiv. Somit liegt für alle $k$ bei $x=0$ ein Minimum vor.

$\blacktriangleright$ Wendepunkte auf Parallele zur $\boldsymbol{x}$ -Achse nachweisen

Du sollst nachweisen, dass alle Wendepunkte von $f_k$ auf einer Parallelen zur $x$ -Achsen liegen. Für Wendepunkte gilt, dass die zweite Ableitung einer Funktion $0$ ist. Die Ableitung berechnest du erneut mit dem diff Befehl:

$\begin{array}[t]{rll} f_k‘(x)&=& \frac{2\cdot k^2\cdot x}{(x^2+k^2)^2} \\[10pt] f_k‘‘(x)&=& \frac{2\cdot k^4-6\cdot k^2\cdot x^2}{(x^2+k^2)^3} \\[10pt] \end{array}$

Um auf die Nullstellen zu schließen, ist lediglich der Zähler zu betrachten.

$\begin{array}[t]{rll} f_k‘‘(x)&=& 0 \\[5pt] ... &=& ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Dies sind alle Wendepunkt des Graphen von $f_k$ . Um nachzuweisen, dass sie auf einer Parallelen zu $x$ -Achse liegen, berechnest du die $y$ -Koordinaten.

$\begin{array}[t]{rll} f_k\left(\pm\sqrt{\frac{1}{3}}\cdot k\right)&=& \frac{1}{4} \\[5pt] \end{array}$

Beide Wendepunkt vom Graphen von $f_k$ liegen auf der Parallelen zur $x$ -Achse mit $y=\frac{1}{4}$ . Da dieser Wert nicht von $k$ abhängt, liegen alle Wendepunkt der möglichen Funktionen der Schar auf dieser Parallelen.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen und maximieren

Du sollst, für $k=4$ , den Flächeninhalt des Dreiecks $A_p$ zwischen den Punkten $O\;(0\,\vert\, 0)$ , $P_p\;(p\,\vert\, f_4(p))$ und $Q_p\;(p\,\vert\, 1)$ berechnen. Da es sich hierbei nicht um ein Recktwinkliges Dreieck handelt, da $Q_p$ und $O$ nicht die selbe $y$ -Koordinate aufweisen, behilfst du dir über ein weiteres Dreieck $A_{p‘}$ zwischen den Punkten $O$ , $P_p$ und $R_p\,(p\,\vert\, 0)$ .

Von diesem kannst du den Flächeninhalt normal berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} A_{p‘}&=& \frac{1}{2}\cdot p\cdot f_4(p) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot p\cdot\frac{p^2}{p^2+16} \\[5pt] &=& \frac{p^3}{2\cdot (p^2+16)} \end{array}$

Dabei ist $A_{p‘}$ um das Dreieck zwischen $0$ , $Q_p$ und $R_p$ größer.

$\begin{array}[t]{rll} A_p&=& A_{p‘}-\frac{1}{2}\cdot p\cdot 1 \\[5pt] &=& \frac{p^3}{2\cdot (p^2+16)}-\frac{p}{2} \\[5pt] \end{array}$

Diesen Ausdruck vereinfachst du im Ausgabefenster.

Mathematische Gleichung mit Bruch- und Variablenausdrücken.

Abb. 6: Ausdruck vereinfachen

Flächeninhalte an sich sind positiv, deshalb betrachtest du den Betrag.

$\begin{array}[t]{rll} A_p&=& \frac{8\cdot p}{p^2+16} \\[5pt] \end{array}$

Abschließend sollst du den maximalen Flächeninhalt oder eben das Maximum von $A_p$ bestimmen. Diesen bestimmst du mit dem Befehl fMax:

Menu $\rightarrow$ Analysis $\rightarrow$ fMax

Mathematische Formel zur Berechnung von fMax mit p=4.

Abb. 7: Maximum bestimmen

Das Maximum der Dreiecksfläceh beträgt $1$ an der Stelle $p=4$ .

$\blacktriangleright$ Graph zeichnen

Du sollst den Graphen der Funktion $w\, :\,x\mapsto 13,5\cdot \sin (\frac{\pi}{50}\cdot x)$ im Intervall $\left[-25 \, ; \, 175\right]$ zeichnen.

Bei der Funktion handelt es sich um einen gestreckte Sinus. Bestimme mit dem TR die kritischen Punkte im betrachteten Intervall.

Graph einer sinusförmigen Funktion in grün auf schwarzem Hintergrund mit Achsen und Gitterlinien.

Abb. 8: Graph zeichnen

$\blacktriangleright$ Schrittweise Umwandlung einer $\boldsymbol{\sin}$ -Funktion

Du sollst angeben wie der Graph von $w$ aus dem Graphen einer normalen Sinus-Funktion hervorgeht.

Dies geschieht in zwei Schritten. Zuerst wird die Periode mit dem Faktor $\frac{\pi}{50}$ angepasst. Dies entspricht einer Streckung entlang der $x$ -Achse.

Danach wird der Graph entlang der $y$ -Achse gestreckt. Die Amplitude wird auf $13,5$ erhöht.

$\blacktriangleright$ Mittlere Dicke bestimmen

Du sollst unter Verwendung der Kurvenlänge und der Konitnuität des Volumens die mittlere Dicke des Blechs nach der Umformung zu Wellblech bestimmen. Betrachte hierzu die Ausgangssituation.

1. Schritt: Volumen bestimmen

Zu Beginn ist das Blech quadratisch, einen Meter lang und zwei Milimeter bzw. $0,002\,$ m dick. Für das Volumen $V$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& 1\cdot 1\cdot 0,002 \\[5pt] &=& 0,002 \end{array}$

Vor der Umformung beträgt des Volumen $0,002\,$ m ${}^3$ .

2. Schritt: Kurvenlänge bestimmen

Mit der angegebenen Formel bestimmst du die Kurvenlänge $l$ zwischen den beiden Grenzen $0$ und $1000$ , da $1000\,$ mm einem Meter entsprechen.

Die Ableitung von $w$ bestimmst du erneut mit dem diff Befehl.

$\begin{array}[t]{rll} l&=& \int\limits_0^{1.000} \sqrt{1+\left[ w‘(x) \right]^2}\;\mathrm{d}x \\[5pt] &\approx& 1.219,56 \end{array}$

Die Länge des Wellblechs beträgt $1.219,56\,$ mm $oder 1,21956\,$ m.

3. Schritt: Dicke bestimmen

Mit dieser Angabe kannst du aus dem Volumen des ersten Schrittes die Dicke des Wellblechs bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} V&=& 0,002& \\[5pt] 0,002 &=& 1\cdot 1,21956\cdot d \\[5pt] d&\approx& 0,00164 \end{array}$

Die Dicke beträgt $1,64\,$ mm.

$\blacktriangleright$ Volumen des Hohlraums bestimmen

Du sollst das Volumen bestimmen, welches mit Bauschaum aufgefüllt werden muss. Nimmst du die ebene Dachfläche als $x$ -Achse an, verändert sich die Funktion $w$ , da der Graph nach oben verschoben werden muss, damit seine Tiefpunkte auf der Achse liegen. Nenne die neue Funktion $W$ .

$\begin{array}[t]{rll} W(x)&=& w(x)+13,5 \\[5pt] \end{array}$

Für das Volumen des Bauschaums bestimmst du zuerst die Größe der Querschnittsfläche respektive das Integral über $W$ .

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \int\limits_{0}^{1000} W(x)\;\mathrm{d}x \\[5pt] &\approx& 20.189,5 \end{array}$

Mit dieser Querschnittsfläche kannst du das benötigte Volumen des Bauschaums berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} V&=& 0,0201895\cdot 1 \\[5pt] &\approx& 0,02 \end{array}$

Es werden $0,02\;$ m ${}^3$ Schaum benötigt.

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Aufgabengruppe 1

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \tan( -35^\circ) \\[5pt] &\approx& -0,7 \end{array}$

Die Steigung beträgt $-0,7$ somit kannst du eine Geradengleichung durch Verschiebung aufstellen.

$\begin{array}[t]{rll} y=&=& -0,7\cdot (x+94)+51\\[5pt] &=& -0,7\cdot x-14,8 \end{array}$

Diese Grade läuft durch die Punkte $S$ und $P$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{P}$ bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} 50^2&=& (-94-x)^2+(51-y)^2 \\[5pt] y&=& -0,7\cdot x-14,8 \end{array}$

Das Gleichungssystem löst du mit dem Befehl:

Keyboard $\rightarrow$ Math1

Mathematische Gleichungen und Funktionen in einem digitalen Tool angezeigt.

Abb. 1: Gleichungssystem lösen mit dem Classpad

Es handelt sich um ein Gleichungssystem mit quadratischen Termen und du erhältst deshalb zwei Lösungen. Da $P$ weiter rechts liegt als $S$ erhältst du $P\;(-53,04\,\vert\,22,33)$ .

$\blacktriangleright$ Höhe des Absprungpunktes bestimmen

Das einzige dir Unbekannte ist die $y$ -Koordinate von $D$ , welche du mit $h$ berechnest:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& ... \\[5pt] h(0)&=& ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der gesuchte Abstand $\Delta$ berechnest du aus der Differenz der $y$ -Koordinaten:

$\begin{array}[t]{rll} \Delta &=& 0-h(0)\\[5pt] &=& 3,38 \end{array}$

Der Abstand zwischen Absprungkante und Aufsprunghang beträgt $3,38\,$ m.

$\blacktriangleright$ Hillsize und Abweichung zum Soll berechnen

$\tan\varphi = f‘(x)$

1. Schritt: Stelle des Hillsize-Punktes bestimmen

Du suchst die Stelle $x_H$ für welche gilt:

$\begin{array}[t]{rll} h‘(x_H)&=& \tan(-32^\circ) \\[5pt] \end{array}$

Diese Gleichung löst du mit:

Interactive $\rightarrow$ Advanced $\rightarrow$ solve

Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einer Softwareanwendung dargestellt.

Abb. 2: Gleichung lösen mit dem Classpad

Du erhältst erneut zwei Lösungen, wobei du nur $x_H=113,40$ beachtest.

2. Schritt: Hillsize-Punkt bestimmen

Aus der $x$ -Koordinate bestimmst du den Hillsizepunkt $H\,(113,40\,\vert\, h(113,40))$ .

$\begin{array}[t]{rll} h(113,40)&=& ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $H$ ergeben sich die Koordinaten $(113,40\,\vert\, -65,89)$ .

3. Schritt: Abstand zum Absprungpunkt bestimmen

Jetzt ist es möglich den Abstand, also die Hillsize $HS$ , zum Absprungpunkt $(0\,\vert\, 0)$ zu bestimmen. Dazu verwendest du den Satz des Pythagoras.

$\begin{array}[t]{rll} HS^2 &=& ... \\[5pt] HS&\approx& ... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Es ergibt sich eine Hillsize von $131\,$ m.

4. Schritt: Abweichung bestimmen

Du sollst die prozentuale Abweichung $\delta$ zur tatsächlichen Hillsize von $132\,$ m bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} \delta&=& \frac{131-132}{132} \\[5pt] &\approx & -7,58\cdot 10^{-3} = -0,758\% \end{array}$

Die Abweichung zur tatsächlichen Hillsize beträgt weniger $1\%$ .

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{L}$ bestimmen

Mathematische Gleichung mit Funktionen und Lösung für x.

Abb. 3: Gleichung lösen mit dem Classpad