Teil A

Gegeben ist die Funktion $h: x\mapsto x \cdot \ln\left(x^2\right)$ mit maximalem Definitionsbereich $D_h$ .

Gib $D_h$ an und zeige, dass für den Term der Ableitungsfunktion $\(h$ von $h$ gilt: $\(h$

(2 BE)

Bestimme die Koordinaten des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von $h$ .

(3 BE)

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen $\(G_{f$ der Ableitungsfunktion $\(f$ einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion $f.$ Nur in den Punkten $\((-4\mid f$ und $\((5 \mid f$ hat der Graph $\(G_{f$ waagrechte Tangenten.

Abb. 1

Begründe, dass $f$ genau eine Wendestelle besitzt.

(2 BE)

Es gibt Tangenten an den Graphen von $f$ , die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermittle anhand des Graphen $\(G_{f$ der Ableitungsfunktion $f´$ in der Abbildung 1 Näherungswerte für die $x$ -Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von $f$ jeweils eine solche Tangente hat.

(2 BE)

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f: x \mapsto x^2+4$ und $g_m: x \mapsto m \cdot x$ mit $m\in\mathbb{R}$ . Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ und der Graph von $g_m$ mit $G_m$ bezeichnet.

Skizziere $G_f$ in einem Koordinatensystem. Berechne die Koordinaten des gemeinsamen Punkts der Graphen $G_f$ und $G_4$ .

(3 BE)

Es gibt Werte von $m$ , für die die Graphen $G_f$ und $G_m$ jeweils keinen gemeinsamen Punkt haben. Gib diese Werte von $m$ an.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)= 0,7 \cdot \mathrm e^{0,5x} -0,7$ und $x\in\mathbb{R}$ .
Die Funktion $g$ ist umkehrbar. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_g$ von $g$ sowie einen Teil des Graphen $G_h$ der Umkehrfunktion $h$ von $g.$

Abb. 2

Zeichne in die Abbildung 2 den darin fehlenden Teil von $G_h$ ein.

(2 BE)

Betrachtet wird das von den Graphen $G_g$ und $G_h$ eingeschlossene Flächenstück. Schraffiere den Teil dieses Flächenstücks, dessen Inhalt mit dem Term $2 \cdot \displaystyle\int_{0}^{2,5}(x-g(x))\;\mathrm dx$ berechnet werden kann.

(2 BE)

Gib den Term einer Stammfunktion der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $k: x \mapsto x-g(x)$ an.

(2 BE)

(20 BE)

$D_h=\mathbb{R}\setminus\{ 0\}$

Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt für die Ableitung von $h:$

$\(h$ $= \ln(x^2)+2$

Anwendung der notwendigen Bedingung für Extremstellen liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Da stets $\mathrm e^x\gt0$ gilt, kann nur der Funktionswert an der Stelle $x_2=-\mathrm e^{-1}$ im II. Quadranten liegen. Da laut Aufgabenstellung ein Hochpunkt im zweiten Quadranten existiert, muss die hinreichende Bedingung hier nicht überprüft werden.
Mit $h(- \mathrm e^{-1})$ $= - \mathrm e^{-1}\cdot\ln((- \mathrm e^{-1})^2)$ $= 2 \mathrm e^{-1}$ ergeben sich die Koordinaten des gesuchten Hochpunkts als $(- \mathrm e^{-1} \mid 2 \mathrm e^{-1}).$

Dass $\(G_{f$ in einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt bedeutet, dass $\(f$ in diesem Punkt den Wert Null annimmt und somit die notwendige Bedingung für eine Wendestelle erfüllt ist.

Die Abbildung liefert, dass $\(G_{f$ im Punkt $\((-4 \mid f$ einen Sattelpunkt besitzt. Die Steigung von $\(f$ ist hier somit sowohl links als auch rechts von $x=-4$ positiv, das heißt $\(f$ besitzt in der Stelle $x=-4$ keinen Vorzeichenwechsel. Somit liegt dort keine Wendestelle von $f$ vor.
An der Stelle $x=5$ besitzt $f$ eine Wendestelle, da hier der Hochpunkt von $\(G_{f$ liegt und die Steigung von $\(f$ damit links davon positiv ist und rechts von $x=5$ negativ.

Da $\(G_{f$ nur an diesen beiden Stellen eine waagrechte Tangente hat, besitzt die Funktion $f$ somit genau eine Wendestelle.

Die Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten hat die Gleichung $f(x)=x$ und somit die Steigung $m=1.$
Vergleichen mit den Funktionswerten von $\(f$ anhand des Graphen $\(G_{f$ liefert somit, dass der Graph von $f$ bei ca. $x= 2$ und ca. $x=7$ Tangenten besitzt, die parallel zur Winkelhalbierenden des ersten Quadranten sind.

$\boldsymbol{G_f}$ skizzieren

Koordinaten des gemeinsamen Punkts berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g_4(x) \\[5pt] x^2 +4&=&4x &\quad \scriptsize \mid\; -4x \\[5pt] x^2 -4x +4&=&0 \end{array}$

Mit der $abc$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=&\dfrac{4\pm\sqrt{(-4)^2-16}}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{4}{2} \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Mit $g_4(2)=4\cdot2=8$ ergeben sich somit die Koordinaten $(2 \mid 8)$ für den gemeinsamen Punkt der beiden Graphen.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g_m(x) \\[5pt] x^2 +4&=&mx &\quad \scriptsize \mid\; -mx \\[5pt] x^2 -mx +4&=&0 \end{array}$

Mit der $abc$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=&\dfrac{m\pm\sqrt{(-m)^2-16}}{2} \end{array}$

Die Graphen haben genau dann keinen gemeinsamen Punkt, wenn der Wert unter der Wurzel negativ ist, das heißt $m^2\lt16$ gilt. Somit haben die Graphen $G_f$ und $G_m$ für $-4\lt m\lt4$ keinen gemeinsamen Punkt.

Mit Hilfe der Stammfunktionen von $x$ und $g$ ergibt sich für den Term einer Stammfunktion von $k$ z.B. $K(x)=\frac{1}{2} x^2 - 1,4\cdot \mathrm e^{0,5x} +0,7 x.$