Teil B

Gegeben ist die in $[0;10]$ definierte Funktion $f: 2 \cdot \sqrt{10x -x^2}.$ Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

Bestimme die Nullstellen von $f$ .

[Zur Kontrolle: $0$ und $10$ ]

(2 BE)

Der Graph $G_f$ besitzt in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente.
Bestimme die Koordinaten dieses Punkts und begründe, dass es sich um einen Hochpunkt handelt.

[Zur Kontrolle: $\(f$ $y$ -Koordinate des Hochpunkts: $10$ ]

(5 BE)

Der Graph $G_f$ ist rechtsgekrümmt. Einer der folgenden Terme ist ein Term der zweiten Ableitungsfunktion $\(f$ von $f.$ Beurteile, ob dies Term I oder Term II ist, ohne einen Term von $\(f$ zu berechnen.

$\(f$

(3 BE)

Weise nach, dass für $0 \leq x \leq 5$ die Gleichung $f (5-x) = f (5+x)$ erfüllt ist, indem du die Terme $f(5-x)$ und $f(5+x)$ geeignet umformst.
Begründe damit, dass der Graph $G_f$ symmetrisch bezüglich der Gerade mit der Gleichung $x=5$ ist.

(5 BE)

Gib den maximalen Definitionsbereich des Terms $\(f$ an. Bestimme $\(\lim\limits_{x\to0} f$ und deute das Ergebnis geometrisch.

(4 BE)

Gib $f(8)$ an und zeichne $G_f$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein.

(4 BE)

Betrachtet wird die Tangente $G_f$ im Punkt $(2 \mid f(2)).$ Berechne die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die $x$ -Achse schneidet.

(2 BE)

Von den Eckpunkten des Rechtecks $ABCD$ liegen der Punkt $A(s\mid 0)$ mit $s \in ] 0; 5[$ sowie der Punkt $B$ auf der $x$ -Achse, die Punkte $C$ und $D$ liegen auf $G_f.$ Das Rechteck besitzt somit die Gerade mit der Gleichung $x=5$ als Symmetrieachse. Zeige, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die Länge $10$ besitzen.

(5 BE)

Ein Wasserspeicher hat die Form eines geraden Zylinders und ist bis zu einem Füllstand von $10\,\text{m}$ über dem Speicherboden mit Wasser gefüllt. Bohrt man unterhalb des Füllstands ein Loch in die Wand des Wasserspeichers, so tritt unmittelbar nach Fertigstellung der Bohrung Wasser aus, das in einer bestimmten Entfernung zur Speicherwand auf den Boden trifft.

Diese Entfernung wird im Folgenden Spritzweite genannt (vgl. Abbildung). Die Abhängigkeit der Spritzweite von der Höhe des Bohrlochs wird durch die in den bisherigen Teilaufgaben betrachtete Funktion $f$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $x$ die Höhe des Bohrlochs über dem Speicherboden in Metern und $f(x)$ die Spritzweite in Metern.

Der Graph $G_f$ verläuft durch den Punkt $(3,6 \mid 9,6).$ Gib die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang an.

(1 BE)

Berechne die Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite $6\,\text{m}$ beträgt. Gib zudem die Höhe an, in der das Loch gebohrt werden muss, damit die Spritzweite maximal ist.

(5 BE)

Es wird nun ein bestimmtes Bohrloch im Wasserspeicher betrachtet. Durch das Abfließen verringert sich das Volumen des Wassers im Speicher in Abhängigkeit von der Zeit. Die Funktion $g: t \mapsto 0,25 t - 25$ mit $0 \leq t \leq 100$ beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung dieser Volumenänderung.
Dabei ist $t$ die seit der Fertigstellung des Bohrlochs vergangene Zeit in Sekunden und $g(t)$ die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Speicher in Litern pro Sekunde.
Berechne das Volumen des Wassers in Litern, das innerhalb der ersten Minute nach Fertigstellung des Bohrlochs aus dem Behälter abfließt.

(4 BE)

(40 BE)

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$10x-x^2=0$

$x(10-x)=0$

Mit dem Satz vom Nullprodukt ergeben sich $x_1=0$ und $x_2=10.$

1. Schritt: Ableitung bilden

$f(x)=2\cdot\left(10x-x^2\right)^{\frac{1}{2}}$

$\(f$ $=\dfrac{10-2x}{(10x-x^2)^{\frac{1}{2}}}$ $=\dfrac{10-2x}{\sqrt{10x-x^2}}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

$f(5)=2\cdot \sqrt{10\cdot 5-5^2}$ $=2\cdot 5$ $=10$

Es gilt $f(0)=f(10)=0$ und somit hat der einzige Punkt mit waagrechter Tangente den $y$ -Wert 10, woraus sich ein Hochpunkt ergibt. Auf die hinreichende Bedingung für Extremstellen kann durch diese Überlegung verzichtet werden.

$H(5 \mid 10)$

Es muss $\(f$ gelten.

Es gilt: $\(\mathbb{D}_{f$

In beiden Termen steht eine natürliche Zahl im Zähler und im Nenner ein Wurzelterm, dessen Wert aufgrund des Definitionsbereiches stets positiv ist.

Der Term der zweiten Ableitung muss wegen der Rechtskrümmung negativ sein, folglich müssen die Terme, die im Nenner vor der Wurzel stehen, untersucht werden:

$x^2-10x$ aus Term I ist in $]0; 10[$ stets negativ.

$10x-x^2$ aus Term II ist in $]0; 10[$ stets positiv.

Somit stellt Term I die zweite Ableitung dar.

Rechenweg anzeigen

$25-x^2 = 25-x^2$

Die Gleichung ist also erfüllt.

Begründung

Die Punkte $(5-x_0 \mid f(5-x_0 ))$ und $(5+x_0 \mid f(5+x_0))$ haben denselben $y$ -Wert und denselben Abstand auf der $x$ -Achse zu 5.

Somit liegen die Punkte symmetrisch zur Geraden $x=5.$

Es gilt $\mathbb{D}_f= [0;10] .$ In der ertsen Ableitung steht die Wurzel im Nenner, deshalb muss $\( \mathbb{D}_f$ gelten.

$\(\lim\limits_{x\to 0}f$ $=\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{10-2x}{\sqrt{10x-x^2}}\right)$ $=\infty$

Die Funktion hat im Ursprung die höchste Steigung.

$f(2)=2\cdot \sqrt{10\cdot 2-2^2}$ $=8$

$t:y=mx+b$

Es genügt, die Steigung der Tangente zu berechnen:

$\(m=f$ $=\dfrac{6}{4}$ $=\dfrac{3}{2}$

$\tan(\alpha)=\dfrac{3}{2}$

$\alpha\approx 56,31^\circ$

Satz des Pythagoras:

$d^2=\overline{\left|AB\right|}^2+\overline{\left|BC\right|}^2$

$d=\sqrt{\overline{\left|AB\right|}^2+\overline{\left|BC\right|}^2}$

$\left|\overline{AB}\right|=5+(5-s)-s$ $=10-2s$

$\left|\overline{BC}\right|$ $=\left|\overline{AD}\right|$ $=f(s)$ $=2\cdot\sqrt{10\cdot s-s^2}$

$d=\sqrt{(10-2s)^2+(2\cdot\sqrt{10\cdot s-s^2})^2}$ $=\sqrt{100-40s+4s^2+4\cdot (10s-s^2)}$ $=\sqrt{100}$ $=10$

Aufgrund der Symmetrie gilt das auch für die zweite Diagonale.

Wenn sich das Bohrloch in einer Höhe von $3,6\;\text{m}$ befindet, beträgt die Spritzweite $9,6\;\text{m}.$

$6=2\cdot \sqrt{10\cdot x-x^2}$

Quadrieren ergibt:

$36=4\cdot (10x-x^2)$

$36=40x-4x^2$

$4x^2-40x+36=0$

$x_{1;2}=\dfrac{40\pm \sqrt{(-40)^2-576}}{8}$ $=\dfrac{40\pm \sqrt{1024}}{8}$ $=5\pm 4$

$x_1=9,$ $x_2=1$

Die Höhen lauten $9\;\text{m}$ und $1\;\text{m}.$

An der Abbildung oben lässt sich die Stelle für die maximale Spritzweite ablesen, dies ist an der Stelle 5 der Fall. Die Höhe für die maximale Spritzweite beträgt also $5\;\text{m}.$

$\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)\;\mathrm dt= [0,125 t^2 -25 t]_0^{60}$ $=0,125\cdot 60^2-25\cdot 60 -(0,125\cdot 0^2-25\cdot 0)$ $= -1050$

In der ersten Minute fließen also 1050 Liter Wasser ab.

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