Teil A
Die Strecke ![\([PQ]\)](https://mathjax.schullv.de/8453514d6e18eb83f92d54f50ed94a7ccdf86f6b4b8184c238b3ed1188016697?color=5a5a5a)
mit den Endpunkten 
und 
ist Durchmesser einer Kugel mit Mittelpunkt 
a)
Berechne die Koordinaten von und weise nach, dass der Punkt 
auf der Kugel liegt.
(3 BE)
b)
Begründe ohne weitere Rechnung, dass das Dreieck 
bei 
rechtwinklig ist.
(2 BE)
(5 BE)
a)
Für den Abstand 
von 
zum Mittelpunkt 
der Kugel, der dem Radius der Kugel entspricht, gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
r&=&\left\vert\overrightarrow{PM}\right\vert \\[5pt]
&=&\left\vert\pmatrix {5\\-1\\1}-\pmatrix {8\\-5\\1}\right\vert \\[5pt]
&=&\left\vert\pmatrix {-3\\4\\0}\right\vert \\[5pt]
&=&\sqrt{(-3)^2+4^2} \\[5pt]
&=&5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/df0cf6d660cf2093b7bf288e0933b752f4b2c03b2cff077d20d1a55f629915c2?color=5a5a5a)
Für den Abstand von zu folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left\vert\overrightarrow{RM}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix {5\\-1\\1}-\pmatrix {9\\-1\\4}\right\vert \\[5pt]
&=&\left\vert\pmatrix {-4\\0\\-3}\right\vert \\[5pt]
&=&\sqrt{(-4)^2+(-3)^2} \\[5pt]
&=&5
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/9fd3e6c65f8a0bc09f3dd6b28031a0be251c5ccfdf04fb49048489a5a66ce53c?color=5a5a5a)
Somit liegt der Punkt auf der Kugel.
b)
Die Strecke 
ist ein Durchmesser der Kugel und bildet mit einen Kreis, welcher durch diese Strecke halbiert wird. Mit dem Satz des Thales folgt somit, dass das Dreieck bei rechtwinklig ist.