Teil A
1
Gegeben ist die Kugel mit Mittelpunkt 
und Radius 
a)
Bestimme alle Werte 
für die der Punkt 
auf der Kugel liegt.
(3 BE)
b)
Die Gerade 
berührt die Kugel im Punkt 
Ermittle eine mögliche Gleichung von 
(2 BE)
2
Für jeden Wert von 
mit 
ist eine Gerade 
gegeben durch
a)
Bestimme in Abhängigkeit von die Koordinaten des Punkts, in dem die 
-Ebene schneidet.
(2 BE)
b)
Für genau einen Wert von hat die Gerade einen Schnittpunkt mit der 
-Achse. Ermittle die Koordinaten dieses Schnittpunkts.
(3 BE)
(10 BE)
1
a)
b)
Damit die Kugel im Punkt 
berührt, muss der Richtungsvektor 
von senkrecht zu 
verlaufen. Es folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{r}\circ \overrightarrow{BM}&=& 0 \\[5pt]
\pmatrix{r_1\\r_2\\r_3}\circ \pmatrix{1-(-3)\\4-8\\0-2} &=& 0 \\[5pt]
4r_1-4r_2-2r_3&=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d965bf1699668ace230f28c0e7bad4c351d5b6945f696c00d598a2a17ba6953d?color=5a5a5a)
Zwei der drei Parameter können beliebig, aber nicht beide als Null, gewählt werden, beispielweise als 
und 
Für 
folgt somit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
4\cdot 1-4\cdot 1-2r_3&=& 0\\[5pt]
-2r_3&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt]
r_3 &=& 0
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/98140433aa9dd13ec377f07fb904bfbb317f856e7ab3ff29bfc42000886c12dd?color=5a5a5a)
Ein möglicher Richtungsvektor der Geraden ist damit 
womit sich folgende Geradengleichung von ergibt:
2
a)
Die -Ebene besitzt die Ebenengleichung 
Gleichsetzen der letzten Zeile der Geradengleichung mit Null liefert somit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
4+\lambda&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt]
\lambda &=& -4
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/453b9167958f3685b42421b217e460a6ccba425845de166c62d017ef59c80567?color=5a5a5a)
Einsetzen von 
in die Geradengleichung ergibt:
Die Gerade schneidet die -Ebene somit im Punkt mit den Koordinaten 
b)
Die 
- und 
-Koordinate aller Punkte auf der -Achse sind Null. Aus der ersten Zeile der Geradengelichung folgt damit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
2+ \lambda \cdot 2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt]
2\cdot \lambda&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
\lambda&=& -1
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/10095a85cc47f29540942564ff6cdfe2efdfe145c5886ae10699acffe9bf1ff5?color=5a5a5a)
Einsetzen in die zweite Zeile liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
a-4 +(-1)\cdot (-2)&=& 0 \\[5pt]
a -2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt]
a&=& 2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e76f39d4dfe5836b5342fddbd9741c50288299d0e1b4361f6ea37e97ec469f61?color=5a5a5a)
Einsetzen der ermittelten Werte in die Geradengleichung ergibt:
Die Gerade 
schneidet die -Achse im Punkt mit den Koordinaten 