Teil B

Gib anhand der gegebenen Messwerte alle betrachteten Zeitpunkte an, zu denen das Wasservolumen zunahm. Begründe deine Angabe.

Zeige, dass für den Zeitpunkt Uhr gilt: Der Wert der momentanen Änderungsrate, den die Funktion liefert, weicht um weniger als von dem Wert ab, der sich aus den Messungen ergibt. Berechne den ungefähren Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate beträgt.

Gib für den Zeitraum von Uhr bis Uhr auf der Grundlage des Modells an, zu welchem Zeitpunkt sich die größte Wassermenge im Staubecken befand. Begründe deine Angabe.

Das Modell, in dem die momentane Änderungsrate des Wasservolumens beschreibt, wird durch die folgenden beiden Annahmen zur momentanen Abflussrate ergänzt:

• Für den Zeitraum zwischen Uhr und Uhr kann die momentane Abflussrate mit als konstant angenommen werden.
• Für den Zeitraum zwischen Uhr und Uhr lässt sich die zeitliche Entwicklung der momentane Abflussrate mithilfe der in definierte Funktion mit beschreiben. Dabei ist die momentane Abflussrate in und die seit Uhr vergangene Zeit in Stunden.

Berechne für den Zeitraum zwischen Uhr und Uhr auf der Grundlage des erweiterten Modells, wie viel Wasser aus dem Staubecken abfloss und wie viel Wasser zufloss.

Gib für den Graphen die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie die der Extrempunkte an. Skizziere in der Abbildung.

Bestimme die Koordinaten der Punkte, durch die die Graphen aller Funktionen der Schar verlaufen.

Ermittle alle Werte von , für die die jeweils zugehörige Funktion genau zwei verschiedene Nullstellen hat.

Berechne den Wert von so, dass die Tangente an den zugehörigen Graphen im Berührpunkt parallel zur Winkelhalbierenden des und Quadranten verläuft, und gib die Gleichung der Tangente an.

Ermittle die Koordinaten des Wendepunkts von in Abhänigkeit von . Bestimme alle Werte von , für die auf einer Koordinatenachse liegt.

Der Graph , die -Achse sowie die Gerade mit den Gleichungen und schließen im Bereich zwei Flächenstücke ein. Rotieren diese beiden Flächenstücke um die -Achse, so entstehen zwei Körper. Bestimme die Volumina der beiden Körper.

Zeige, dass folgende Aussage falsch ist:
Für je zwei inhaltsgleiche Flächenstücke, die um die -Achse rotieren, stimmen die Volumina der beiden entstehenden Körper überein.

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  Zeitpunkte mit Zunahme angeben Das Wasservolumen nimmt zu, wenn mehr Wasser in das Staubecken fließt als abfließt, wenn also die Zuflussrate größer ist als die Abflussrate. Das ist um und Uhr der Fall.
Um und Uhr nahm das Wasservolumen zu.

  Abweichung zeigen Der Zeitpunkt Uhr wird durch den Wert beschrieben. Die momentane Änderungsrate laut der Messungen ergibt sich aus Für Uhr also: Die Abweichung des Modellwerts zum tatsächlichen Wert ergibt sich dann zu: Die momentane Änderungsrate, die sich durch die Funktion zum Zeitpunkt Uhr ergibt, weicht also um weniger als von dem Wert ab, der sich aus den Messwerten um Uhr ergibt.   Zeitpunkt mit Änderungsrate berechnen Gesucht ist mit Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen. Der erste Wert liegt außerhalb des betrachteten Bereichs Um den Zeitpunkt zu berechnen, rechne noch in Minuten um: Um ca. Uhr betrug die momentane Änderungsrate also ca.

  Zeitpunkt mit der größten Menge im Staubecken angeben Die größte Wassermenge befindet sich in dem Moment im Staubecken, in dem die momentane Änderung von einer Zunahme in eine Abnahme übergeht. Dies ist der Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate von positiv zu negativ wechselt.
Gesucht ist also ein Wert mit in dem die Funktion ihr Vorzeichen von positiv zu negativ wechselt. Dies kann lediglich in einer Nullstelle geschehen. Bestimme also zunächst die Nullstellen von An der Stelle besitzt also eine Nullstelle. Es bleibt noch zu überprüfen, ob sich dort das Vorzeichen der Funktionswerte verändert. Für gilt: Für ist also positiv. Die momentane Änderungsrate ist positiv. Es findet eine Zunahme des Wasservolumens im Staubecken statt. Für gilt: Für ist also negativ. Die momentane Änderungsrate ist negativ. Es findet eine Abnahme des Wasservolumens im Staubecken statt. Bis zum Zeitpunkt also Uhr, nimmt die Wassermenge im Staubecken laut Modellierung durch die Funktion zu, danach nimmt sie immer weiter ab. Daher muss sich zu diesem Zeitpunkt die größte Wassermenge im Staubecken befunden haben.

  Menge des Zuflusses und des Abflusses berechnen 1. Schritt: Funktionen für den Abfluss aufstellen Zwischen und Uhr beträgt die momentane Abflussrate konstant Sie kann daher für durch die Funktion mit folgender Gleichung beschrieben werden: Anschließend wird sie für durch die Funktion beschrieben mit: 2. Schritt: Funktion für den Zufluss aufstellen Es gilt: Beichne mit die Funktion, die die momentane Änderungsrate des Zuflusses von bis Uhr beschreibt. Diese wird dann für durch folgende Gleichung beschrieben: Anschließend kann die momentane Zuflussrate für durch beschrieben werden: 3. Schritt: Gesamtabfluss berechnen In der ersten Stunde sind konstant Wasser abgeflossen. Also sind innerhalb dieser einen Stunde genau Wasser abgeflossen. Die Gesamtmenge an Wasser, das von bis Uhr abgeflossen ist, kannst du mithilfe eines Integrals über in den Grenzen und berechnen. Dazu kannst du dein CAS verwenden: Insgesamt sind daher zwischen und Uhr ca. Wasser aus dem Staubecken abgeflossen. 4. Schritt: Gesamtzufluss berechnen Hier kannst du die beiden Zeitabschnitte ebenfalls getrennt betrachten und die Zuflussmenge jeweils mithilfe eines Integrals über bzw. berechnen: Das Gesamtvolumen des zugeflossenen Wassers beträgt also ca.: Im Zeitraum von bis Uhr sind insgesamt also ca. Wasser in das Staubecken zugeflossen.

  Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen angeben Für die Schnittpunkte mit der -Achse: Der Graph schneidet die -Achse also in den Punkten und Für den Schnittpunkt mit der -Achse: Der Graph schneidet die -Achse im Punkt   Koordinaten der Extrempunkte angeben 1. Schritt: Ableitungen bestimmen In deinem CAS kannst du mit folgendem Befehl die ersten beiden Ableitungen von definieren: 2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden Mit dem notwendigen Kriterium für Extrempunkte folgen mögliche Extremstellen. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen: Der Graph von besitzt mögliche Extrempunkte an den Stellen und 3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen An der Stelle besitzt der Graph von also einen Hochpunkt, an der Stelle einen Tiefpunkt. 4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen Der Graph besitzt zwei Extrempunkte, den Hochpunkt und den Tiefpunkt   Graphen skizzieren

  Koordinaten der gemeinsamen Punkte bestimmen Alle Graphen der Funktionenschar verlaufen durch einen gemeinsamen Punkt, wenn dieser auf zwei verschiedenen Graphen und für jede beliebige Kombination von und liegt.
Die Graphen zweier Funktionen und sollen also unabhängig von und gemeinsame Punkte besitzen. Es muss also -Werte geben, für die ist. Diese Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen. Verwende dazu für beispielsweise die Variable und für die Variable damit der Taschenrechner die Variablen unterscheiden kann. Du erhältst dann: An den Stellen und besitzen also alle den gleichen Funktionswert. Alle Funktionen der Schar verlaufen durch die Punkte mit den Koordinaten und

  Parameterwerte ermitteln Gesucht sind alle Werte von für die die Gleichung genau zwei Lösungen besitzt. Aufgrund des Satzes vom Nullprodukt ist wie in Aufgabe 2 a) eine Lösung der Gleichung bereits Der zweite Faktor darf nun nur noch eine Nullstelle besitzen.
Für den zweiten Faktor folgt mit der -Formel: Damit es nur eine weitere Lösung gibt, müssen beide Lösungen der -Formel übereinstimmen. Dies ist der Fall, wenn der Radikand unter der Wurzel Null ist: Für und besitzen die zugehörigen Funktionen und genau zwei Nullstellen.

  Parameterwert berechnen Die Winkelhalbierende des und Quadranten hat die Gleichung Damit die gesuchte Tangente die gleiche Steigung wie die Winkelhalbierende hat, muss sie also die Steigung besitzen. Da die Steigung einer Tangente an einen Graphen im Punkt die gleiche Steigung hat, wie der Graph in diesem Punkt, sind also die Werte von gesucht, für die der Graph an der Stelle die Steigung hat.
Die Steigung eines Graphen wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben. Also ist mit gesucht. Einsetzen liefert: Für verläuft die Tangente an den Graphen im Berührpunkt parallel zur Winkelhalbierenden des und Quadranten.   Gleichung der Tangente angeben Die Tangente hat die Steigung Sie verläuft durch den Punkt Sie muss also an der Stelle den Funktionswert annehmen: Die Gleichung der Tangente an den Grpahen von im Punkt lautet

  Koordinaten des Wendepunkts ermitteln 1. Schritt: Ableitungen bestimmen Wie in Aufgabe 2 a) kannst du die ersten drei Ableitungsfunktionen von im CAS mithilfe des entsprechenden Ableitungsbefehls definieren. 2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden Mit dem notwendigen Kriterium für Wendepunkte folgen mögliche Wendestellen: Der Graph von besitzt eine mögliche Wendestelle an der Stelle 3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen An der Stelle besitzt der Graph von also einen Wendepunkt. 4. Schritt: Vollständige Koordinaten berechnen Der Graph von besitzt den Wendepunkt   Parameterwert bestimmen Der Wendepunkt liegt auf einer der Koordinatenachsen, wenn eine der beiden Koordinaten Null ist. Für die -Koordinate gilt: Für die -Koordinate gilt: Für liegt auf der -Achse, für und liegt auf der -Achse.

  Volumina bestimmen Da eine Nullstelle von ist, ist dies die Begrenzung der beiden Flächenstücke. Mithilfe der in der Aufgabenstellung angegebenen Formel und dem folgenden Befehl deines CAS kannst du die Volumina berechnen: Beide Rotationskörper haben jeweils ein Volumen von

  Zeigen, dass die Aussage falsch ist Betrachtet man beispielsweise das Flächenstück, das von der Gerade mit der Gleichung der -Achse und den Geraden zu und eingeschlossen wird, dann handelt es sich dabei um ein Quadrat mit der Seitenlänge Dann ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation um die -Achse entsteht: Eine Fläche, die inhaltsgleich zu dieser ist, ist die Fläche, die von den Geraden zu und sowie und begrenzt wird. Dabei handelt es sich ebenfalls um ein Quadrat mit der Seitenlänge
Rotiert diese Fläche um die -Achse, so kann ihr Volumen aus der Differenz der beiden Teilvolumina berechnet werden: Die beiden Flächenstücke sind also inhaltsgleich, die Volumina, die bei deren Rotation um die -Achse entstehen, sind allerdings verschieden. Die in der Aufgabe angegebene Aussage ist also falsch.