Teil B

Ein Süßwarenunternehmen stellt verschiedene Sorten Fruchtgummis her.

Luisa nimmt an einer Betriebsbesichtigung des Unternehmens teil. Zu Beginn der Führung bekommt sie ein Tütchen mit zehn Gummibärchen, von denen fünf weiß, zwei rot und drei grün sind. Luisa öffnet das Tütchen und nimmt, ohne hinzusehen, drei Gummibärchen heraus. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben.

(3 BE)

Vor dem Verpacken werden die verschiedenfarbigen Gummibärchen in großen Behältern gemischt, wobei der Anteil der roten Gummibärchen 25 % beträgt. Ein Verpackungsautomat füllt jeweils 50 Gummibärchen aus einem der großen Behälter in eine Tüte.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufällig ausgewählten Tüte mehr als ein Drittel der Gummibärchen rot ist.

(2 BE)

Um sicherzustellen, dass jeweils genau 50 Gummibärchen in eine Tüte gelangen, fallen diese einzeln nacheinander aus einer Öffnung des Behälters in den Verpackungsautomaten. Beschreibe im Sachzusammenhang jeweils ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Term berechnet werden kann:

i: $\pmatrix{50\\10}\cdot0,75^{10}\cdot0,25^{40}$
ii: $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^3 (0,75^k\cdot 0,25)$

(4 BE)

Ermittle, wie groß der Anteil der gelben Gummibärchen in der Produktion mindestens sein muss, damit in einer zufällig ausgewählten Tüte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein gelbes Gummibärchen enthalten ist.

(3 BE)

Das Süßwarenunternehmen produziert auch zuckerreduzierte und vegane Fruchtgummis und bringt diese in entsprechend gekennzeichneten Tüten in den Handel.
Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind. 42 % der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich auch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Insgesamt sind 63 % der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet.
Betrachtet werden folgende Ereignisse:

V: „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als vegan gekennzeichnet.“
R: „Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als zuckerreduziert gekennzeichnet.“

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\overline{R}.$

(3 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{V}}(R).$

(3 BE)

Beschreibe die Bedeutung des Terms $1-P_{\overline{V}}(R)$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Bei einer Werbeaktion werden den Fruchtgummitüten Rubbellose beigelegt. Beim Freirubbeln werden auf dem Los bis zu drei Goldäpfel sichtbar. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X.$

$k$	$P(X=k)$
0	$p_0$
1	$p_1$
2	0,2
3	0,1

Die Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert 1.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten $p_0$ und $p_1$ und berechne die Varianz von $X.$

(3 BE)

Ohne Kenntnis des Erwartungswerts ist die Varianz in der Regel nicht aussagekräftig. Daher wird für den Vergleich verschiedener Zufallsgrößen oft der Quotient aus der Standardabweichung und dem Erwartungswert betrachtet, der als relative Standardabweichung bezeichnet wird.

Die Zufallsgröße $Y_n$ beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln von $n$ Losen sichtbar werden. Es gilt $E(Y_n)=n$ und $Var(Y_n)=n.$ Bestimme, ab welchem Wert von $n$ die relative Standardabweichung kleiner als 3 % wird.

(2 BE)

(25 BE)

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Mit den Pfadregeln ergibt sich:

$\frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8} + \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8} \approx 0,092$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 9,2 % haben alle drei Gummibärchen die gleiche Farbe.

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zuällige Anzahl der roten Gummibärchen in einer zufällig ausgewählten Tüte mit 50 Gummibärchen beschreibt. $X$ kann als binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,25$ angenommen werden.

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ E: Binomial Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$P\left(X\gt \frac{50}{3}\right) = P(X\geq17)$ $= 1-P(X\leq 16)$ $\approx 1-0,9017$ $=0,0983$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 9,83 % sind in einer zufällig ausgewählten Tüte mehr als ein Drittel der Gummibärchen rot.

i: „In einer zufällig ausgewählten Tüte Gummibärchen befinden sich genau 10 Gummibärchen, die nicht rot sind.“

ii: „Unter den ersten vier Gummibärchen, die in eine Tüte abgefüllt werden, befindet sich mindestens ein rotes.“

Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y,$ die die zufällige Anzahl der gelben Gummibärchen in einer zufällig ausgewählten Tüte mit 50 Gummibärchen beschreibt.
$Y$ kann als binomialverteilt mit $n=50$ und unbekanntem $p$ angenommen werden.

Für $p$ ergibt sich folgende Ungleichung, die mit dem solve-Befehl des CAS nach $p$ umgeformt werden kann:

Ungleichung anzeigen

$p\geq 0,06$

Der Anteil der gelben Gummibärchen muss mindestens 6 % entsprechen, damit sich in einer Tüte mit 50 Gummibärchen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein gelbes Gummibärchen befindet.

Da der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten dreimal so groß ist wie der Anteil der als vegan gekennzeichneten Tüten, muss $P(V) = 0,25$ und $P(\overline{V}) = 0,75$ gelten.

Damit lässt sich folgendes Baumdiagramm aufstellen:

	$0,25$					$0,75$
		$V$			$\overline{V}$
$0,42$			$0,58$	$\quad$
	$R$	$\overline{R}$			$R$	$\overline{R}$

Außerdem gilt $P(\overline{R}\cap \overline{V}) = 0,63.$

Damit folgt dann:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{R}) &=& P(\overline{R}\cap \overline{V}) + P(\overline{R}\cap V) \\[5pt] &=& 0,63 + 0,25\cdot 0,58 \\[5pt] &=& 0,775\\[5pt] \end{array}$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{V}\cap \overline{R}) &=& 0,63 \\[5pt] P(\overline{V})\cdot P_\overline{V}(\overline{R}) &=& 0,63 \\[5pt] 0,75\cdot P_\overline{V}(\overline{R}) &=& 0,63 &\quad \scriptsize \mid\;:0,75 \\[5pt] P_\overline{V}(\overline{R}) &=& 0,84 \end{array}$

Und damit folgt

$P_{\overline{V}}(R) = 1- P_\overline{V}(\overline{R})= 1-0,84=0,16$

Es gilt: $1-P_{\overline{V}}(R)= P_{\overline{V}}(\overline{R})$

Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Tüte, die nicht als vegan markiert ist, nicht zuckerreduziert ist.

$\begin{array}[t]{rll} E(X) &=& 1 \\[5pt] && ... \\[5pt] p_1&=&0,3\end{array}$

Berechnung der Wahrscheinlichkeit anzeigen

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten ist gleich $1.$ Daraus folgt $p_0=1-0,3-0,2-0,1=0,4.$

Für die Varianz folgt:

$Var(X)=1$

Berechnung der Varianz anzeigen

Es gilt $\sigma(Y_n)= \sqrt{Var(Y_n)} = \sqrt{n}.$ Mit dem solve-Befehl des CAS lässt sich folgende Ungleichung nach $n$ umformen:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sigma(Y_n)}{E(Y_n)}&\lt&0,03\\[5pt] \dfrac{\sqrt{n}}{n}&\lt&0,03 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] n&\gt& 1111,11 \end{array}$

Ab einem Wert von n=1112 ist die relative Standardabweichung kleiner als 3 %.

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