Mathematik Aufgaben für Bayern Abi 2022: Funktionen, Integrale & mehr

Gegeben ist die Funktion $g: x\mapsto \frac{2x^2}{x^2-9}$ mit maximaler Definitionsmenge $D_g.$

a)

Gib $D_g$ sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von $g$ an.

(2 BE)

b)

Zeige, dass der Graph von $g$ in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt.

(3 BE)

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F,$ wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_F$ von $F.$

nrw abi lk gtr 2022 aufgabe a1 abbildung 1 funktion f

Abb. 1

a)

Bestimme den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx.$

(2 BE)

b)

Bestimme den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1;$ veranschauliche dein Vorgehen in Abbildung 1.

(3 BE)

a)

Gegeben ist die Funktion $h: x\mapsto \ln(2x-3)$ mit Definitionsmenge $D_h = ]\frac{3}{2}; + \infty [.$ Gib die Nullstelle von $h$ sowie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von $h$ an.

(2 BE)

b)

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ besitzt die Nullstelle $x=2,$ außerdem gilt $\(f$ für alle $x \in \mathbb{R}.$ Abbildung 2 zeigt den Graphen $G_f$ von $f.$
Betrachtet wird die Funktion $g: x\mapsto \ln(f(x))$ mit maximaler Definitionsmenge $D_g.$

Abb. 2

Gib $D_g$ an und ermittle mithilfe von Abbildung 2 diejenige Stelle $x$ , für die $\(g$ gilt.

(3 BE)

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot \mathrm e^{-x} + 3$ und $a \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}.$

a)

Zeige, dass $\(f$ gilt.

(1 BE)

b)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(0 \mid f_a (0)).$
Bestimme diejenigen Werte von $a$ , für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die $x$ -Achse in einem Punkt schneidet, dessen $x$ -Koordinate größer als $\frac{1}{2}$ ist.

(4 BE)

Teil A

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