Teil A
1
Gegeben ist ein Rechteck 
mit den Eckpunkten 
und 
a)
Ermittle die Koordinaten von 
und gib die Koordinaten des Mittelpunkts 
der Strecke ![\([AC]\)](https://mathjax.schullv.de/44be0e8147732b25a3f4757d561eaef3b973da61bf19e4e02bd99aa4a8ce7f9e?color=5a5a5a)
an.
(3 BE)
b)
Begründe, dass die Dreiecke 
und 
den gleichen Flächeninhalt besitzen, ohne diesen zu berechnen.
(2 BE)
2
a)
Die Ebene 
enthält einen Punkt, dessen drei Koordinaten übereinstimmen. Bestimme diese Koordinaten.
(2 BE)
b)
Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
Es gibt unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt enthalten, dessen drei Koordinaten übereinstimmen.
(3 BE)
(10 BE)
1
a)
Koordinaten von 
ermitteln
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OD} &=& \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD}\\[5pt]
&=& \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{BC} \\[5pt]
&=& \pmatrix{5\\-4\\-3} + \pmatrix{0-5\\4-4\\4-4}\\[5pt]
&=& \pmatrix{0\\-4\\-3} \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3f5a55b4d6fa37ec498c5b1851a4992e4069f8b4bb3f9f916908215bc134480d?color=5a5a5a)
Die Koordinaten von sind somit gegeben durch 
Koordinaten des Mittelpunkts angeben
Der Mittelpunkt der Strecke hat somit die Koordinaten 
b)
Die Diagonale des Rechtecks erzeugt ein Dreieck 
welches durch die Strecke ![\([BM]\)](https://mathjax.schullv.de/2ab8c2269d72746d1b67b3ae832b0037f38d88406509440ba86d9ae0150504b0?color=5a5a5a)
in die zwei Dreiecke und zerfällt. Die Höhen dieser Dreiecke bezüglich der Rechteckseiten als Grundseiten ergeben sich somit zu 
und 
Für die Flächeninhalte der beiden Dreiecke folgt damit:
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ABM}&=& \dfrac{1}{2} \cdot \vert\overline{AB}\vert \cdot h_{ABM} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \cdot \vert\overline{AB}\vert \cdot \dfrac{1}{2}\cdot \vert\overline{BC}\vert \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{4} \cdot \vert\overline{AB}\vert\cdot \vert\overline{BC}\vert
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/90d15ec2f2d7033ed99951e3c757f0cf07bd9acfcfc9e7ed7838f595fb0fd054?color=5a5a5a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{BCM}&=& \dfrac{1}{2} \cdot \vert\overline{BC}\vert \cdot h_{BCM} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \cdot \vert\overline{BC}\vert \cdot \dfrac{1}{2}\cdot \vert\overline{AB}\vert \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{4} \cdot \vert\overline{AB}\vert\cdot \vert\overline{BC}\vert
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8edd4a7cba70774b1a5fff590fd260452977d5cf85ddc161f0c6298797c95ef9?color=5a5a5a)
Somit gilt 
2
a)
Der gesuchte Punkt besitzt Koordinaten der Form 
Einsetzen in die Ebenengleichung liefert für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
3t+2t+2t &=& 6 \\[5pt]
7t &=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt]
t &=& \dfrac{6}{7}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2643f4f5df6e5befafa26af6831ac0c2fbf8f2a0535724a3fb819faa63229f38?color=5a5a5a)
Die gesuchten Koordinaten lauten somit 
b)
Alle Punkte, deren drei Koordinaten übereinstimmen, liegen auf der Geraden mit der Gleichung 
Da zu jeder Geraden unendlich viele Ebenen existieren, die zu ihr parallel verlaufen, sie aber nicht enthalten, gibt es somit unendlich viele Ebenen, die keinen Punkt mit drei identischen Koordinaten besitzen.