Teil B

Ein Süßwarenunternehmen stellt verschiedene Sorten Fruchtgummis her.

Luisa nimmt an einer Betriebsbesichtigung des Unternehmens teil. Zu Beginn der Führung bekommt sie ein Tütchen mit zehn Gummibärchen, von denen fünf weiß, zwei rot und drei grün sind. Luisa öffnet das Tütchen und nimmt, ohne hinzusehen, drei Gummibärchen heraus. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die drei Gummibärchen die gleiche Farbe haben.

(3 BE)

Vor dem Verpacken werden die verschiedenfarbigen Gummibärchen in großen Behältern gemischt, wobei der Anteil der roten Gummibärchen $25\,\%$ beträgt. Ein Verpackungsautomat füllt jeweils 50 Gummibärchen aus einem der großen Behälter in eine Tüte.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer zufällig ausgewählten Tüte mehr als ein Drittel der Gummibärchen rot ist.

(3 BE)

Um sicherzustellen, dass jeweils genau 50 Gummibärchen in eine Tüte gelangen, fallen diese einzeln nacheinander aus einer Öffnung des Behälters in den Verpackungsautomaten. Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem folgenden Term berechnet werden kann:

$\displaystyle\sum\limits_{k=0}^3 (0,75^k\cdot 0,25)$

(2 BE)

Ermittle, wie groß der Anteil der gelben Gummibärchen in der Produktion mindestens sein muss, damit in einer zufällig ausgewählten Tüte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein gelbes Gummibärchen enthalten ist.

(4 BE)

Das Süßwarenunternehmen produziert auch zuckerreduzierte und vegane Fruchtgummis und bringt diese in entsprechend gekennzeichneten Tüten in den Handel.
Der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten ist dreimal so groß wie der Anteil der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind. $42\,\%$ der Tüten, die als vegan gekennzeichnet sind, sind zusätzlich auch als zuckerreduziert gekennzeichnet. Insgesamt sind $63\,\%$ der Tüten weder als vegan noch als zuckerreduziert gekennzeichnet.
Betrachtet werden folgende Ereignisse:

$V:$

„Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als vegan gekennzeichnet.“

$R:$

„Eine zufällig ausgewählte Tüte ist als zuckerreduziert gekennzeichnet.“

Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\overline{R}.$

(3 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{V}}(R).$

(3 BE)

Beschreibe die Bedeutung des Terms $1-P_{\overline{V}}(R)$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

Bei einer Werbeaktion werden den Fruchtgummitüten Rubbellose beigelegt. Beim Freirubbeln werden auf dem Los bis zu drei Goldäpfel sichtbar. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln sichtbar werden. Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X.$

$\color{#ffff}{k}$	$\color{#ffff}{P(X=k)}$
0	$p_0$
1	$p_1$
2	0,2
3	0,1

Die Zufallsgröße $X$ hat den Erwartungswert $1.$ Bestimme die Wahrscheinlichkeiten $p_0$ und $p_1$ und berechne die Varianz von $X.$

(3 BE)

Ohne Kenntnis des Erwartungswerts ist die Varianz in der Regel nicht aussagekräftig. Daher wird für den Vergleich verschiedener Zufallsgrößen oft der Quotient aus der Standardabweichung und dem Erwartungswert betrachtet, der als relative Standardabweichung bezeichnet wird.

Die Zufallsgröße $Y_n$ beschreibt die Anzahl der Goldäpfel, die beim Freirubbeln von $n$ Losen sichtbar werden. Es gilt $\text{E}(Y_n)=n$ und $\text{Var}(Y_n)=n.$ Bestimme den Wert von $n$ , für den die relative Standardabweichung $5\,\%$ beträgt.

(2 BE)

(25 BE)

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Mit den Pfadregeln ergibt sich:

$\dfrac{5}{10}\cdot \dfrac{4}{9}\cdot \dfrac{3}{8} + \dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{2}{9}\cdot \dfrac{1}{8}$ $\approx 0,092$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $9,2\,\%$ haben somit alle drei Gummibärchen die gleiche Farbe.

Die Zufallsgröße $X,$ die die zuällige Anzahl der roten Gummibärchen in einer zufällig ausgewählten Tüte beschreibt, ist binomialverteilt mit den Parametern $n=50$ und $p=0,25.$ Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P\left(X\gt \dfrac{50}{3}\right)&=&P(X\geq17) \\[5pt] &=&1-P(X\leq 16) \\[5pt] &\approx&0,0983 \\[5pt] &=&9,83\,\% \end{array}$

„Unter den ersten vier Gummibärchen, die in eine Tüte gelangen, befindet sich mindestens ein rotes“.

Die Zufallsgröße $Y,$ die die zufällige Anzahl der gelben Gummibärchen in einer zufällig ausgewählten Tüte beschreibt, ist binomialverteilt mit $n=50$ und unbekanntem $p.$ Es folgt:

Rechenweg anzeigen

$p\geq 0,0581$

Der Anteil der gelben Gummibärchen muss mindestens ca. $5,81\,\%$ entsprechen, damit sich in einer Tüte mit 50 Gummibärchen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens ein gelbes Gummibärchen befindet.

Da der Anteil der nicht als vegan gekennzeichneten Tüten dreimal so groß ist wie der Anteil der als vegan gekennzeichneten Tüten, gilt $P(V) = 0,25$ und $P\left(\overline{V}\right) = 0,75.$ Mit den in der Aufgabenstellung gegebenen Wahrscheinlichkeiten folgt dann insgesamt:

$\begin{array}[t]{rll} P\left(\overline{R}\right) &=& P\left(\overline{R}\cap \overline{V}\right) + P\left(\overline{R}\cap V\right) \\[5pt] &=& 0,63 + 0,25\cdot 0,58 \\[5pt] &=& 0,775 \\[5pt] &=& 77,5\,\% \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P\left(\overline{V}\cap \overline{R}\right) &=& 0,63 \\[5pt] P\left(\overline{V}\right)\cdot P_\overline{V}\left(\overline{R}\right) &=& 0,63 \\[5pt] 0,75\cdot P_\overline{V}\left(\overline{R}\right) &=& 0,63 &\quad \scriptsize \mid\;:0,75 \\[5pt] P_\overline{V}\left(\overline{R}\right) &=& 0,84 \end{array}$

Somit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$P_{\overline{V}}(R) = 1- P_\overline{V}\left(\overline{R}\right)$ $= 1-0,84=0,16$

Es gilt $1-P_{\overline{V}}(R)$ $= P_{\overline{V}}\left(\overline{R}\right).$ Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Tüte, die nicht als vegan markiert ist, nicht zuckerreduziert ist.

$\begin{array}[t]{rll} E(X) &=& 1 \\[5pt] && ... \\[5pt] p_1&=&0,3\end{array}$

Rechenweg anzeigen

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten $1$ ergeben muss, folgt neben $p_1=0,3$ auch $p_0=1-0,3-0,2-0,1$ $=0,4.$ Für die Varianz folgt somit:

$\text{Var}(X) = (0-1)^2 \cdot 0,4$ $+(1-1)^2\cdot 0,3+(2-1)^2\cdot 0,2$ $+(3-1)^2\cdot 0,1 = 1$

Für die Standardabweichung gilt $\sigma(Y_n)= \sqrt{\text{Var}(Y_n)} = \sqrt{n}.$ Somit folgt für den gesuchten Wert von $n:$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sigma(Y_n)}{E(Y_n)}&=&0,05 \\[5pt] \dfrac{\sqrt{n}}{n}&=&0,05 &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{1}{\sqrt{n}}&=&0,05 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sqrt{n} \\[5pt] 1&=&0,05\cdot \sqrt{n} &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 1&=&0,0025n &\quad \scriptsize \mid\;:0,0025 \\[5pt] 400&=&n \end{array}$

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