Teil B

An einem Samstagvormittag kommen nacheinander vier Familien zum Eingangsbereich eines Freizeitparks. Jede der vier Familien bezahlt an einer der sechs Kassen, wobei davon ausgegangen werden soll, dass jede Kasse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt wird. Beschreibe im Sachzusammenhang zwei Ereignisse A und B, deren Wahrscheinlichkeiten sich mit den folgenden Termen berechnen lassen:

$P(A)=\dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^4};$ $P(B)=\dfrac{6}{6^4}$

(3 BE)

Im Eingangsbereich des Freizeitparks können Bollerwagen ausgeliehen werden. Erfahrungsgemäß nutzen $15\,\%$ der Familien dieses Angebot. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Bollerwagen, die von den ersten 200 Familien, die an einem Tag den Freizeitpark betreten, entliehen werden. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass eine Familie höchstens einen Bollerwagen ausleiht und dass die Zufallsgröße $X$ binomialverteilt ist.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 25 Bollerwagen ausgeliehen werden.

(2 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die fünfte Familie die erste ist, die einen Bollerwagen ausleiht.

(2 BE)

Ermittle unter Zuhilfenahme des Tafelwerks den kleinsten symmetrisch um den Erwartungswert liegenden Bereich, in dem die Werte der Zufallsgröße $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75\,\%$ liegen.

(5 BE)

Der Freizeitpark veranstaltet ein Glücksspiel, bei dem Eintrittskarten für den Freizeitpark gewonnen werden können. Zu Beginn des Spiels wirft man einen Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. Erzielt man dabei die Zahl 6, darf man anschließend einmal an einem Glücksrad mit drei Sektoren drehen (vgl. schematische Abbildung). Wird Sektor K erzielt, gewinnt man eine Kinderkarte im Wert von 28 Euro, bei Sektor E eine Erwachsenenkarte im Wert von 36 Euro. Bei Sektor N geht man leer aus. Der Mittelpunktswinkel des Sektors N beträgt 160°. Die Größen der Sektoren K und E sind so gewählt, dass pro Spiel der Gewinn im Mittel drei Euro beträgt. Bestimme die Größe der Mittelpunktswinkel der Sektoren K und E.

Kompass mit Himmelsrichtungen N, E und K, Pfeil zeigt nach Norden.

(6 BE)

Am Ausgang des Freizeitparks gibt es einen Automaten, der auf Knopfdruck einen Anstecker mit einem lustigen Motiv bedruckt und anschließend ausgibt. Für den Druck wird aus $n$ verschiedenen Motiven eines zufällig ausgewählt, wobei jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat.

Ein Kind holt sich drei Anstecker aus dem Automaten.

Bestimme für den Fall $n=5$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nicht alle drei Anstecker dasselbe Motiv haben.

(2 BE)

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert $\frac{(n-1)\cdot (n-2) }{n^2}$ hat.

(2 BE)

Bestimme, wie groß $n$ mindestens sein muss, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, größer als $90\,\%$ ist.

(3 BE)

(25 BE)

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$A:$

„Die Familien bezahlen an unterschiedlichen Kassen.“

$B:$

„Alle Familien bezahlen an derselben Kasse.“

Die Zufallsgröße $X$ ist laut Aufgabenstellung binomialverteilt mit den Parametern $n=200$ und $p=0,15.$ Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 25)&=&1- P(X\leq 24) \\[5pt] &\approx&0,8632 \\[5pt] &=&86,32\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $86,32\,\%$ werden somit mindestens $25$ Bollerwagen ausgeliehen.

Mit der Pfadmulitplikationsregel folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$0,85\cdot0,85\cdot0,85\cdot 0,85 \cdot 0,15$ $\approx 0,0783 = 7,83\,\%$

Für den Erwartungswert von $X$ folgt $\mu=n \cdot p$ $= 200 \cdot 0,15=30.$ Es ist das kleinste $a$ gesucht, sodass gilt:

$P(30-a\leq X \leq 30+a) \geq 0,75$

Für $a=6$ folgt:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$P(30-6\leq X \leq 30+6) \gt 0,75$

Für $a=5$ ergibt sich:

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$P(30-5\leq X \leq 30+5) \lt 0,75$

Der kleinste symmetrisch um den Erwartungswert liegende Bereich, in dem die Werte der Zufallsgröße $X$ mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $75\,\%$ liegen, ist somit der Bereich $24\leq X \leq 36.$

Für die Wahrscheinlichkeiten zum Erzielen der verschiedenen Sektoren folgt:

$P(N)=\dfrac{160^{\circ}}{360^{\circ}} = \dfrac{4}{9}$

$P(E)=p$

$P(K)=1-\dfrac{4}{9}-p =\dfrac{5}{9}-p$

Da der Gewinn im Mittel drei Euro beträgt, ergibt sich der Erwartungswert des Gewinns als $\mu=3.$ Somit folgt für den Wert von $p:$

$p=\dfrac{11}{36}$

Rechenweg für p anzeigen

Somit folgt $P(E)= \frac{11}{36}$ und $P(K)= \frac{5}{9}-\frac{11}{36}$ $= \frac{1}{4}.$ Der Mittelpunktswinkel des Sektors $K$ beträgt somit $\frac{1}{4}\cdot 360^\circ=90^\circ,$ der des Sektors $E$ beträgt $\frac{11}{36}\cdot 360^\circ=110^\circ.$

Für die Wahrscheinlichkeit, dass alle Anstecker das gleich Motiv haben folgt:

$\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{5}= \dfrac{1}{25}$ $=0,04=4\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $100\,\%-4\,\%=96\,\%$ haben somit nicht alle drei Anstecker dasselbe Motiv.

Es existieren $n\cdot (n-1) \cdot (n-2)$ Möglichkeiten die drei Anstecker mit unterschiedlichen Motiven zu bedrucken und insgesamt $n^3$ Möglichkeiten die drei Anstecker zu bedrucken. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit hat somit den folgenden Wert:

$\dfrac{n\cdot (n-1) \cdot (n-2)}{n^3 }$ $=\dfrac{ (n-1) \cdot (n-2)}{n^2 }$

$0,1n^2-3n+2 \gt 0$

Rechenweg anzeigen

Mit der $abc$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} n_{1;2}&=&\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^2-\frac{8}{10}}}{\frac{2}{10}} \\[5pt] &=&\dfrac{3\pm\sqrt{\frac{41}{5}}}{\frac{2}{10}} \\[5pt] n_1&\approx&29,32 \\[5pt] n_2&\approx&0,68 \end{array}$

Da es bei weniger als drei verschiedenen Motiven unmöglich ist, drei Anstecker mit jeweils verschiedenen Motiven zu erhalten, kann $n_1$ vernachlässigt werden.
Es muss somit insgesamt mindestens $30$ verschiedene Motive geben, damit sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $90\,\%$ drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden.

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