Teil B

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ einer ganzrationalen Funktion $f$ dritten Grades mit Definitionsmenge $\mathbb{R}.$ $G_f$ schneidet die $x$ -Achse bei $x=0, x=5$ und $x=10$ und verläuft durch den Punkt $(1\mid2).$

Abb. 1

Ermittle einen Funktionsterm von $f.$

(zur Kontrolle: $f(x)= \frac{1}{18}\cdot \left(x^3-15x^2+50x \right)$ )

(4 BE)

Zeige, dass $G_f$ im Punkt $W(5\mid 0)$ einen Wendepunkt besitzt, und ermittle eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W.$

(6 BE)

$G_f$ geht aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: x\mapsto \frac{1}{18}\cdot \left(x^3 -25x \right)$ durch eine Verschiebung in positive $x$ -Richtung hervor. Ermittle, um wie viel der Graph von $g$ dazu verschoben werden muss. Begründe mithilfe der Funktion $g,$ dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts ist.

(4 BE)

Im Folgenden wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F_1$ mit $F_1(x)= \displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\;\mathrm dt$ betrachtet.

$F_1$ hat für $0\leq x\leq 10$ zwei ganzzahlige Nullstellen. Gib diese an und begründe deine Angabe.

(3 BE)

Begründe mithilfe von Abbildung 1, dass $F_1$ mindestens eine weitere positive Nullstelle hat.

(2 BE)

Begründe, dass $F_1$ höchstens vier Nullstellen hat.

(2 BE)

Für $0\leq x\leq 5$ gilt, dass der Graph von $f$ und der Graph einer trigonometrischen Funktion $h$

die gleichen Schnittpunkte mit der $x$ -Achse besitzen,
beide nicht unterhalb der $x$ -Achse verlaufen,
jeweils mit der $x$ -Achse eine Fläche des Inhalts $\frac{625}{72}$ einschließen.

Bestimme einen Term einer solchen Funktion $h.$

(6 BE)

Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen, können durch die Funktion $K: x \mapsto x^3-12 x^2+50 x+20$ mit $x \in[0 ; 9]$ beschrieben werden. Dabei gibt $K(x)$ die Kosten in 1000 Euro an, die bei der Produktion von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $K.$

Abb. 2

Gib mithilfe von Abbildung 2

$\alpha)$

die Produktionsmenge an, bei der die Kosten $125000$ Euro betragen.

$\beta)$

das Monotonieverhalten von $K$ an und deute deine Angabe im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Die Funktion $E$ mit $E(x)=23 x$ gibt für $0 \leq x \leq 9$ den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von $x$ Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion $G$ gilt $G(x)=E(x)-K(x)$ . Positive Werte von $G$ werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.

Zeige, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden.

(2 BE)

Zeichne den Graphen von $E$ in Abbildung 2 ein. Bestimme mithilfe der so entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.

(3 BE)

Berechne, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.

(5 BE)

(40 BE)

Da $f$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist, hat ihr Funktionsterm die allgemeine Form $f(x)=ax^3 +bx^2 +cx +d.$ Die Aufgabenstellung liefert folgende Eigenschaften von $f:$

$f(0)=0$
$f(5)=0$
$f(10)=0$
$f(1)=2$

Damit ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

Gleichungssystem anzeigen

Aus der ersten Gleichung folgt direkt $d=0.$ Einsetzen in die anderen drei Gleichungen liefert:

$\(\begin{array}{lrll} \text{I$

Umstellen von Gleichung $\(\text{III$ nach $c$ liefert $c=2-a-b.$ Einsetzen in die anderen beiden Gleichungen liefert folgendes Gleichungssystem:

Gleichungssystem anzeigen

Umstellen von Gleichung $\(\text{I$ nach $b$ ergibt:

Rechenweg anzeigen

$b = -6a-\dfrac{1}{2}$

Einsetzen in $\(\text{II$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$a = \dfrac{1}{18}$

Einsetzen von $a=\frac{1}{18}$ in die Darstellungen von $b$ und $c$ liefert weiter:

$\begin{array}[t]{rll} b&=& -6\cdot \dfrac{1}{18} -\dfrac{1}{2}\\[5pt] &=& -\dfrac{5}{6} \\[10pt] c&=& 2-a-b \\[5pt] &=& 2-\dfrac{1}{18}-\left(-\dfrac{5}{6} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{25}{9} \\[5pt] \end{array}$

Ein Funktionsterm von $f$ lautet somit:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{18} x^3 -\dfrac{5}{6}x^2 + \dfrac{25}{9}x\\[5pt] &=& \dfrac{1}{18}\cdot(x^3-15x^2+50x) \end{array}$

Wendepunkt zeigen

Für die ersten drei Ableitungen von $f$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Wendestellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Wendestellen überprüfen

$\(f$

Das sowohl das notwendige als auch das hinreichende Kriterium für Wendestellen für $x=5$ erfüllt ist und aus der Aufgabenstellung $f(5)=0$ folgt, besitzt $G_f$ im Punkt mit den Koordinaten $W(5\mid0)$ einen Wendepunkt.

Tangentengleichung ermitteln

Für die Steigung $m$ der gesuchten Tangente folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

Einsetzen der Koordinaten von $W$ in $t:y=-\frac{25}{18}x+b$ liefert für $b:$

$\begin{array}[t]{rll} 0&=& -\dfrac{25}{18}\cdot 5 +b \\[5pt] 0&=& -\dfrac{125}{18}+b &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{125}{18} \\[5pt] \dfrac{125}{18}&=& b \end{array}$

Eine Gleichung der Tangente an $G_f$ im Punkt $W$ ist somit gegeben durch $t: y = -\frac{25}{18}x + \frac{125}{18}.$

Verschiebung ermitteln

Der Funktionsterm von $g$ lässt sich mit Hilfe der dritten binomischen Formel wie folgt umformen:

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& \dfrac{1}{18} \cdot \left(x^3-25x\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{18}x\cdot \left(x^2-25\right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{18}x\cdot \left(x-5\right)\cdot \left(x+5\right) \end{array}$

Aus dem Satz vom Nullprodukt folgt somit, dass die Nullstellen von $g$ durch $x=0, x=5$ und $x=-5$ gegeben sind. Da die Nullstellen von $f$ durch $x=0, x=5$ und $x=10$ gegeben sind, muss der Graph von $g$ um fünf Einheiten in positive $x$ -Richtung verschoben werden.

Symmetrie begründen

Da im Funktionsterm von $g$ die Variable $x$ nur mit ungeraden Exponenten vorkommt, ist der Graph von $g$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Da $G_f$ aus $G_g$ durch Verschiebung um fünf Einheiten in positive $x$ -Richtung hervorgeht und seinen Wendepunkt im Punkt mit den Koordinaten $W(5\mid0)$ besitzt, ist $G_f$ somit punktsymmetrisch bezüglich diesem.

Die Funktion $F_1$ beschreibt die Flächenbilanz der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse zwischen $1$ und einem allgemeinen $x$ einschließt.
Für $x=1$ gilt $F_1(x)=0,$ da die beiden Integrationsgrenzen übereinstimmen.
Nach Aufgabenteil c) ist $G_f$ punktsymmetrisch bezüglich seines Wendepunkts mit den Koordinaten $W(5\mid0).$ Der Inhalt der Fläche, die $G_f$ zusammen mit der $x$ -Achse zwischen $x=1$ und $x=5$ einschließt, ist somit gleich dem Inhalt der Fläche, die zwischen $x=5$ und $x=9$ eingeschlossen wird. Da die eine Fläche oberhalb und die andere unterhalb der $x$ -Achse liegt, nimmt $F_1$ auch an der Stelle $x=9$ den Wert Null an.

Da $G_f$ bei $x=10$ erneut die $x$ -Achse schneidet, gibt es analog zu den eingezeichneten Flächen $A_1$ und $A_2,$ deren Beitrag zum Wert von $F_1$ sich gegenseitig aufheben, zwei weitere gleichgroße Flächen $A_3$ und $A_4,$ die wie in der Skizze angeordnet sind. Somit besitzt $F_1$ an einer Stelle $x\gt10$ eine weitere Nullstelle.

Da $f$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist, ist die Integralfunktion $F_1$ eine ganzrationale Funktion vierten Grades, welche höchstens vier Nullstellen besitzen.

Aus der Aufgabenstellung lassen sich folgende Bedingungen ableiten:

$h(0)=0$
$h(5)=0$
$h(x)\geq 0$ für $0\leq x \leq 5$
$\displaystyle\int_{0}^{5}h(x)\;\mathrm dx = \frac{625}{72}$

Aufgrund der ersten und dritten Bedingung eignet sich für $h$ am besten eine Sinusfunktion der folgenden allgemeinen Form:

$h(x)= a\cdot \sin(bx-c)+d$

Damit $h(0)=0$ gilt, muss $c=d=0$ gelten. Somit ergibt sich $h(x)= a\cdot \sin(bx).$ Da die nächste Nullstelle bei $x=5$ liegen soll, besitzt die Funktion $h$ eine Periode von $p=10.$ Für $b$ folgt damit $b=\frac{2\pi}{p}=\frac{\pi}{5}.$
Mit Hilfe der letzten Bedingung folgt nun für $a:$

Rechenweg anzeigen

$a = \dfrac{625\pi}{720}$

Eine möglicher Funktionsterm ist somit gegeben durch $h(x)=\frac{625\pi}{720} \cdot\sin\left(\frac{\pi}{5}x \right).$

$\alpha)$

Die Kosten betragen bei einer Produktionsmenge von ca. $7$ Kubikmetern der Flüssigkeit $125000$ Euro.

$\beta)$

Die Abbildung liefert, dass $K$ für $0\leq x \leq 9$ streng monoton steigt. Die Kosten steigen somit mit der Menge der produzierten Flüssigkeit.

Rechenweg anzeigen

$G(4)=0$

Bei einem Verkauf von $4$ Kubikmetern der Flüssigkeit beträgt der Gewinn $0\,\,€.$ Das Unternehmen erzielt in diesem Fall somit keinen Gewinn.

Das Unternehmen erzielt dann Gewinn, wenn der Erlös größer ist als die Kosten, das heißt wenn der in der Abbildung grün eingezeichnete Graph von $E$ oberhalb des Graphen von $K$ verläuft. Mit Hilfe der Abbildung folgt somit, dass die verkaufte Menge der Flüssigkeit im Bereich zwischen $4$ und $8,5$ Kubikmetern liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.

Für die ersten beiden Ableitungen der Gewinnfunktion $G$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} G$

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} G$

Mit der $abc$ -Formel folgt:

Rechenweg anzeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&4-\sqrt{7} \\[5pt] x_2&=&4+\sqrt{7} \end{array}$

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} G$

An der Stelle $x_2= 4+\sqrt{7}$ besitzt der Graph von $G$ somit seinen einzigen Hochpunkt. Da aus der Abbildung aus Aufgabenteil 2c) entnommen werden kann, dass die Funktionswerte von $G$ an den Intervallrändern negativ sind, ist der Gewinn an der Stelle $x_2= 4+\sqrt{7}$ tatsächlich maximal. Es müssen somit $4+\sqrt{7}\approx 6,65$ Kubikmeter der Flüssigkeit verkauft werden, damit das Unternehmen den größten Gewinn erzielt.