Teil B

Für die Fernsehübertragung eines Fußballspiels wird über dem Spielfeld eine bewegliche Kamera installiert. Ein Seilzugsystem, das an vier Masten befestigt wird, hält die Kamera in der gewünschten Position. Seilwinden, welche die Seile koordiniert verkürzen und verlängern, ermöglichen eine Bewegung der Kamera.
In der Abbildung ist das horizontale Spielfeld modellhaft als Rechteck in der $x_1x_2$ -Ebene eines kartesischen Koordinatensystems dargestellt. Die Punkte $W_1, W_2 , W_3$ und $W_4$ beschreiben die Positionen der vier Seilwinden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\,\text{m}$ in der Realität, d.h. alle vier Seilwinden sind in einer Höhe von $30\,\text{m}$ angebracht.

Diagramm eines Spielfeldes mit verschiedenen Punkten und Linien in einem 3D-Koordinatensystem.

Abb. 1

Der Punkt $A(45\mid 60\mid 0)$ beschreibt die Lage des Anstoßpunkts auf dem Spielfeld. Die Kamera befindet sich zunächst in einer Höhe von $25\,\text{m}$ vertikal über dem Anstoßpunkt. Um den Anstoß zu filmen, wird die Kamera um $19\,\text{m}$ vertikal abgesenkt. In der Abbildung ist die ursprüngliche Kameraposition durch den Punkt $K_0$ , die abgesenkte Position durch den Punkt $K_1$ dargestellt.

Berechne die Seillänge, die von jeder der vier Seilwinden abgerollt werden muss, um dieses Absenken zu ermöglichen, wenn man davon ausgeht, dass die Seile geradlinig verlaufen.

(4 BE)

Kurze Zeit später legt sich ein Torhüter den Ball für einen Abstoß bereit. Der Abstoß soll von der Kamera aufgenommen werden. Durch das gleichzeitige Verlängern beziehungsweise Verkürzen der vier Seile wird die Kamera entlang einer geraden Bahn zu einem Zielpunkt bewegt, der in einer Höhe von $10\,\text{m}$ über dem Spielfeld liegt. Im Modell wird der Zielpunkt durch den Punkt $K_2$ beschrieben, die Bewegung der Kamera erfolgt vom Punkt $K_1$ entlang der Geraden $g$ mit der Gleichung $g:\overrightarrow{X}= \overrightarrow{K_1} + \lambda \cdot \pmatrix{3 \\ 20 \\ 2}, \lambda\in\mathbb{R},$ zum Punkt $K_2$ .

Bestimme die Koordinaten von $K_2$ .

(Ergebnis: $K_2(51\mid 100\mid 10)$ )

(3 BE)

Im Zielpunkt ist die Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert. Um die Position des Balls anzuvisieren, die im Modell durch den Punkt $B(40\mid 105\mid 0)$ beschrieben wird, muss die Kamera gedreht werden. Berechne die Größe des erforderlichen Drehwinkels.

(4 BE)

Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt $H(50\mid 70\mid 15)$ beschrieben.

Ermittle eine Gleichung der durch die Punkte $W_1, W_2$ und $K_2$ festgelegten Ebene $E$ in Normalenform und weise nach, dass $H$ unterhalb von $E$ liegt.

(Mögliches Teilergebnis: $E:x_2+5x_3-150=0$ )

(7 BE)

Mache plausibel, dass folgende allgemeine Schlussfolgerung falsch ist: „Liegen der Startpunkt und der anvisierte höchste Punkt einer Flugbahn des Balls im Modell unterhalb der Ebene $E$ , so kann der Ball entlang seiner Bahn die Seile, die durch $[W_1K_2]$ und $[W_2K_2]$ beschrieben werden, nicht berühren.“

(2 BE)

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Benötigte Seillänge berechnen

Du sollst die benötigte Seillänge an den vier Masten zum Ablassen der Kamera berechnen. Da der Anstoßpunkt aufgrund der Koordinaten im Modell in der Mitte des Spielfelds liegt, ist diese benötigte Seillänge an allen vier Masten gleich.
Betrachte also den Längenunterschied der beiden Strecken $\left[W_1 K_0\right]$ und $\left[W_1 K_1\right].$

$K_0$ und $K_1$ beschreiben die Position der Kamera vertikal über dem Anstoßpunkt. Sie haben daher die gleiche $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten wie $A.$ Die $z$ -Koordinate lässt sich aus der jeweiligen Höhe der Kamera über dem Anstoßpunkt ableiten.

$K_0(45\mid 60\mid 25)$ und $K_1(45\mid 60\mid 6)$

Die Längen der beiden Strecken lassen sich über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnen:

$\left|\overrightarrow{a}\right| =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

$\left|\overrightarrow{ W_1K_0}\right| \approx 75,17$

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$\overrightarrow{ W_1K_1}\approx 78,75$

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Die benötigte Seillänge $l$ pro Mast ergibt sich aus der Differenz dieser beiden Abstände:

$\begin{array}[t]{rll} l&=& 78,75-75,17 \\[5pt] &=& 3,58 \end{array}$

Pro Mast müssen $3,58\,$ m Seillänge abgerollt werden.

$\blacktriangleright$ Koordinaten von $\boldsymbol{K_2}$ ermitteln

Du sollst die Koordinaten von $K_2$ bestimmen. $K_2$ liegt auf der Geraden $g$ mit $\overrightarrow{x} = \overrightarrow{K_1}+\lambda \pmatrix{3 \\ 20\\ 2}$ .
Die Koordinaten von $K_1$ hast du oben bereits bestimmt, die Geradengleichung lautet also:

$g: \quad \overrightarrow{X} = \pmatrix{45\\60\\6}+\lambda \pmatrix{3 \\ 20\\ 2}$

Der Zielpunkt befindet sich in einer Höhe von $10\,\text{m}$ über dem Spielfeld, weshalb die $x_3$ -Koordinate von $K_2$ $10$ sein muss. Gleichsetzen liefert dann folgendes lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&x_1&=& 45+3\cdot \lambda \\ \text{II}\quad&x_2&=& 60+20\cdot \lambda \\ \text{III}\quad&10&=& 6+2\cdot \lambda \\ \end{array}$

Aus der dritten Gleichung ergibt sich:

$2= \lambda$

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Mit diesem Wert für $\lambda$ berechnest du die übrigen zwei Koordinaten.

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 51 \\[10pt] x_2&=& 100 \\[10pt] \end{array}$

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Die Koordinaten von $K_2$ sind $(51 \mid 100 \mid 10)$ .

$\blacktriangleright$ Drehwinkel zum Ball berechnen

Du sollst berechnen, um welchen Drehwinkel die Kamera gedreht werden muss, damit sie den Ball auf $B\,(40\mid 105\mid 0)$ anvisiert.

Die beiden Blickrichtungen der Kamera können durch zwei Geraden dargestellt werden. Gesucht ist dann die Größe des Schnittwinkels dieser beiden Geraden.

Dieser kann mithilfe der beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{r}_1$ und $\overrightarrow{r}_2$ mit folgender Formel berechnet werden:

$\cos \alpha = \dfrac{\left|\overrightarrow{r}_1 \circ\overrightarrow{r}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{r}_1 \right| \cdot \left| \overrightarrow{r}_2\right|}$

Zu Beginn ist die Kamera senkrecht nach unten orientiert, im Modell also in Richtung des Vektors $\overrightarrow{r}_1 = \pmatrix{0\\0\\-1}.$ Sie befindet sich im Punkt $K_2$ und soll in Richtung des Ballpunkts $B$ gedreht werden. Die gewünschte Blickrichtung wird also durch den Vektor $\overrightarrow{r}_2 = \overrightarrow{K_2B}$ beschrieben:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{r}_2 &=& \overrightarrow{K_2B} \\[5pt] &=& \pmatrix{-11\\5\\-10} \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen der beiden Richtungsvektoren liefert:

$\alpha\approx 50,39^{\circ}$

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Die Kamera muss um einen Winkel von ca. $50,39^{\circ}$ gedreht werden.

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung ermitteln

Du sollst eine Ebenengleichung für die Ebene $E$ in Normalenform ermitteln, die die drei Punkte $W_1$ , $W_2$ und $K_2$ enthält. Mit dem Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der drei Punkte kannst du einen Normalenvektor von $E$ berechnen:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2\\a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3\\a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1}$

$\overrightarrow{n} = -1.800\cdot \pmatrix{0\\1\\5}$

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Es kann nun sowohl der ursprüngliche als auch der gekürzte Normalenvektor $\pmatrix{0\\1\\5}$ verwendet werden. Die Ebenengleichung hat daher folgende vorläufige Form:

$0\cdot x_1 + 1\cdot x_2+5\cdot x_3 - d = 0$

Um die Konstante $d$ zu ermitteln, kannst du die Koordinaten eines Punkts in der Ebene in die Gleichung einsetzen, beispielsweise die Koordinaten von $W_1:$

$150 =d$

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Eine Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform lautet also:

$E: \quad x_2+5\cdot x_3 - 150 = 0$

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{H}$ liegt unterhalb der Ebene nachweisen

Du sollst nachweisen, dass $H$ unterhalb der Ebene liegt. Berechne dazu die $x_3$ -Koordinate des Punkts, der senkrecht oberhalb von $H$ aber in der Ebene $E$ liegt. Dieser hat dieselbe $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten wie $H.$ Setze dazu die $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten von $H$ in die Ebenengleichung ein und berechne $x_3$ .

$16 = x_3$

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Die $x_3$ -Koordinate des Punktes in der Ebene mit $x_1=50$ und $x_2=70$ beträgt $16$ . Die $x_3$ -Koordinate von $H$ beträgt allerdings nur $15$ , somit liegt $H$ unterhalb der Ebene $E$ .

$\blacktriangleright$ Plausibel machen, dass die Schlussfolgerung falsch ist

Du sollst begründen, dass folgende Aussage falsch ist:

Wenn der Startpunkt und der höchste Punkt der Flugbahn eines Balls im Modell unterhalb der Ebene $E$ liegen, trifft der Ball die Seile, die im Modell die Endpunkte $W_1$ und $K_2$ bzw. $W_2$ und $K_2$ haben, nicht.

Überlege dir dazu ein Gegenbeispiel, indem du den Sachverhalt auf zwei Dimensionen herunterbrichst.

In der Skizze stellt die Gerade den Verlauf der Ebene $E$ dar. Die Parabel beschreibt die parabelförmige Flugbahn des Balls. Sowohl der Startpunkt $C$ als auch der höchste Punkt, der Scheitelpunkt der Parabel $D,$ liegen unterhalb der Ebene $E.$

Graph eines mathematischen Funktionsverlaufs mit einer grünen Kurve und einer grauen Linie. Punkte C und D sind markiert.

Abb. 1: Skizze

Da die Parabel aber nach ihrem Scheitelpunkt langsamer fällt als die Gerade und damit die Ebene $E,$ schneiden sich Gerade und Parabel. Die Flugbahn würde in dem Fall also trotzdem die Ebene, in der die Seile liegen durchkreuzen und kann damit auch die Seile treffen.
Das liegt an der Neigung der Ebene $E$ zur $x_1x_2$ -Ebene. Wäre $E$ parallel zur $x_1x_2$ -Ebene, wäre die Aussage richtig.

Bildnachweise [nach oben]

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