Teil B

Die Punkte $A( 6 \mid 0 \mid 4), B (0 \mid 6 \mid 4),$ $C(-6 \mid 0 \mid 4)$ und $D$ liegen in der Ebene $E$ und bilden die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche einer Pyramide $ABCDS$ mit der Spitze $S( 0\mid 0 \mid 1).$ $A, B$ und $S$ liegen in der Ebene $F.$

Zeige rechnerisch, dass das Dreieck $ABS$ gleichschenklig ist. Gib die Koordinaten des Punkts $D$ an und beschreibe die besondere Lage der Ebene $E$ im Koordinatensystem.

(4 BE)

Bestimme eine Gleichung der Ebene $F$ in Koordinatenform.

[zur Kontrolle: $F:x_1 + x_2 -2x_3 +2=0$ ]

(3 BE)

Berechne das Volumen $V$ der Pyramide $ABCDS.$

[zur Kontrolle: $V=72$ ]

(2 BE)

Ein auf einer Stange montierter Brunnen besteht aus einer Marmorkugel, die in einer Bronzeschale liegt. Die Marmorkugel berührt die vier Innenwände der Bronzeschale an jeweils genau einer Stelle. Die Bronzeschale wird im Modell durch die Seitenflächen der Pyramide $ABCDS$ beschrieben, die Marmorkugel durch eine Kugel mit Mittelpunkt $M( 0\mid0\mid4)$ und Radius $r$ . Die $x_1x_2-$ Ebene des Koordinatensystems stellt im Modell den horizontal verlaufenden Erdboden dar; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.

Diagramm einer Kugel mit beschrifteten Punkten und Linien, die verschiedene geometrische Aspekte darstellen.

Ermittle den Durchmesser der Marmorkugel auf Zentimeter genau.

[zur Kontrolle: $r=\sqrt{6}$ ]

(4 BE)

Weise nach, dass der höchste Punkt des Brunnens ca. $64\;\text{cm}$ über dem Erdboden liegt.

(2 BE)

Auf der Oberfläche der Marmorkugel treten an vier Stellen Wasserfontänen aus. Eine dieser Austrittsstellen wird im Modell durch den Punkt $L_0(1\mid1\mid 6)$ beschrieben. Die zugehörige Fontäne wird modellhaft durch Punkte $L_t \left( t+1 \mid t+1\mid 6,2-5 \cdot (t-0,2)^2 \right)$ mit geeigneten Werten $t \in \mathbb{R}^+_0$ beschrieben.

Der Punkt $P$ liegt innerhalb des Dreiecks $ABS$ und beschreibt im Modell die Stelle, an der die Fontäne auf die Bronzeschale trifft (vgl. Abbildung). Bestimme die Koordinaten von $P.$

(4 BE)

Untersuche, ob der höchste Punkt der Wasserfontäne höher liegt als der höchste Punkt des Brunnens.

(2 BE)

Aus den vier Austrittsstellen fließen pro Sekunde insgesamt 80 ml Wasser in die Bronzeschale. Bestimme die Zeit in Sekunden, die vergeht, bis der anfangs leere Brunnen vollständig mit Wasser gefüllt ist.

(4 BE)

(25 BE)

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Gleichschenkligkeit zeigen

$d(A,S)= \left| \pmatrix{6-0\\0-0\\4-1} \right|$ $= \sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}$

$d(B,S)= \left| \pmatrix{0-0\\6-0\\4-1} \right|$ $= \sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}$

Koordinaten von $\boldsymbol{D}$ angeben

Da die Grundfläche quadratisch ist, ergeben sich die Koordinaten von $D$ als $D(0\mid -6\mid 4).$

Lage der Ebene $\boldsymbol{E}$ beschreiben

Da alle Eckpunkte der Grundfläche die gleiche $x_3$ -Koordinate besitzen, liegt die Ebene $E$ parallel zur $x_1x_2$ -Ebene.

Zwei Spannvektoren der Ebene $F$ sind gegeben durch $\overrightarrow{AS}=\pmatrix{-6\\0\\-3}$ und $\overrightarrow{BS}=\pmatrix{0\\-6\\-3}.$ Ein Normalenvektor der Ebene ergibt sich somit wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n_F}&=&\pmatrix{-6\\0\\-3} \times \pmatrix{0\\-6\\-3} \\[5pt] &=&\pmatrix{-18\\-18\\36 } \\[5pt] &=&-18 \cdot \pmatrix{1\\1\\-2} \end{array}$

Mit dem Normalenvektor $-\frac{1}{18}\cdot\overrightarrow{n_F}$ und Einsetzen der Koordinaten von $S$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_1+x_2-2x_3 +c&=& 0 \\[5pt] -2 \cdot 1 +c &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+2\\[5pt] c &=& 2 \\[5pt] \end{array}$

Eine Ebenengleichung von $F$ in Koordinatenform lautet somit $F:x_1+x_2-2x_3+2=0.$

Die Höhe $h$ der Pyramide entspricht dem Abstand von $S$ zur Ebene $E.$ Da $E$ parallel zur $x_1x_2$ -Ebene in der Höhe $x_3=4$ liegt, folgt:

$h = 4-1 =3\;[\text{LE}]$

Da die Grundfläche quadratisch ist, gilt für den Flächeninhalt dieser:

$G= \left| \overrightarrow{AB} \right|^2 = \left| \pmatrix{-6\\6\\0} \right|^2$ $= \sqrt{6^2+6^2}^2 =72\;[\text{FE}]$

Für das Volumen der Pyramide folgt somit:

$V= \dfrac{1}{3} \cdot 72 \cdot 3 =72\;[\text{VE}]$

Der Radius $r$ der Kugel entspricht dem Abstand von dem Mittelpunkt $M$ der Kugel zu den Seitenflächen, also beispielsweise dem Abstand von $M$ zur Ebene $F.$ Mit der Hesseschen Normalform ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} r&=& d(M,F) \\[5pt] &=&\left\vert \dfrac{0+0-2\cdot 4 +2}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}} \right\vert &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\left| \dfrac{-6}{\sqrt{6}} \right| &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\sqrt{6} \;[\text{dm}] \end{array}$

Für den Durchmesser $d$ der Kugel folgt somit:

$d=2\cdot r= 2 \cdot \sqrt{6} \;\text{dm}$ $\approx 4,9\;\text{dm} = 49\;\text{cm}$

Die Höhe des höchsten Punkts über dem Erdboden ist die Summe aus

dem Abstand der Pyramidenspitze zum Erdboden, also der Abstand von $S$ zur $x_1x_2-$ Ebene, welcher $1\;\text{dm}$ beträgt.
dem Abstand von der Pyramidenspitze zum Mittelpunkt der Kugel, das heißt $d(M,S) = 4-1 =3\,\text{[dm]}.$
dem Abstand vom Mittelpunkt der Kugel zum höchsten Punkt der Kugel, das heißt dem Radius $r = \sqrt{6}\;\text{dm}.$

Insgesamt ergibt sich damit für den Abstand $a$ des höchsten Punkts des Brunnens vom Erdboden:

$a = 1\;\text{dm} + 3\;\text{dm} + \sqrt{6}\;\text{dm}$ $\approx 6,4\,\text{dm} = 64\;\text{cm}$

Einsetzen der Koordinaten von $L_t$ in die Koordinatengleichung von $F$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$10t^2-2t-8=0$

Mit der $abc$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} t_{1;2}&=&\dfrac{2\pm\sqrt{(-2)^2+320}}{20} \\[5pt] &=&\dfrac{2\pm\sqrt{324}}{20}\\[5pt] t_1&=&1 \\[5pt] t_2&=&-0,8 \end{array}$

Da $t\in \mathbb{R}^+_0$ gelten muss, kann $t_2$ vernachlässigt werden. Einsetzen von $t_2$ in die Koordinaten von $L_t$ liefert für die Koordinaten von $P:$

$P(2 \mid 2 \mid 3)$

Der höchste Punkt der Wasserfontäne ergibt sich mit Hilfe der maximalen $x_3$ -Koordinate von $L_t.$ Die $x_3$ -Koordinate von $L_t$ entspricht einer nach unten geöffneten Parabel in Scheitelpunktform. Die Koordinaten des Scheitelpunktes ergeben sich somit als $S_p(0,2 \mid 6,2).$
Da der Scheitelpunkt bei einer nach unten geöffneten Parabel den Hochpunkt dieser beschreibt, liegt der höchste Punkt der Wasserfontäne $6,2\;\text{dm} = 62 \;\text{cm}$ über dem Erdboden und damit unter dem höchsten Punkt des Brunnens.

Für das maximale Fassvermögen des Brunnens folgt:

$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Wasser}}&=&V_{\text{Pyramide}}-V_{\text{Halbkugel}} \\[5pt] &=&72-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \\[5pt] &=&72-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot (\sqrt{6})^3 \cdot \pi \\[5pt] &=&72-4\sqrt{6} \cdot \pi \\[5pt] &\approx&41,21880 \;[\text{dm}^3] \\[5pt] &=& 41218,8\;\text{ml} \end{array}$

Somit ist der anfangs leere Brunnen nach ca. $\frac{41218,8}{80} \approx 515,24\;\text{s}$ vollständig mit Wasser gefüllt.

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