Teil A

Bei einem Zufallsexperiment wird eine ideale Münze so lange geworfen, bis zum zweiten Mal Zahl $\text{(Z)}$ oder zum zweiten Mal Wappen $\text{(W)}$ oben liegt. Als Ergebnismenge wird festgelegt: $\text{{ZZ; WW; ZWZ; ZWW; WZZ; WZW}}$ .

Begründe, dass dieses Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist.

(2P)

Die Zufallsgröße $\text{X}$ ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechne den Erwartungswert von $\text{X}$ .

(3 BE)

An einem P-Seminar nehmen acht Mädchen und sechs Jungen teil, darunter Anna und Tobias. Für eine Präsentation wird per Los aus den Teilnehmerinnen und Teilnehmern ein Team aus vier Personen zusammengestellt.

Gib zu jedem der folgenden Ereignisse einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet werden kann.
$\text{A}$ : „Anna und Tobias gehören dem Team an.“
$\text{B}$ : „Das Team besteht aus gleich vielen Mädchen und Jungen.“

(3 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch den folgenden Term berechnet werden kann:

$\dfrac{\pmatrix{14 \\ 4}-\pmatrix{6 \\ 4}}{\pmatrix{14 \\ 4}}$

(2 BE)

(10 BE)

$\blacktriangleright$ Begründen, dass das Zufallsexperiment kein Laplace-Experiment ist

Du sollst begründen, dass das Zufallsexperiment mit der Ergebnismenge $\Omega$ kein Laplace-Experiment ist. Charakteristisch für ein Laplace-Experiment ist, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis direkt aus der Anzahl der günstigen Ereignisse folgt. Somit müsste für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $ZZ$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} P(ZZ)&=& \dfrac{1}{\vert \Omega\vert} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{6} \end{array}$

Allerdings beträgt $P(ZZ)$ :

$\begin{array}[t]{rll} P(ZZ)&=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\neq\frac{1}{6} \end{array}$

Somit kann es sich nicht um ein Laplace-Experiment handeln.

$\blacktriangleright$ Erwartungswert berechnen

Du sollst den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ angeben. $X$ gibt die Anzahl der Würfe zum jeweiligen Ereignis an. Den Erwartungswert berechnest du mit der Multiplikation des Ergebnisses mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Es gibt zwei mögliche Werte von $X,$ deren Wahrscheinlichkeiten mit den Pfadregeln bestimmt werden können:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=2)&=& P(ZZ)+P(WW) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[10pt] P(X=3)&=& P(ZWW)+P(ZWZ)+P(WZZ)+P(WZW) \\[5pt] &=& 4\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 2\cdot \left(\frac{1}{2}\right)+3\cdot\left(\frac{1}{2}\right) \\[5pt] &=& \frac{5}{2}=2,5 \end{array}$

Es wird im Schnitt $2,5$ -mal geworfen.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit von Ereignis $\boldsymbol{A}$ berechnen

Ereignis $A$ tritt ein, wenn Tobias und Anna im Team sind. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit kann die hypergeometrische Verteilung verwendet werden.

$P(X=k)=\dfrac{\binom{M}{k}\cdot\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

Unterscheide die Kinder dazu in zwei Gruppen: „Tobias und Anna“ und die übrigen $12$ Kinder.
Sei $X$ eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable, welche die Anzahl der Kinder im Team beschreibt, die der Gruppe „Tobias und Anna“ angehören. Aus der Gruppe „Tobias und Anna“, die aus $M=2$ Kindern besteht, sollen beide Kinder $(k=2)$ im Team sein. Dieses wird durch $n=4$ Kinder der Gesamtmenge gebildet, in der sich insgesamt $N=14$ Kinder befinden.

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=2) \\[5pt] &=&\dfrac{\binom{2}{2}\cdot\binom{14-2}{4-2}}{\binom{14}{4}} \\[5pt] &=&\dfrac{\binom{12}{2}}{\binom{14}{4}} \\[5pt] \end{array}$

Ausrechnen musst du diesen Term nicht, da nur gefragt war ihn anzugeben.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$ berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass gleich viele Mädchen und Jungen im Team sind. Das Team besteht also aus jeweils zwei Jungen und zwei Mädchen. Betrachtest du ein Mädchen als „günstiges Ereignis“ kannst du erneut die Formel für eine hypergeometrische Verteilung mit $M=8$ , $N=14$ , $n=4$ und $k=2$ betrachten.

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& \dfrac{\binom{8}{2}\cdot\binom{14-8}{4-2}}{\binom{14}{4}} \\[5pt] &=& \dfrac{\binom{8}{2}\cdot\binom{6}{2}}{\binom{14}{4}} \end{array}$

Auch hier solltest du lediglich den Term angeben und musst diesen nicht ausrechnen.

$\blacktriangleright$ Term im Sachzusammenhang beschreiben

Du sollst die Bedeutung eines Terms im Sachzusammenhang beschreiben. Durch den Bruch aus Binomialkoeffizienten kannst du davon ausgehen, dass es sich um eine hypergeometrische Verteilung handelt. Du willst den Term auf eine solche Form bringen.

1. Schritt: Die Subtraktion im Zähler eliminieren

Als erstes eliminierst du die Subtraktion im Zähler. Hierzu ziehst du den Bruch auseinander, um dann zu kürzen.

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\binom{14}{4}-\binom{6}{4}}{\binom{14}{4}}&=& \dfrac{\binom{14}{4}}{\binom{14}{4}}-\dfrac{\binom{6}{4}}{\binom{14}{4}} \\[5pt] &=& 1-\dfrac{\binom{6}{4}}{\binom{14}{4}} \end{array}$

2. Schritt: Übrige Terme interpretieren

Du erkennst, dass es sich durch das „ $1-$ “ um eine Gegenwahrscheinlichkeit handelt. Du betrachtest desweiteren den Bruch. Aus dem Nenner kannst du $N=14$ und $n=4$ ablesen. Gehst du davon aus, dass der Term im Zähler $\binom{M}{k}$ entspricht, dann erhältst du $M=6$ und $k=4.$
Setze dies in die Formel ein und überprüfe deine Vermutung:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{14-6}{4-4}}{\binom{14}{4}}&=& \dfrac{\binom{6}{4}\cdot \binom{8}{0}}{\binom{14}{4}} \\[5pt] &=& \dfrac{\binom{6}{4}\cdot 1}{\binom{14}{4}} \\[5pt] &=& \dfrac{\binom{6}{4}\cdot 1}{\binom{14}{4}} \\[5pt] \end{array}$

$6$ ist die Anzahl der Jungen, ein Junge wird demnach als Erfolg betrachtet. Dies ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle vier Teammitglieder Jungen sind. Der ursprüngliche Term beschreibt die Gegenwahrscheinlichkeit dazu.
Der Term beschreibt also die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Mädchen in die Mannschaft gewählt wird.