Teil B

Jeder sechste Besucher eines Volksfests trägt ein Lebkuchenherz um den Hals. Während der Dauer des Volksfests wird 25-mal ein Besucher zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der ausgewählten Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ausgewählten Besuchern höchstens ein Besucher ein Lebkuchenherz trägt.

(2 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\displaystyle\sum\limits_{i=5}^8 B (25;\frac{1}{6};i)$ berechnet werden kann.

(2 BE)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße $X$ höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert der Zufallsgröße abweicht.

(4 BE)

Bei einer Losbude wird damit geworben, dass jedes Los gewinnt. Die Lose und die zugehörigen Sachpreise können drei Kategorien zugeordnet werden, die mit „Donau“, „Main“ und „Lech“ bezeichnet werden. Im Lostopf befinden sich viermal so viele Lose der Kategorie „Main“ wie Lose der Kategorie „Donau“. Ein Los kostet $1$ Euro. Die Inhaberin der Losbude bezahlt im Einkauf für einen Sachpreis in der Kategorie „Donau“ $8$ Euro, in der Kategorie „Main“ $2$ Euro und in der Kategorie „Lech“ $20$ Cent. Ermittle, wie groß der Anteil der Lose der Kategorie „Donau“ sein muss, wenn die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von $35$ Cent pro Los erzielen will.

(5 BE)

Die Inhaberin der Losbude beschäftigt einen Angestellten, der Besucher des Volksfests anspricht, um diese zum Kauf von Losen zu animieren. Sie ist mit der Erfolgsquote des Angestellten unzufrieden.

Die Inhaberin möchte dem Angestellten das Gehalt kürzen, wenn weniger als $15\,\%$ der angesprochenen Besucher Lose kaufen. Die Entscheidung über die Gehaltskürzung soll mithilfe eines Signifikanztests auf der Grundlage von 100 angesprochenen Besuchern getroffen werden. Dabei soll möglichst vermieden werden, dem Angestellten das Gehalt zu Unrecht zu kürzen. Gib die entsprechende Nullhypothese an und ermittle die zugehörige Entscheidungsregel auf dem Signifikanzniveau von $10\,\%.$

(5 BE)

Der Angestellte konnte bei der Durchführung des Tests zehn von 100 erwachsenen Besuchern dazu animieren, Lose zu kaufen. Er behauptet, dass er zumindest bei Personen mit Kind eine Erfolgsquote größer als $10\,\%$ habe. Unter den 100 angesprochenen Besuchern befanden sich 40 Personen mit Kind. Von den Personen ohne Kind zogen 54 kein Los. Überprüfe, ob das Ergebnis der Stichprobe die Behauptung des Angestellten stützt.

(2 BE)

(20 BE)

Die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der Besucher, die ein Lebkuchenherz tragen, beschreibt, ist binomialverteilt mit den Parametern $n=25$ und $p=\frac{1}{6}.$ Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} P(X\leq 1) &\approx& 0,0629 \\[5pt] &=& 6,29\,\% \end{array}$

„Von 25 zufällig ausgewählten Besuchern des Volksfestes tragen mindestens 5 und höchstens 8 Besucher ein Lebkuchenherz.“

Für den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 25\cdot \dfrac{1}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{25}{6} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \sigma &=& \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{ 25\cdot \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{5}{6}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{125}{36}} \\[5pt] &=& \dfrac{\sqrt{125}}{6} \end{array}$

Mit diesen Werten folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

Rechenweg anzeigen

$P(\mu -\sigma \leq X \leq \mu +\sigma) \approx 70,21\,\%$

Der gesuchte Anteil der Lose der Kategorie „Donau“ wird mit $p$ bezeichnet. Damit ergibt sich der Anteil der Lose der Kategorie „Main“ zu $4p$ und der der Kategorie „Lech“ als $1-p-4p = 1-5p.$ Für die erwarteten Kosten im Einkauf folgt somit:

Rechenweg anzeigen

$E(K) = p\cdot 15\,€ + 0,2\,€$

Da jedes Los für einen Euro verkauft wird, folgt für den erwarteten Gewinn der Inhaberin pro Los:

$\begin{array}[t]{rll} E(G) &=& 1\,€ - E(K) \\[5pt] &=& 1\,€ - \left(p\cdot 15\,€ + 0,2\,€ \right) \\[5pt] &=& 0,8\,€ - p\cdot 15\,€ \end{array}$

Für den gesuchten Anteil der Lose der Kategorie „Donau“ folgt somit:

Rechenweg anzeigen

$p = 0,03$

Damit die Inhaberin im Mittel einen Gewinn von $35$ Cent pro Los erzielt, muss der Anteil der Lose der Kategorie „Donau“ somit $3\,\%$ betragen.

Nullhypothese angeben

Es soll vermieden werden, dem Angestellten zu Unrecht das Gehalt zu kürzen. Das würde passieren, wenn fälschlicherweise davon ausgegangen werden würde, dass der Anteil der angesprochenen Besucher, die Lose kaufen, geringer als $15\,\%$ ist, obwohl er eigentlich bei mindestens $15\,\%$ liegt. Die Nullhypothese muss somit wie folgt gewählt werden:

$H_0:$

„Mindestens $15\,\%$ der angesprochenen Besucher kaufen Lose.“

Entscheidungsregel ermitteln

Die Zufallsgröße $X,$ die in der Stichprobe von $100$ angesprochenen Besuchern die Anzahl der Besucher beschreibt, die Lose kaufen, kann nach der Nullhypothese als binomialverteilt mit $n=100$ und $p=0,15$ angenommen werden.
Gesucht ist nun der größte Wert für $k,$ sodass folgende Ungleichung gilt:

$P(X \leq k) \leq 0,1$

Durch systematisches Ausprobieren folgt mit dem Taschenrechner:

$P(X\leq 10) \approx 0,0994 \lt 0,1$
$P(X\leq 11) \approx 0,1635 \gt 0,1$

Damit gilt folgende Entscheidungsregel:

Kaufen in der Stichprobe von $100$ angesprochenen Besuchern höchstens $10$ Besucher Lose, so kürzt die Inhaberin der Losbude dem Angestellten das Gehalt. Kaufen mehr als $10$ angesprochene Besucher Lose, kürzt die Inhaberin dem Angestellten nicht das Gehalt.

$10$ von $100$ angesprochenen Besuchern haben Lose gekauft. Von den $60$ Personen ohne Kinder haben $54$ keine Lose gekauft, also haben $6$ Personen ohne Kinder Lose gekauft. Daher haben von den $40$ Personen mit Kindern $4$ Personen Lose gekauft.
Da $\frac{4}{40}=0,1=10\,\%$ entspricht, stützt das Ergebnis der Stichprobe die Behauptung des Angestellten somit nicht.