Teil B

Auf einem Abschnitt einer wenig befahrenen Landstraße ist eine Höchstgeschwindigkeit von $80\;\text{km}/\text{h}$ zugelassen. An einer Stelle dieses Abschnitts wird die Geschwindigkeit vorbeifahrender Pkw gemessen. Im Folgenden werden vereinfachend nur solche Fahrten betrachtet, bei denen die Fahrer die Geschwindigkeit unabhängig voneinander wählen konnten.

Für die ersten $200$ erfassten Fahrten ergab sich nach Einteilung in Geschwindigkeitsklassen die folgende Verteilung:

Bei $62\,\%$ der $200$ Fahrten war der Fahrer allein unterwegs, $65$ dieser Alleinfahrer fuhren zu schnell. Aus den $200$ Fahrten wird eine zufällig ausgewählt. Es werden folgende Ereignisse betrachtet:

$A:$

„Der Fahrer war allein unterwegs.“

$S:$

„Der Pkw war zu schnell.“

Weise nach, dass die Ereignisse $A$ und $S$ stochastisch abhängig sind, und gib hierfür einen möglichen Grund im Sachzusammenhang an.

(5 BE)

Die Geschwindigkeitsmessungen werden über einen längeren Zeitraum fortgesetzt. Dabei zeigt sich, dass die Verteilung der auf $\text{km} / \text{h}$ genau gemessenen Geschwindigkeiten näherungsweise durch eine Binomialverteilung mit den Parametern $n=100$ und $p=0,8$ beschrieben werden kann. Beispielsweise entspricht $B(100 ; 0,8 ; 77)$ näherungsweise dem Anteil der mit einer Geschwindigkeit von $77\;\text{km} / \text{h}$ erfassten Pkw.

Bestätige exemplarisch für eine der beiden mittleren Geschwindigkeitsklassen der oben dargestellten Stichprobe, dass die ermittelte Anzahl der Fahrten mit der Beschreibung durch die Binomialverteilung im Einklang steht.

(4 BE)

Bestimme unter Verwendung dieser Binomialverteilung die kleinste Geschwindigkeit $v^*,$ für die die folgende Aussage zutrifft: „Bei mehr als $95\,\%$ der erfassten Fahrten wird $v^*$ nicht überschritten.“

(2 BE)

Die Polizei führt an der Messstelle eine Geschwindigkeitskontrolle durch. Bei einer Geschwindigkeit von mehr als $83\;\text{km} / \text{h}$ liegt ein Tempoverstoß vor. Vereinfachend soll davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit eines vorbeifahrenden Pkw mit einer Wahrscheinlichkeit von $19\,\%$ größer als $83\;\text{km} / \text{h}$ ist.

Berechne die Anzahl der Geschwindigkeitsmessungen, die mindestens durchgeführt werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\,\%$ mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird.

(4 BE)

Liegt in einer Stichprobe von 50 Geschwindigkeitsmessungen die Zahl der Tempoverstöße um mehr als eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert, geht die Polizei davon aus, dass wirksam vor der Geschwindigkeitskontrolle gewarnt wurde, und bricht die Kontrolle ab. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Geschwindigkeitskontrolle fortgeführt wird, obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tempoverstoß begangen wird, auf $10\,\%$ gesunken ist.

(5 BE)

(20 BE)

Aus der Aufgabenstellung und der Abbildung lassen sich folgende Wahrscheinlichkeiten ablesen:

$\begin{array}[t]{rll} P(A\cap S)&=& \dfrac{65}{200} \\[5pt] &=& 0,325 \\[5pt] P(A)&=& 0,62 \\[5pt] P(S)&=& \dfrac{76+18}{200} \\[5pt] &=& 0,47 \end{array}$

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)\cdot P(S) &=& 0,62\cdot 0,47 \\[5pt] &=& 0,2914 \end{array}$

Da somit $P(A)\cdot P(S)\neq P(A\cap S)$ gilt, sind die beiden Ereignisse $A$ und $S$ stochastisch abhängig.
Ein möglicher Grund im Sachzusammenhang ist ein steigendes Verantwortungsbewusstsein des Fahrers, wenn noch andere Personen im Fahrzeug sitzen.

Die Zufallsgröße $V$ beschreibt die gemessene Geschwindigkeit eines zufällig ausgewählten Pkws auf $\text{km/h}$ gerundet und ist binomialverteilt mit den Parametern $n=100$ und $p=0,8.$ Für die Geschwindigkeitsklasse $75\lt v\leq80$ folgt damit:

Rechenweg anzeigen

$P(75\lt V \leq 80) \approx 0,4084$

Die Abbildung liefert, dass $80$ der $200$ gemessenen Fahrten und somit $40\,\%$ in der Geschwindigkeitsklasse $75\lt v\leq 80$ lage. Das entspricht bis auf eine geringe Abweichung der eben bestimmten Wahrscheinlichkeit, das heißt die Stichprobe steht im Einklang mit der Beschreibung durch die Binomialverteilung.

Gesucht ist das kleinste $v^*,$ sodass folgende Ungleichung gerade noch erfüllt ist:

$P(V\leq v^*) \gt 0,95$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$\begin{array}[t]{rll} P(V\leq 86)&\approx& 0,9531\\[5pt] P(V\leq 85)&\approx& 0,9196 \end{array}$

Somit gilt $v^*=86,$ das heißt bei mehr als $95\,\%$ der erfassten Fahrten wird $86\;\text{km/h}$ nicht überschritten.

Die Zufallsgröße $X_n$ beschreibt die Anzahl der Tempoverstöße in der Geschwindigkeitskontrolle und ist binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,19.$ Gesucht ist der kleinste Wert für $n,$ sodass folgende Ungleichung noch erfüllt ist:

$P(X_n \geq 1) \gt 0,99$

Für $n$ folgt somit:

Rechenweg anzeigen

$n \gt 21,85$

Es müssen somit mindestens $22$ Messungen durchgeführt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $99\,\%$ mindestens ein Tempoverstoß erfasst wird.

Betrachtet wird nun die Zufallsgröße $X_n$ für $n=50.$ Für den Erwartungswert und die Standardabweichung dieser Zufallsgröße ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p \\[5pt] &=& 50 \cdot 0,19 \\[5pt] &=& 9,5 \\[10pt] \sigma&=&\sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)} \\[5pt] &=& \sqrt{9,5\cdot 0,81} \\[5pt] &\approx& 2,77 \\[5pt] \end{array}$

Die Zufallsgröße $Y$ beschreibt die Anzahl der Tempoverstöße unter den $50$ Messungen und ist binomialverteilt mit $n=50$ und $p= 0,1.$ Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y \geq \mu -\sigma)&=& P(Y \geq 6,73) \\[5pt] &=& P(Y \geq 7) \\[5pt] &=& 1-P(Y\leq 6) \\[5pt] &\approx& 1- 0,7702 \\[5pt] &=& 0,2298 \\[5pt] &=& 22,98\,\% \end{array}$