Teil B

Ein geschlossenes Zelt, das auf horizontalem Untergrund steht, hat die Form einer Pyramide mit quadratischer Grundfläche. Die von der Zeltspitze ausgehenden Seitenkanten werden durch vier gleich lange Stangen gebildet.

Das Zelt ist $6\,\text{m}$ hoch, die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt $5\,\text{m}.$ Das Zelt wird in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abbildung 1) modellhaft durch eine Pyramide $ABCDS$ mit der Spitze $S(2,5\mid 2,5\mid 6)$ dargestellt. Der Punkt $A$ liegt im Koordinatenursprung, $C$ hat die Koordinaten $(5\mid 5\mid 0).$

Grafische Darstellung eines dreidimensionalen Koordinatensystems mit den Achsen x1, x2 und x3.

Abb. 1

Der Punkt $B$ liegt auf der $x_1$ -Achse, $D$ auf der $x_2$ -Achse. Das Dreieck $CDS$ liegt in der Ebene $E:\; 12x_2+5x_3 =60.$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Gib die Koordinaten der Punkte $B$ und $D$ an und zeichne die Pyramide in ein Koordinatensystem ein.

(3 BE)

Ermittle eine Gleichung der Ebene $F,$ in der das Dreieck $DAS$ liegt, in Normalenform.

[Mögliches Ergebnis: $F:\; 12x_1-5x_3 = 0$ ]

(3 BE)

Jeweils zwei benachbarte Zeltwände schließen im Inneren des Zelts einen stumpfen Winkel ein. Ermittle die Größe dieses Winkels.

(3 BE)

Im Zelt ist eine Lichtquelle so aufgehängt, dass sie von jeder der vier Wände einen Abstand von $50\,\text{cm}$ hat. Ermittle die Koordinaten des Punkts, der im Modell die Lichtquelle darstellt.

(4 BE)

Bestimme eine Gleichung der Symmetrieachse $g$ des Dreiecks $CDS.$

(2 BE)

Ein Teil der Zeltwand, die im Modell durch das Dreieck $CDS$ dargestellt wird, kann mithilfe zweier vertikal stehender Stangen der Länge $1,80\,\text{m}$ zu einem horizontalen Vordach aufgespannt werden (vgl. Abbildung 2). Die dadurch entstehende $1,40\,\text{m}$ breite Öffnung in der Zeltwand wird im Modell durch ein Rechteck dargestellt, das symmetrisch zu $g$ liegt. Dabei liegt eine Seite dieses Rechtecks auf der Strecke $[CD].$ Berechne den Flächeninhalt des Vordachs.

Abbildung eines grünen Dreiecks mit Maßangaben von 1,40 m und 1,80 m.

Abb. 2

(5 BE)

(20 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

$\blacktriangleright$ Koordinaten angeben

Du sollst die Koordinaten von $B$ und $D$ angeben. Gegeben sind dir folgende Informationen:

Die Koordinaten von $A(0\mid 0\mid 0)$ und $C(5\mid 5\mid 0)$
Die Pyramide besitzt eine quadratische Grundfläche mit den Eckpunkten $A$ , $B$ , $C$ und $D$ . Die vier Punkte bilden also ein Quadrat.
$B$ liegt auf der $x_1$ -Achse, $D$ auf der $x_2$ -Achse.
Die Seitenlänge des Zeltbodens beträgt $5\,\text{m}$ , also die des Quadrats $5$ Längeneinheiten.

Der Punkt $B$ muss $5$ Einheiten entlang der $x_1$ -Achse von $A$ entfernt liegen, genauso $5$ Einheiten entlang der $x_2$ -Achse von $C$ . Die Koordinaten ergeben sich daher wie folgt: $B(5\mid 0\mid 0)$

Punkt $D$ ergibt sich analog zu $D(0\mid 5\mid 0).$

Die Koordinaten der beiden Punkte lauten $B(5\mid 0 \mid 0)$ und $D(0\mid 5\mid 0).$

$\blacktriangleright$ Pyramide zeichnen

Trage zunächst alle Eckpunkte der Pyramide im Koordinatensystem ein und ergänze dann die Kanten.

Geometrisches Diagramm mit einem Rechteck und einem Dreieck, dargestellt auf einem Raster.

Abb. 1: Pyramide im Koordinatensystem

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Normalenform ermitteln

Gesucht ist eine Gleichung der Ebene $F$ in Normalenform:

$E:$
$n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3 -d$
$= 0$

$\overrightarrow{n}$ ist dabei ein Normalenvektor von $F$ , der mit dem Kreuzprodukt zweier Vektoren bestimmt werden kann, die in der Ebene liegen. Wähle dazu beispielsweise zwei verschiedene Verbindungsvektoren der Punkte $A$ , $D$ und $S$ . Der Parameter $d$ kann im Anschluss durch eine Punktprobe bestimmt werden.

1. Schritt: Normalenvektor bestimmen

Verwende beispielsweise die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AD}$ und $\overrightarrow{DS}$ . Das Kreuzprodukt kannst du mit folgender Formel berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} &\pmatrix{a_1\\a_2\\a_3} \times \pmatrix{b_1\\b_2\\b_3} \\[5pt] =&\pmatrix{a_2b_3-b_2a_3 \\ a_3b_1- b_3a_1 \\ a_1b_2- b_1a_2} \end{array}$

Du erhältst dann folgenden Normalenvektor:

$\overrightarrow{n}_1 = \frac{5}{2}\cdot\pmatrix{12\\0\\-5}$

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Du kannst sowohl die gekürzte Form, als auch den ursprünglich berechneten Normalenvektor verwenden.

Setze nun den Normalenvektor gemeinsam mit den Koordinaten eines Punkts, beispielsweise $A$ in die Ebenengleichung ein, um $d$ zu berechnen:

$d = 0$

Vollständige Lösung anzeigen

Eine mögliche Gleichung der Ebene $E$ in Normalenform lautet $E: \;12x_1-5x_3 = 0.$

[Hinweis: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten. Deine Lösung ist richtig, wenn die Ebenengleichung durch Multiplikation mit einem Faktor in die Musterlösung umgeformt werden kann.]

$\blacktriangleright$ Winkelgröße bestimmen

Gesucht ist die Größe des stumpfen Winkels, den je zwei Zeltwände im Inneren des Zeltes einschließen.
Eine der Seitenflächen wird im Modell durch das Dreieck $DAS$ dargestellt, das in der Ebene $F$ liegt. Betrachte nun die Ebene $G$ , in der eine der beiden angrenzenden Seitenflächen der Pyramide liegt, beispielsweise das Dreieck $ABS.$ Gesucht ist dann die Größe des Schnittwinkels von $F$ und $G.$
Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen zwei Ebenen mit den Normalenvektoren $\overrightarrow{n}_1$ und $\overrightarrow{n}_2$ kannst du mit folgender Formel berechnen:

$\cos(\alpha)= \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|}$

Einen Normalenvektor von $F$ kennst du bereits. Berechne nun einen Normalenvektor von $G$ über das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren, beispielsweise $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BS}:$

$\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{0\\-30\\12,5}$

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Setze also in die Formel für den Schnittwinkel ein:

$\alpha \approx 81,49^{\circ}$

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In der Aufgabenstellung ist vorgegeben, dass es sich bei dem gesuchten Winkel um einen stumpfen Winkel, also mit einer Größe von mindestens $90^{\circ}$ handelt.
Mit der obigen Formel wird der kleinere der beiden Winkel berechnet, der von zwei Ebenen eingeschlossen wird. Gesucht ist also der Gegenwinkel von $\alpha.$

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&180^{\circ}-\alpha \\[5pt] &\approx& 180^{\circ}-81,49^{\circ} \\[5pt] &=& 98,51^{\circ} \end{array}$

Der stumpfe Winkel, der im Zeltinneren von je zwei Seitenwänden eingeschlossen wird besitzt eine Größe von ca. $98,51^{\circ}.$

$\blacktriangleright$ Koordinaten ermitteln

Gesucht sind die Koordinaten des Punkts $L$ , der im Modell die Lichtquelle darstellt. Dieser muss von allen vier Ebenen, in denen jeweils die Dreiecke liegen, die die Zeltwände darstellen, den Abstand $0,5$ , also insbesondere denselben Abstand haben.
Da die Pyramide regelmäßig ist, ist das der Fall, wenn $L$ auf dem Lot liegt, das von der Spitze $S$ aus zur $x_1x_2$ -Ebene gefällt wird. $L$ besitzt also die gleiche $x_1$ - und $x_2$ -Koordinaten wie $S$ : $L(2,5\mid 2,5\mid t).$
Stelle nun eine Gleichung für den Abstand zwischen $L$ und der Ebene $F$ , in der die Seitenfläche $DAS$ liegt, auf. Diese kann nach $t$ gelöst werden. Der Abstand zwischen einer Ebene $E$ mit der Ebenengleichung $E:\; n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-d=0$ und einem Punkt $p$ kann mit der Hesseschen Normalenform wie folgt berechnet werden:

$d(E,P) =$
$\dfrac{\left|n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3-d\right|}{\left|\overrightarrow{n} \right|}$

Setze also ein:

$\left|30-5t\right|= 6,5$

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Aufgrund der Betragsstriche gibt es hier zwei Möglichkeiten:

$t_1= 4,7$

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$t_2 = 7,3$

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Für den zweiten Wert läge die Lampe außerhalb des Zeltes, da dieses nur $6\,\text{m}$ hoch ist.

Die Koordinaten des Punkts, der die Lichtquelle darstellt lauten $L(2,5\mid 2,5\mid 4,7).$

$\blacktriangleright$ Gleichung der Symmetrieachse aufstellen

Gesucht ist eine Gleichung der Symmetrieachse $g$ des Dreiecks $CDS$ . Da alle Seitenkanten der Pyramide gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig mit den beiden Schenkeln $[CS]$ und $[DS].$ Die Symmetrieachse ist also die Gerade, die durch $S$ und den Mittelpunkt $M$ der Strecke $[CD]$ verläuft.
Gehe also wie folgt vor:

Berechne den Ortsvektor von $M$ mit folgender Formel für den Mittelpunkt einer Strecke zwischen den Punkten $P$ und $Q$ :

$\overrightarrow{OM} =$
$\frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}\right)$
Die gesuchte Gerade ist die Gerade durch die Punkte $S$ und $M.$ Bestimme also einen Richtungsvektor und einen Stützvektor und stelle die Geradengleichung von $g$ auf.

1. Schritt: Koordinaten des Mittelpunkts bestimmen

Gesucht ist der Mittelpunkt der Strecke $[CD]$ , setze also ein:

$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{OM}\\[5pt] =& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right) \\[5pt] =& \pmatrix{2,5\\ 5\\ 0} \end{array}$

Alternativ kannst du auch über die Lage und Koordinaten der Eckpunkte der Grundfläche argumentieren und erhältst das gleiche Ergebnis.

2. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Verwende beispielsweise $M$ als Stützpunkt und den Verbindungsvektor $\overrightarrow{MS}$ als Richtungsvektor.

$\overrightarrow{MS} = \pmatrix{0\\-2,5\\6}$

Du erhältst damit folgende Geradengleichung der Symmetrieachse $g$ des Dreiecks $CDS$ :

$g: \; \overrightarrow{OX} =$

$\pmatrix{2,5\\5\\0}+ t\cdot \pmatrix{0\\-2,5\\6}$

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt berechnen

Gesucht ist der Flächeninhalt des Vordachs des Zeltes. Dies ist eine rechteckige Fläche, die aus dem Zelt ausgeklappt und mit Hilfe zweier Stangen der Länge $1,80\,\text{m}$ aufgespannt werden kann. Das Vordach soll dabei horizontal sein und die Stangen vertikal stehen.
Die Breite des Vordachs ist dir mit $1,40\,\text{m}$ gegeben.

Zeichne dir zur Übersicht eine Skizze. Du musst noch die Länge $a$ des Vordachs berechnen. Diese entspricht auch der Länge der Öffnung in der Zeltwand. Betrachte das rechtwinklige Dreieck in der Zeichnung. Die Länge $a$ der Hypotenuse ist gesucht. Die Länge der Ankathete von Winkel $\alpha$ kennst du bereits durch die Länge der Stangen.
Der Winkel $\alpha$ entspricht im Modell dem Schnittwinkel der Ebene in der das Dreieck $CDS$ liegt mit der $x_1x_3$ -Ebene, da die Seitenkante $[CD]$ parallel zur $x_1$ -Achse liegt und die Befestigungsstangen vertikal stehen sollen. Die Größe von $\alpha$ kannst du wie in Aufgabenteil c) mit der Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen berechnen.
Anschließend kannst du mit dem Kosinus die Länge $a$ berechnen.

Diagramm eines Zeltaufbaus mit Wänden, Eingang und Maßen.

Abb. 2: Skizze

1. Schritt: Schnittwinkel berechnen

Ein möglicher Normalenvektor der $x_1x_3$ -Ebene ist $\overrightarrow{n}_3 = \pmatrix{0\\1\\0}.$ Einen Normalenvektor der Ebene, in der $CDS$ liegt, kannst du wie zuvor mit dem Kreuzprodukt von zB. $\overrightarrow{CD}$ und $\overrightarrow{DS}$ bilden: