Teil A

Ein Glücksrad besteht aus zwei unterschiedlich großen Sektoren. Der größere Sektor ist mit der Zahl $1$ und der kleinere mit der Zahl $3$ beschriftet. Die Wahrscheinlichkeit dafür, beim einmaligen Drehen des Glücksrads die Zahl $1$ zu erzielen, wird mit $p$ bezeichnet. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden erzielten Zahlen $4$ ist, durch den Term $2p \cdot (1-p)$ angegeben wird.

(1 BE)

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen.
Bestimme, für welchen Wert von $p$ die Zufallsgröße $X$ den Erwartungswert $3$ hat.

4 (BE)

(5 BE)

Damit die Summe der beiden erzielten Zahlen $4$ beträgt, müssen beide Sektoren innerhalb der zwei Drehungen jeweils einmal getroffen werden.
Da sowohl zunächst der größere und anschließend der kleinere Sektor als auch zuerst der kleinere und danach der größere Sektor erzielt werden kann, wird die Wahrscheinlichkeit für das gesuchte Ereignis durch den Term $2p \cdot(1-p)$ angegeben.