Teil A

Gegeben ist die Funktion $g:x\mapsto \sqrt{x+1}-2$ mit maximaler Definitionsmenge $D.$

Gib $D$ an.

(1 BE)

Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $(8\mid g(8)).$

(4 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definierte Funktion $f: x\mapsto 1-\frac{1}{x^2},$ die die Nullstellen $x_1= -1$ und $x_2 = 1$ hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f,$ der symmetrisch bezüglich der $y$ -Achse ist. Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-3$ gegeben.

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 1 funktion f

Abb. 1

Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.

(1 BE)

Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade $g$ einschließen.

(4 BE)

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_k:x\mapsto kx^2-4x-3$ mit $k\in \mathbb{R}\setminus\{0\},$ deren Graphen Parabeln sind.

Bestimme den Wert von $k$ so, dass der Punkt $(2\mid -3)$ auf der zugehörigen Parabel liegt.

(2 BE)

Ermittle diejenigen Werte von $k,$ für die die jeweils zugehörige Funktion $p_k$ keine Nullstelle besitzt.

(3 BE)

Die nebenstehende Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion $f.$

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 2

Abb. 2

Einer der folgenden Graphen $\text{I},$ $\text{II}$ oder $\text{III}$ gehört zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$ Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 3

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 4

thüringen mathe abi 2019 teil a abbildung 5

Abb. 3

(3 BE)

Die Funktion $F$ ist eine Stammfunktion von $f.$ Gib das Monotonieverhalten von $F$ im Intervall $[1;3]$ an. Begründe deine Angabe.

(2 BE)

(20 BE)

Für $x\lt-1$ gilt $x+1 \lt 0$ und der Wert unter der Wurzel wird negativ. Somit folgt $D = \{x\in \mathbb{R} \mid x\geq -1\}.$

Mit Hilfe des Kettenregel folgt für $\(g$

$\(\begin{array}[t]{rll} g$

Für die Steigung $m$ der Tangente $t$ folgt:

$\(\begin{array}[t]{rll} m &=& g$

Mit $g(8) = \sqrt{8+1}-2 = 1$ liefert Einsetzen der Koordinaten $(8\mid g(8))$ in den Funktionsterm der Tangente $t: x\mapsto \frac{1}{6}x+b:$

$\begin{array}[t]{rll} 1 &=& \dfrac{1}{6}\cdot 8 + b \\[5pt] 1 &=& \dfrac{4}{3} +b &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{4}{3} \\[5pt] -\dfrac{1}{3} &=& b \end{array}$

Die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $(8\mid g(8))$ ist somit gegeben durch $t:x\mapsto \frac{1}{6}x-\frac{1}{3}.$

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -3 \\[5pt] 1-\dfrac{1}{x^2}&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -\dfrac{1}{x^2} &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-x^2\right) \\[5pt] 1&=& 4x^2 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \dfrac{1}{4} &=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm \dfrac{1}{2} &=& x_{1;2} \end{array}$

Einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, hat somit die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}.$

Aus der folgenden Hilfsabbildung wird deutlich, dass die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufgeteilt werden kann, wobei die beiden grün eingefärbten Flächen wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$ -Achse gleichgroß sind:

Mit Hilfe der bekannten Nullstellen des Graphen von $f$ und den Schnittstellen mit dem Graphen von $g$ folgt für den Inhalt der rechten grünen Fläche:

$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\dfrac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left| \left[x+\dfrac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \right| \\[5pt] &=& \left\vert1+\dfrac{1}{1} - \left(0,5+\dfrac{1}{0,5} \right)\right\vert\\[5pt] &=& \vert-0,5\vert\\[5pt] &=& 0,5\;[\text{FE}] \end{array}$

Der Flächeninhalt der grauen Fläche, eines Rechtecks mit den Seitenlängen $1$ und $3,$ ist gegeben durch $A_2 = 1\cdot 3 = 3\;[\text{FE}].$ Für den gesamten Flächeninhalt folgt somit:

$A$ $= 2\cdot A_1 +A_2$ $= 2\cdot 0,5 + 3 = 4\;[\text{FE}]$

$\begin{array}[t]{rll} p_k(2) &=& -3 \\[5pt] k\cdot 2^2 -4\cdot 2 -3 &=& -3 \\[5pt] 4k -11 &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; +11 \\[5pt] 4k &=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] k &=& 2 \end{array}$

Für $k=2$ liegt der Punkt $(2\mid -3)$ auf der zugehörigen Parabel.

$p_k$ besitzt genau dann keine Nullstelle, wenn einer der beiden folgenden Fälle eintritt:

Die Parabel ist nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt liegt oberhalb der $x$ -Achse.
Die Parabel ist nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt liegt unterhalb der $x$ -Achse.

Für die Scheitelpunktform des Funktionsterms von $p_k$ folgt:

Rechenweg anzeigen

$p_k(x) = k\cdot \left(x -\dfrac{2}{k} \right)^2- \dfrac{4}{k} -3$

Für $k\gt0$ ist die zu $p_k$ gehörende Parabel nach oben geöffnet, für $k \lt 0$ nach unten. Die $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts beträgt $y=- \frac{4}{k} -3.$
Für $k \gt 0$ ist dieser Wert stets negativ, das heißt der Scheitelpunkt liegt unterhalb der $y$ -Achse und $p_k$ besitzt somit zwei Nullstellen. Für $k \lt 0$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} - \dfrac{4}{k} -3 &\lt& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{4}{k} \\[5pt] -3 &\lt& \dfrac{4}{k} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot k\\[5pt] -3k &\gt& 4 &\quad \scriptsize \mid\; :(-3)\\[5pt] k &\lt& -\dfrac{4}{3} \end{array}$

Für $k \lt -\frac{4}{3}$ liegt der Scheitelpunkt in diesem Fall somit unterhalb der $y$ -Achse und die zugehörigen Funktionen $p_k$ besitzen keine Nullstelle.

Graph $\text{I}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 = -2$ und $x_2 = 2.$ Der Graph von $f$ muss an diesen Stellen also die Steigung $0$ haben, was zutrifft, da der Graph von $f$ dort Extremstellen besitzt.
Der Graph $\text{I}$ schneidet die $y$ -Achse ca. im Punkt $(0\mid -0,8).$ An der Stelle $x=0$ muss der Graph von $f$ somit die Steigung $-0,8$ besitzen. Anlegen einer Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ lässt auf eine Steigung von ungefähr $-0,8$ schließen.
Graph $\text{II}$ schneidet die $x$ -Achse an den Stellen $x_1 \approx -3,5$ und $x_2\approx 3,5.$ An diesen Stellen müsste der Graph von $f$ also die Steigung $0$ haben. Da das nicht der Fall ist, kommt Graph $\text{II}$ nicht infrage.
Graph $\text{III}$ besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der $x$ -Achse wie Graph $\text{I},$ schneidet die $y$ -Achse aber im Punkt $(0\mid -2).$ Der Graph von $f$ müsste daher an der Stelle $x=0$ die Steigung $-2$ besitzen. Oben würde aber bereits nachgewiesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. $-0,8$ beträgt. Graph $\text{III}$ kann daher ebenfalls nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von $f$ gehören.

Somit gehört Graph $\text{I}$ zur ersten Ableitungsfunktion von $f.$

$F$ ist eine Stammfunktion von $f,$ somit beschreibt $f$ die Steigung des Graphen von $F.$
Da der Graph von $f$ im Intervall $[1;3]$ unterhalb der $x$ -Achse liegt und die Funktionswerte von $f$ damit negativ sind, fällt die Funktion $F$ in diesem Intervall also streng monoton.