Teil B

Gegeben ist die Funktion $f$ mit

$f(x)= 2\mathrm e^{-x} \cdot \left( 2\mathrm e^{-x} -1\right)$ und $x\in \mathbb{R}.$

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f$ sowie die einzge Nullstelle $x =\ln 2$ von $f$ .

Graph einer logarithmischen Funktion mit Achsenbeschriftungen.

Abb. 1

Zeige, dass für den Term der Ableitungsfunktion $f‘$ von $f$ gilt:

$f‘(x)= 2\mathrm e^{-x}\cdot \left(1-4\mathrm e^{-x} \right)$

(3 BE)

Bestimme rechnerisch die Lage und Art des Extrempunkts von $G_f.$

[Teilergebnis: $x$ -Koordinaten des Extrempunkts: $\ln 4$ ]

(4 BE)

Zusätzlich ist die Funktion $F$ mit $F(x)= 2\mathrm e^{-x} -2\mathrm e^{-2x}$ und $x\in \mathbb{R}$ gegeben.

Zeige, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist, und begründe anhand des Terms von $F$ , dass $\lim\limits_{x\to+\infty} F(x)=0$ gilt.

(3 BE)

Der Graph von $F$ verläuft durch den Punkt $(\ln 2\mid 0,5).$ Begründe ohne weitere Rechnung, dass $F$ keine größeren Werte als $0,5$ annehmen kann und bei $x=\ln 4$ eine Wendestelle besitzt. Berechne die $y$ -Koordinate des zugehörigen Wendepunkts.

(5 BE)

Zeichne den Graphen von $F$ unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse sowie des Funktionswerts $F(0)$ im Bereich $-0,3\leq x \leq 3,5$ in Abbildung 1 ein.

(4 BE)

Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen ein Flächenstück ein, das durch das Dreieck mit den Eckpunkten $O(0\mid 0),$ $P(\ln 2\mid 0)$ und $Q(0\mid 2)$ angenähert werden kann. Berechne, um wie viel Prozenz der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ$ vom Inhalt des Flächenstücks abweicht.

(4 BE)

Betrachtet wird nun die Integralfunktion $F_0$ mit $F_0(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm dt$ und $x\in \mathbb{R}.$

Begründe, dass $F_0$ mit der betrachteten Stammfunktion $F$ von $f$ übereinstimmt. Interpretiere geometrisch den Wert $F_0(2)\approx 0,234$ mithilfe von in Abbildung 1 geeignet zu markierenden Flächenstücken.

(4 BE)

Gib den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion an, die eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von $f$ ist.

(2 BE)

Zur Modellierung einer Zerfallsreihe wird vereinfachend davon ausgegangen, dass sich in einem Gefäß zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ausschließlich der radioaktive Stoff Bi 211 befindet. Jeder Atomkern dieses Stoffs Bi 211 wandelt sich irgendwann in einen Kern des radioaktiven Stoffs TI 207 um und dieser wiederum irgendwann in einen KErn des Stoffs Pb 207. Abbildung 2 zeigt diese Zerfallsreihe schematisch.

Diagramm zeigt den Zerfall von Bi-211 über Ti-207 zu Pb-207.

Abb. 2

Der zeitliche Verlauf des Bi 211-Anteils, des TI 207-Anteils und des Pb 207-Anteils der Kerne im Gefäßlässt sich durch die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $B$ , $F$ bzw. $P$ beschreiben, deren Terme der folgenden Tabelle zu entnehmen sind. Dabei ist $F$ die in Aufgabe 1 betrachtete Funktion.

Bi 211	TI 207	Pb 207
$B(x) = \mathrm e^{-2x}$	$F(x)$	$P(x)=1-B(x)-F(x)$

Für jede der drei Funktionen bezeichnet $x\geq 0$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in der Einheit $6$ Minuten. Beispielsweise bedeutet $P(1)\approx 0,400 ,$ dass sechs minuten nach Beginn der Beobachtung etwa $40,0\,\%$ aller Kerne im Gefäß Pb 207-Kerne sind.

Bestimme jeweils auf zehntel Prozent genau die Anteile der dreie Kernsorten zwölf Minuten nach Beobachtungsbeginn.

(4 BE)

Ermittle unter Verwendung von Ergebnissen aus Aufgabe 1 den Zeitpunkt auf Sekunden genau, zu dem der Anteil von TI 207-Kernen im Gefäß am größten ist.

(2 BE)

Begründe rechnerisch, dass zu keinem Zeitpunkt die Anteile der drei Kernsorten gleich groß sind.

(3 BE)

Weise mithilfe des Terms der Funktion $P$ nach, dass $\lim\limits_{x\to+\infty}P(x)=1$ gilt, und interpretiere diesen Grenzwert im Sachzusammenhang.

(2 BE)

(40 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

$\blacktriangleright$ Ableitungsfunktion nachweisen

Du sollst nachweisen, dass der angegebene Term der Term der Ableitungsfunktion $f‘$ von $f$ ist. Bilde also mit Hilfe der Produktregel den Funktionsterm der ersten Ableitung von $f$ .

$f‘(x) = 2\mathrm e^{-x}\cdot \left(1-4\mathrm e^{-x}\right)$

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$\blacktriangleright$ Lage und Art des Extrempunkts bestimmen

Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $\, f‘(x_E)=0$
Hinreichendes Kriterium:
- Ist $f‘‘(x_E)\gt 0$ , handelt es sich um eine Minimalstelle.
- Ist $f‘‘(x_E)\lt 0$ , handelt es sich um eine Maximalstelle.

Du kannst also wie folgt vorgehen:

Bestimme die zweite Ableitungsfunktion $f‘‘$ .
Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f‘(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f‘‘(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$f‘‘(x)= ...$

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2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Durch Gleichsetzen von $f‘(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:

$\ln 4 = x$

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3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$f‘‘\left(\ln 4\right) = \frac{1}{2} \gt 0$

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Es handelt sich bei $x = \frac{1}{2}$ also um eine Minimalstelle. Der Graph besitzt an dieser Stelle einen Tiefpunkt.

4. Schritt: Funktionswert berechnen

$f\left(\ln 4 \right) = -\frac{1}{4}$

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$G_f$ besitzt einen Tiefpunkt mit den Koordinaten $T\left(\ln 4\mid -\frac{1}{4}\right).$

$\blacktriangleright$ Stammfunktion zeigen

Für eine Stammfunktion $F$ einer Funktion $f$ , muss folgende Bedingung gelten:

$F(x)‘ = f(x)$

Bilde also den Funktionsterm der ersten Ableitungsfunktion von $F$ .

$\begin{array}[t]{rll} F(x)&=& 2\mathrm e^{-x}-2\mathrm e^{-2x} \\[10pt] F‘(x)&=& ...\\[5pt] &=& f(x) \end{array}$

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Da $F‘(x)=f(x)$ gilt, ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$

$\blacktriangleright$ Grenzwert begründen

Du sollst begründen, dass $\lim\limits_{x\to+\infty} F(x)=0$ gilt. Betrachte dazu die Summanden des Funktionsterms von $F(x)$ einzeln.

Es gilt $\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm e^{x} = +\infty$ und daher:

$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm e^{-x}&=& \lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{1}{\mathrm e^x} \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Analog gilt auch:

$\begin{array}[t]{rll} &\lim\limits_{x\to+\infty} \mathrm e^{-2x} \\[5pt] =& \lim\limits_{x\to+\infty} \left(\mathrm e^{-x}\right)^2\\[5pt] =& 0^2 \\[5pt] =& 0\\[5pt] \end{array}$

Insgesamt gilt daher:

$\begin{array}[t]{rll} &\lim\limits_{x\to+\infty} F(x)\\[5pt] =& \lim\limits_{x\to+\infty}\left(2\mathrm e^{-x} -2\mathrm e^{-2x}\right) \\[5pt] =&2\cdot 0 -2\cdot 0 \\[5pt] =& 0 \end{array}$

$\blacktriangleright$ Maximum begründen

Der Graph von $F$ verläuft durch den Punkt $(\ln2\mid 0,5).$ Du sollst begründen, dass $F$ keine größeren Werte als $0,5$ annehmen kann. Dazu kannst du folgende Informationen verwenden:

$f$ ist die erste Ableitungsfunktion von $F$ und beschreibt daher die Steigung des Graphen von $F$ .
$f$ besitzt genau eine Nullstelle an der Stelle $x = \ln 2.$
Vor dieser Nullstelle, also für $x \leq \ln 2$ ist $f(x)$ positiv, danach für $x \geq \ln 2$ negativ.

Insgesamt kannst du also folgende Begründung angeben:

Da $f$ die erste Ableitungsfunktion von $F$ ist, beschreibt sie die Steigung des Graphen von $F.$ $f$ besitzt nur eine Nullstelle, an der Stelle $x=\ln 2.$ Dort findet ein Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ statt. Damit sind also notwendiges und hinreichendes Kriterium für eine Maximalstelle von $F$ erfüllt.
Da die Steigung des Graphen von $F$ vorher nur positiv war, die Funktionswerte also angestiegen sind, und nach der Maximalstelle der Graph immer weiter fällt, aber nicht mehr ansteigt, muss der Funktionswert an der Stelle $x = \ln 2$ der größte Wert sein, den $F$ annehmen kann.

$\blacktriangleright$ Wendestelle begründen

Für eine Wendestelle von $F$ gelten folgende Kriterien:

Notwendiges Kriterium: $F‘‘(x)=0$
Hinreichendes Kriterium: $F‘‘‘(x)\neq 0$

Begründe, dass diese Kriterien erfüllt sind. Beachte dabei, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x= \ln 4$ einen Tiefpunkt besitzt und du daher bereits gezeigt hast, dass $f‘(x)=0$ und $f‘‘(x)\neq 0$ ist für $x = \ln 4$ .

Es gilt $F‘(x)=f(x)$ und damit auch $F‘‘(x)=f‘(x)$ und $F‘‘‘(x)=f‘‘(x)$ . Aus Aufgabenteil b) ist schon bekannt, dass $F‘‘(\ln 4)=f‘(\ln 4) =0$ und $F‘‘‘(\ln 4) = f‘‘(\ln 4) \neq 0$ ist. Damit sind sowohl notwendiges als auch hinreichendes Kriterium für eine Wendestelle erfüllt. $F$ besitzt also an der Stelle $\ln 4$ eine Wendestelle.

$\blacktriangleright$ Fehlende Koordinate berechnen

Berechne die fehlende $y$ -Koordinate des Wendepunkts des Graphen von $F$ , also $F(\ln 4).$

$\begin{array}[t]{rll} y_W&=& F(\ln 4)\\[5pt] &=& 2\mathrm e^{-\ln 4}-2\mathrm e^{-2\ln 4} \\[5pt] &=& 2\mathrm e^{\ln 4^{-1}}-2\mathrm e^{\ln 4^{-2}} \\[5pt] &=& 2\cdot 4^{-1} -2\cdot 4^{-2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} - \frac{1}{8}\\[5pt] &=&\frac{3}{8} = 0,375 \end{array}$

Der Wendepunkt hat die Koordinaten $\left(\ln 4\mid 0,375\right).$

$\blacktriangleright$ Graphen zeichnen

Du sollst den Graphen von $F$ unter Berücksichtigung deiner bisherigen Ergebnisse und des Funktionswerts für $F(0)$ für $-0,3 \leq x \leq 3,5$ in Abbildung 1 einzeichnen. Fasse dazu alle Informationen über $F$ noch einmal zusammen und berechne $F(0).$

$F$ ist eine Stammfunktion von $f$ . Der Graph steigt daher für alle $x\lt \ln 2$ und fällt für alle $x\gt \ln 2.$
Der Graph besitzt einen Wendepunkt mit den Koordinaten $(\ln 4\mid 0,375).$
Der Graph verläuft durch den Punkt $(\ln 2 \mid 0,5)$ und nimmt dort sein Maximum an. Es handelt sich also um einen Hochpunkt.
Für $x\to +\infty$ geht $F(x) \to 0$

Berechne $F(0):$

$\begin{array}[t]{rll} F(0)&=&2\mathrm e^{-0} -2\mathrm e^{-2\cdot 0} \\[5pt] &=&2\cdot 1 -2\cdot 1 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Du erhältst ein ähnliches Schaubild wie das folgende:

Graph mit zwei Funktionen auf einem Koordinatensystem, eine davon in grün.

Abb. 1: Graph von $F$ im Intervall $-0,3 \leq x\leq 3,5$

$\blacktriangleright$ Abweichung in Prozent angeben

Du sollst berechnen, um wie viel Prozent der Näherungswert vom tatsächlichen Inhalt des Flächenstücks abweicht. Berechne dazu den Flächeninhalt des Dreiecks und den des eingeschlossenen Flächenstücks mit Hilfe eines Integrals.

1. Schritt: Flächeninhalt des Dreiecks berechnen

Das Dreieck hat die Echpunkte $O(0\mid 0),$ $P(\ln 2\mid 0)$ und $Q(0\mid 2).$ Es handelt sich also um ein Dreieck mit einem rechten Winkel am Punkt $O$ . Die beiden Katheten sind $\ln 2$ und $2$ Längeneinheiten lang. Du kannst also den Flächeninhalt wie folgt berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dreieck}}&=& \frac{1}{2}\cdot \ln 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& \ln 2 \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ$ beträgt $\ln 2$ Flächeneinheiten.

2. Schritt: Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche berechnen

Den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche kannst du mit einem Integral über $f$ berechnen. Die Fläche wird zu einer Seite durch die $y$ -Achse begrenzt, zur anderen durch den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse, also der Nullstelle von $f$ , $x= \ln 2.$
Zur Berechnung des Integrals kannst du $F$ verwenden, da du bereits weißt, dass dies eine Stammfunktion von $f$ ist.

$\begin{array}[t]{rll} A_{f}&=& \displaystyle\int_{0}^{\ln 2}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F(\ln 2)-F(0) \\[5pt] &=& 0,5 - 0 \\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$

Der Flächeninhalt der von $G_F$ und den Koordinatenachsen eingeschlossenen Fläche beträgt $0,5$ Flächeneinheiten.

3. Schritt: Prozentuale Abweichung berechnen

$\begin{array}[t]{rll} &\dfrac{A_{\text{Dreieck}}- A_{f}}{A_f}\\[5pt] =& \dfrac{\ln 2 -0,5}{0,5} \\[5pt] \approx& 0,3863 \\[5pt] =& 38,63\,\% \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ$ weicht um ca. $38,63\,\%$ vom Inhalt des Flächenstücks ab.

$\blacktriangleright$ Übereinstimmung begründen

Du sollst begründen, dass $F_0(x)= \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm dt$ mit $F(x)$ übereinstimmt. Forme den Funktionsterm $F_0(x)$ dazu so um, dass du $F(x)$ erhältst.

$\begin{array}[t]{rll} F_0(x)&=& \displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& [F(t)]_0^x\\[5pt] &=& F(x)-F(0) \\[5pt] &=& F(x) - 0\\[5pt] &=& F(x) \end{array}$

$\blacktriangleright$ Wert geometrisch interpretieren

Du sollst den Wert $F_0(2) \approx 0,234$ geometrisch interpretieren, indem du in Abbildung 1 entsprechende Flächenstücke markierst. Betrachte dazu den zugehörigen Funktionsterm $F_0(x)$ . Mithilfe eines Integrals über eine Funktion kann der Inhalt einer Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der $x$ -Achse berechnet werden. Liegt diese Fläche unterhalb der $x$ -Achse, ist der zugehörige Integralwert negativ, liegt sie oberhalb, ist er positiv.

Es ist:

$F_0(2)=...$

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Mit dem ersten Integral, kann der Flächeninhalt $A_1$ der Fläche berechnet werden, die der Graph von $f$ mit den Koordinatenachsen einschließt, siehe Aufgabe f).
Mit dem zweiten Integral kann der Inhalt $A_2$ der Fläche berechnet werden, die vom Graphen von $f$ und der $x$ -Achse im Intervall $[\ln 2; 2]$ eingeschlossen wird. Da diese Fläche wie in Abbildung 1 zu erkennen ist, unterhalb der $x$ -Achse liegt, ist der Integralwert negativ. Der Flächeninhalt $A_2$ wird daher von $A_1$ subtrahiert. Somit ist $F_0(2)$ die Differenz der Flächeninhalte $A_2$ und $A_1.$ Die Fläche, die $G_f$ im Intervall $[\ln 2; 2]$ mit der $x$ -Achse einschließt, ist ca. $0,234$ Flächeneinheiten kleiner als die Fläche, die von $G_f$ mit den Koordinatenachsen eingeschlossen wird.

Grafik eines mathematischen Diagramms mit Funktionen und Flächen unter Kurven.

Abb. 2: Flächenstücke

$\blacktriangleright$ Stammfunktion angeben

Gesucht ist der Term einer Stammfunktion von $f$ , die keine Integralfunktion ist. Eine Integralfunktion einer Funktion $f$ ist eine Stammfunktion ohne Nullstelle.
Du weißt bereits, dass $F$ eine Stammfunktion und eine Integralfunktion von $f$ ist.

Daher sind auch alle Funktionen $F_c(x)= F(x) +c$ mit $c\in\mathbb{R}$ Stammfunktionen von $f$ . Du musst $c$ nun so wählen, dass $F_c$ keine Nullstelle besitzt.

Betrachte dazu den Graphen der Funktion $F(x):$

$F(x)= 2\mathrm e^{-x}-2\mathrm e^{-2x}$

Es handelt sich um eine zusammengesetzte Exponentialfunkion, für die für $x\to -\infty$ gilt $F(x)\to -\infty.$ Du musst den Graphen also so weit verschieben, dass er vollständig unterhalb der $x$ -Achse liegt.
Es gilt $F(x)\lt 1.$ Du kannst den Graphen also um eine Einheit in negative $y$ -Richtung verschieben, sodass er vollständig unterhalb der $x$ -Achse verläuft und somit keine Nullstelle mehr hat. Eine mögliche Stammtunktion, die keine Integralfunktion ist, ist also:

$F_{-1}(x)= 2\mathrm e^{-x}-2\mathrm e^{-2x} -1$

$\blacktriangleright$ Anteile bestimmen

Du sollst die Anteile der drei Kernsorten nach zwölf Minuten berechnen. Da $x$ in der Einheit $6$ Minuten gemessen wird, sind also $B(2)$ , $F(2)$ und $P(2)$ gesucht. Beachte, dass du auf zehntel Prozent genau runden sollst.

$\begin{array}[t]{rll} B(2)&\approx& 0,018 \\[5pt] &=& 1,8\,\%\\[10pt] F(2)&\approx& 0,234 \\[5pt] &=& 23,4\,\% \\[10pt] P(2)&\approx& 0,748 \\[5pt] &=& 74,8\,\% \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Nach zwölf Minuten sind in dem Gefäß noch ca. $1,8\,\%$ der Kerne vom Stoff Bi 211, $23,4\,\%$ vom Stoff TI 207 und bereits $74,8\,\%$ vom Stoff Pb 207.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen

Gesucht ist der Zeitpunkt, zu dem der Anteil der TI 207-Kerne im Glas am größten ist. Dieser Anteil wird durch die Funktion $F$ beschrieben. In Aufgabe 1 d) hast du bereits begründet, dass der größte Wert von $F$ $0,5$ beträgt. Dieser wird für $x= \ln 2$ angenommen. Diesen musst du noch in Sekunden umrechnen.

$\ln 2 \cdot 6 \,\text{min} \cdot \dfrac{60 \,\text{sek}}{\text{min}} \approx 250 \,\text{sek}$

Ungefähr vier Minuten und $10$ Sekunden nach Beobachtungsbeginn ist der Anteil der TI 207-Kerne im Gefäß am größten.

$\blacktriangleright$ Rechnerisch begründen

Du sollst zeigen, dass zu keiner Zeit die Anteile der drei Kernsorten im Glas gleich groß sind.

Dazu müssten sich die Graphen der drei zugehörigen Funktionen in einem gemeinsamen Punkt schneiden.
Du kannst also beispielsweise die Koordinaten der Schnittpunkte von $B$ und $F$ berechnen und diese anschließend in $P$ einsetzen, um zu überprüfen, ob diese ebenfalls auf dem Graphen von $P$ liegen. Ist dies nicht der Fall, gibt es keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Setze also $B(x) = F(x):$

$x = -\ln \left(\frac{2}{3}\right)$

Vollständige Lösung anzeigen

Die zugehörige $y$ -Koordinate lautet:

$\begin{array}[t]{rll} B\left(-\ln \left(\frac{2}{3}\right) \right)\\[5pt] =& \mathrm e^{-2\cdot\left(-\ln \left(\frac{2}{3}\right)\right) } \\[5pt] =& \mathrm e^{\ln \left(\frac{2}{3}\right)^2 } \\[5pt] =& \frac{4}{9} \\[5pt] \end{array}$

Die Graphen von $B$ und $F$ schneiden sich im Punkt $S\left(-\ln \left(\frac{2}{3}\right) \mid \frac{4}{9}\right).$ Überprüfe, ob dieser Punkt auch auf dem Graphen von $P$ liegt:

$P\left(-\ln \left(\frac{2}{3}\right)\right) = \frac{1}{9}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der einzige Schnittpunkt $S\left(-\ln \left(\frac{2}{3}\right) \mid \frac{4}{9}\right)$ der Graphen von $F$ und $B$ liegt nicht auf dem Graphen von $P$ . Die drei Graphen schneiden sich also nicht in einem gemeinsamen Punkt, was bedeutet, dass sie zu keinem Zeitpunkt denselben Funktionswert annehmen. Die drei Stoffe befinden sich also niemals in gleicher Verteilung im Gefäß.

$\blacktriangleright$ Grenzwert nachweisen und im Sachzusammenhang interpretieren

Du sollst nachweisen, dass $\lim\limits_{x\to+\infty}P(x)=1$ gilt. Betrachte dazu die einzelnen Summanden des Funktionsterms und verwende Ergebnisse aus Aufgabe 1.

$\lim\limits_{x\to+\infty}P(x) = 1$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Funktion $P$ beschreibt den Anteil der Pb 207-Kerne im Gefäß. Auf lange Sicht werden sich also alle Kerne in Pb 207 umwandeln.

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]